Гравитационный инстантон - Gravitational instanton

В математическая физика и дифференциальная геометрия, а гравитационный инстантон четырехмерный полный Риманово многообразие удовлетворение вакуум Уравнения Эйнштейна. Они названы так потому, что являются аналогами в квантовые теории гравитации из инстантоны в Теория Янга – Миллса. В соответствии с этой аналогией с самодуальные инстантоны Янга – Миллса, гравитационные инстантоны обычно считаются четырехмерными. Евклидово пространство на больших расстояниях, и иметь самодвойственный Тензор Римана. Математически это означает, что они асимптотически локально евклидовы (или, возможно, асимптотически локально плоские). гиперкэлеровы 4-многообразия, и в этом смысле они являются частными примерами Многообразия Эйнштейна. С физической точки зрения гравитационный инстантон - это неособое решение вакуума. Уравнения Эйнштейна с положительно определенный, в отличие от Лоренциан, метрическая.

Есть много возможных обобщений первоначальной концепции гравитационного инстантона: например, можно позволить гравитационным инстантонам иметь ненулевое значение. космологическая постоянная или тензор Римана, который не самодуальный. Также можно ослабить граничное условие, что метрика является асимптотически евклидовой.

Существует множество методов построения гравитационных инстантонов, в том числе Гиббонс – Хокинг Анзац, твисторная теория, а фактор гиперкэлера строительство.

Вступление

Гравитационные инстантоны интересны тем, что они дают представление о квантовании гравитации. Например, положительно определенные асимптотически локально евклидовы метрики необходимы, поскольку они подчиняются гипотезе положительного действия; неограниченные снизу действия создают расхождение в квантовый интеграл по путям.

• Четырехмерный Kähler –Многообразие Эйнштейна имеет самодвойственный Тензор Римана.
• Эквивалентно самодуальный гравитационный инстантон представляет собой четырехмерный полный гиперкэлерово многообразие.
• Гравитационные инстантоны аналогичны самодуальные инстантоны Янга – Миллса.

Можно сделать несколько различий в отношении структуры Тензор кривизны Римана, относящиеся к плоскостности и самодуальности. К ним относятся:

• Эйнштейн (ненулевая космологическая постоянная)
• Плоскость Риччи (исчезающий тензор Риччи)
• Конформная плоскостность (исчезающий тензор Вейля)
• Самодуальность
• Анти-самодуальность
• Конформно самодуальный
• Конформно анти-самодвойственный

Таксономия

Задавая «граничные условия», то есть асимптотику метрики «на бесконечности» на некомпактном римановом многообразии, гравитационные инстантоны делятся на несколько классов, например асимптотически локально евклидовы пространства (Пробелы ALE), асимптотически локально плоские пространства (Пробелы ALF).

Их можно дополнительно охарактеризовать тем, Тензор Римана самодуальна, независимо от того, Тензор Вейля самодвойственен или ни то, ни другое; являются ли они Кэлеровы многообразия; и различные характеристические классы, Такие как Эйлерова характеристика, то Подпись Хирцебруха (Понтрягин класс ), Индекс Рариты-Швингера (индекс spin-3/2), или вообще Черн класс. Возможность поддержать спиновая структура (т.е. чтобы позволить последовательный Спиноры Дирака ) - еще одна привлекательная особенность.

Список примеров

Eguchi и другие. перечислим ряд примеров гравитационных инстантонов.^[1] К ним, среди прочего, относятся:

• Плоское пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$, тор ${ displaystyle mathbb {T} ^ {4}}$ и евклидова пространство де Ситтера ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {4}}$, т.е. стандартная метрика на 4-сфера.
• Произведение сфер ${ displaystyle S ^ {2} times S ^ {2}}$.
• В Метрика Шварцшильда ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2} times S ^ {2}}$ и Метрика Керра ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2} times S ^ {2}}$
• Инстантон Эгучи-Хансона ${ Displaystyle Т ^ {*} mathbb {CP} (1)}$, приведен ниже.
• В Раствор Тауб-НУТ, приведен ниже.
• В Метрика Фубини-Штуди на комплексная проективная плоскость ${ displaystyle mathbb {CP} (2).}$^[2] Обратите внимание, что комплексная проективная плоскость не поддерживает четко определенные Спиноры Дирака. То есть это не спиновая структура. Ему можно дать вращать структура, однако.
• Пространство страницы, вращающаяся компактная метрика на прямой сумме двух сложные проективные плоскости ${ Displaystyle mathbb {CP} (2) oplus { overline { mathbb {CP}}} (2)}$.
• Многоцентровые показатели Гиббонса-Хокинга, приведенные ниже.
• В Тауб-болт метрический ${ Displaystyle mathbb {CP} (2) - {0 }}$ и вращающийся метрический болт Тауба. Метрики «болта» имеют сингулярность координат цилиндрического типа в начале координат по сравнению с метриками «ореха», которые имеют сингулярность координат сферы. В обоих случаях координатную сингулярность можно удалить, переключившись на евклидовы координаты в начале координат.
• В K3 поверхности.
• Асимптотически локально евклидовы самодуальные многообразия, в том числе линзы ${ Displaystyle L (к + 1,1)}$двойные покрытия диэдральные группы, то тетраэдрическая группа, то октаэдрическая группа, а группа икосаэдров. Обратите внимание, что ${ Displaystyle L (2,1)}$ соответствует инстантону Егучи-Хансона, а для высших k, то ${ Displaystyle L (2,1)}$ соответствует многоцентровой метрике Гиббонса-Хокинга.

Это неполный список; есть и другие.

Примеры

Ниже будет удобно записать гравитационные инстантонные решения, используя левоинвариантные 1-формы на трехсферный S³ (рассматривается как группа Sp (1) или SU (2)). Их можно определить в терминах Углы Эйлера к

${ Displaystyle { begin {align} sigma _ {1} & = sin psi , d theta - cos psi sin theta , d phi sigma _ {2} & = cos psi , d theta + sin psi sin theta , d phi sigma _ {3} & = d psi + cos theta , d phi. конец {выровнен}}}$

Обратите внимание, что ${ displaystyle d sigma _ {i} + sigma _ {j} клин sigma _ {k} = 0}$ за ${ displaystyle i, j, k = 1,2,3}$ циклический.

Метрика Тауб – NUT

${ displaystyle ds ^ {2} = { frac {1} {4}} { frac {r + n} {rn}} dr ^ {2} + { frac {rn} {r + n}} n ^ {2} { sigma _ {3}} ^ {2} + { frac {1} {4}} (r ^ {2} -n ^ {2}) ({ sigma _ {1}} ^ {2} + { sigma _ {2}} ^ {2})}$

Метрика Егучи – Хансона

В Пространство Егучи – Хансона определяется метрикой котангенсный пучок 2-х сфер ${ displaystyle T ^ {*} mathbb {CP} (1) = T ^ {*} S ^ {2}}$. Эта метрика

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 - { frac {a} {r ^ {4}}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + { frac {r ^ {2 }} {4}} left (1 - { frac {a} {r ^ {4}}} right) { sigma _ {3}} ^ {2} + { frac {r ^ {2} } {4}} ( sigma _ {1} ^ {2} + sigma _ {2} ^ {2}).}$

куда ${ displaystyle r geq a ^ {1/4}}$. Эта метрика везде гладкая, если у нее нет коническая особенность в ${ displaystyle r rightarrow a ^ {1/4}}$, ${ displaystyle theta = 0, pi}$. За ${ displaystyle a = 0}$ это произойдет, если ${ displaystyle psi}$ имеет период ${ displaystyle 4 pi}$, что дает плоскую метрику на р⁴; Однако для ${ displaystyle a neq 0}$ это произойдет, если ${ displaystyle psi}$ имеет период ${ displaystyle 2 pi}$.

Асимптотически (т.е. в пределе ${ displaystyle r rightarrow infty}$) метрика выглядит как

${ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + { frac {r ^ {2}} {4}} sigma _ {3} ^ {2} + { frac {r ^ {2}} {4}} ( sigma _ {1} ^ {2} + sigma _ {2} ^ {2})}$

что наивно кажется плоской метрикой на р⁴. Однако для ${ displaystyle a neq 0}$, ${ displaystyle psi}$ как мы видели, имеет только половину обычной периодичности. Таким образом, метрика асимптотически р⁴ с идентификацией ${ Displaystyle psi , { sim} , psi +2 pi}$, который является Z₂ подгруппа из ТАК (4), группа вращения р⁴. Поэтому метрика называется асимптотически р⁴/Z₂.

Есть превращение в другой система координат, в котором метрика выглядит как

${ displaystyle ds ^ {2} = { frac {1} {V ( mathbf {x})}} (d psi + { boldsymbol { omega}} cdot d mathbf {x}) ^ { 2} + V ( mathbf {x}) d mathbf {x} cdot d mathbf {x},}$

куда${ displaystyle nabla V = pm nabla times { boldsymbol { omega}}, quad V = sum _ {i = 1} ^ {2} { frac {1} {| mathbf {x } - mathbf {x} _ {i} |}}.}$

(При a = 0 ${ Displaystyle V = { гидроразрыва {1} {| mathbf {x} |}}}$, а новые координаты определяются следующим образом: сначала определяется ${ Displaystyle rho = г ^ {2} / 4}$ а затем параметризует ${ displaystyle rho}$, ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$ посредством р³ координаты ${ displaystyle mathbf {x}}$, т.е. ${ Displaystyle mathbf {х} = ( ро грех тета соз фи, ро грех тета грех фи, ро соз тета)}$).

В новых координатах ${ displaystyle psi}$ имеет обычную периодичность ${ Displaystyle psi { sim} psi +4 pi.}$

Можно заменить V на

${ displaystyle quad V = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x} _ {i} |}}.}$

Для некоторых п точки ${ Displaystyle mathbf {х} _ {я}}$, я = 1, 2..., пЭто дает многоцентровый гравитационный инстантон Егучи – Хансона, который снова является гладким всюду, если угловые координаты имеют обычную периодичность (чтобы избежать конические особенности ). Асимптотический предел (${ displaystyle r rightarrow infty}$) эквивалентно взятию всех ${ Displaystyle mathbf {х} _ {я}}$ к нулю и, изменив координаты обратно на r, ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$, и переопределение ${ displaystyle r rightarrow r / { sqrt {n}}}$, получаем асимптотическую метрику

${ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + { frac {r ^ {2}} {4}} left ({d psi over n} + cos theta , d phi right) ^ {2} + { frac {r ^ {2}} {4}} [( sigma _ {1} ^ {L}) ^ {2} + ( sigma _ {2} ^ {L }) ^ {2}].}$

Это р⁴/Z_п = C²/Z_п, потому что это так р⁴ с угловой координатой ${ displaystyle psi}$ заменен на ${ displaystyle psi / n}$, имеющий неправильную периодичность (${ displaystyle 4 pi / n}$ вместо ${ displaystyle 4 pi}$). Другими словами, это р⁴ определены под ${ Displaystyle psi { sim} psi +4 pi k / n}$, или, что то же самое, C² определены под z_я ~ ${ displaystyle e ^ {2 pi ik / n}}$ z_я за я = 1, 2.

Таким образом, многоцентровая геометрия Егучи – Хансона является Kähler Плоская геометрия Риччи, которая асимптотически C²/Z_п. В соответствии с Теорема Яу это единственная геометрия, удовлетворяющая этим свойствам. Следовательно, это тоже геометрия C²/Z_п орбифолд в теория струн после его коническая особенность была сглажена его «вздутием» (т.е. деформацией).^[3]

Многоцентровые показатели Гиббонса – Хокинга

Многоцентровые метрики Гиббонса-Хокинга даются как^[4][5]

${ displaystyle ds ^ {2} = { frac {1} {V ( mathbf {x})}} (d tau + { boldsymbol { omega}} cdot d mathbf {x}) ^ { 2} + V ( mathbf {x}) d mathbf {x} cdot d mathbf {x},}$

куда

${ displaystyle nabla V = pm nabla times { boldsymbol { omega}}, quad V = varepsilon + 2M sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x} _ {i} |}}.}$

Здесь, ${ displaystyle epsilon = 1}$ соответствует multi-Taub – NUT, ${ displaystyle epsilon = 0}$ и ${ displaystyle k = 1}$ это плоское пространство, и ${ displaystyle epsilon = 0}$ и ${ displaystyle k = 2}$ - решение Егучи – Хансона (в разных координатах).

Рекомендации

• Гиббонс, G.W .; Хокинг, С. (Октябрь 1978 г.). «Гравитационные мультиинстантоны». Письма по физике B. 78 (4): 430–432. Bibcode:1978ФЛБ ... 78..430Г. Дои:10.1016/0370-2693(78)90478-1.
• Гиббонс, G.W .; Хокинг, С. В. (октябрь 1979 г.). «Классификация гравитационных симметрий инстантона». Коммуникации по математической физике. 66 (3): 291–310. Bibcode:1979CMaPh..66..291G. Дои:10.1007 / BF01197189. S2CID  123183399.
• Егучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж. (Апрель 1978 г.). «Асимптотически плоские самодуальные решения евклидовой гравитации». Письма по физике B. 74 (3): 249–251. Bibcode:1978ФЛБ ... 74..249Э. Дои:10.1016 / 0370-2693 (78) 90566-Х. OSTI  1446816.
• Егучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж (июль 1979 г.). «Самодуальные решения евклидовой гравитации». Анналы физики. 120 (1): 82–106. Bibcode:1979AnPhy.120 ... 82E. Дои:10.1016/0003-4916(79)90282-3.
• Егучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж. (Декабрь 1979 г.). «Гравитационные инстантоны». Общая теория относительности и гравитации. 11 (5): 315–320. Bibcode:1979GReGr..11..315E. Дои:10.1007 / BF00759271. S2CID  123806150.
• Кронхеймер, П. Б. (1989). «Построение ALE-пространств как гипер-кэлеровых факторов». Журнал дифференциальной геометрии. 29 (3): 665–683. Дои:10.4310 / jdg / 1214443066.