Твисторная теория - Twistor theory

В теоретическая физика, твисторная теория был предложен Роджер Пенроуз в 1967 г.^[1] как возможный путь^[2] к квантовая гравитация и превратилась в ветвь теоретический и математическая физика. Пенроуз предложил твистор пространство должно быть основной ареной для физики, из которой должно возникнуть само пространство-время. Это приводит к мощному набору математических инструментов, которые могут применяться для дифференциал и интегральная геометрия, нелинейные дифференциальные уравнения и теория представлений и по физике общая теория относительности и квантовая теория поля, в частности амплитуды рассеяния.

Обзор

Математически, проективный твистор пространство ${ displaystyle mathbb {PT}}$ это 3-х мерный комплексное многообразие, сложный проективное 3-пространство ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {3}}$. Он имеет физическую интерпретацию пространства безмассовые частицы с вращение. Это проектирование 4-х мерного комплексное векторное пространство, непроективное твисторное пространство ${ displaystyle mathbb {T}}$ с Эрмитова форма из подпись (2,2) и голоморфный объемная форма. Наиболее естественно это можно понять как пространство хиральный (Weyl ) спиноры для конформная группа ${ Displaystyle SO (4,2) / mathbb {Z} _ {2}}$ из Пространство Минковского; это фундаментальное представление из вращательная группа ${ displaystyle SU (2,2)}$ конформной группы. Это определение может быть расширено до любых измерений, за исключением того, что за пределами четырех измерений проективное твисторное пространство определяется как пространство проективных чистые спиноры для конформной группы.^[3][4]

В первоначальном виде твисторная теория кодирует физические поля на пространстве Минковского в комплексный аналитический объекты на твисторном пространстве через Преобразование Пенроуза. Это особенно естественно для безмассовые поля произвольных вращение. В первую очередь они получаются через контурный интеграл формулы в терминах свободных голоморфных функций на областях твисторного пространства. Голоморфные твисторные функции, порождающие решения уравнений безмассового поля, правильнее понимать как Чех представители аналитических классы когомологий по регионам в ${ displaystyle mathbb {PT}}$. Эти соответствия были распространены на некоторые нелинейные поля, включая самодвойственный гравитация в Пенроуза нелинейный гравитон строительство^[5] и самодвойственный Поля Янга – Миллса в Строительство палаты;^[6] первое порождает деформации лежащей в основе сложной структуры регионов в ${ displaystyle mathbb {PT}}$, а последнее - к некоторым голоморфным векторным расслоениям над областями в ${ Displaystyle mathbb {PT}}$. Эти конструкции нашли широкое применение.^[7][8][9]

Условие самодуальности является основным ограничением для включения полной нелинейности физических теорий, хотя этого достаточно для Ян – Миллс – Хиггс монополи и инстантоны (видеть Строительство ADHM ).^[10] Первой попыткой преодолеть это ограничение было введение амбитвисторов Эдвард Виттен^[11] и Айзенберг, Яскин и Грин.^[12] Пространство амбитвистора - это пространство комплексифицированных световых лучей или безмассовых частиц, и его можно рассматривать как комплексообразующий или котангенсный пучок исходного описания твистора. Они применимы к общим полям, но уравнения поля уже не так просто выражаются.

Твисториальные формулы для взаимодействия за пределами самодуального сектора впервые возникла из твисторная теория струн.^[13] Это квантовая теория голоморфных отображений Риманова поверхность в твисторное пространство. Это привело к появлению удивительно компактных формул RSV (Ройбана, Спрадлина и Воловича) для трехуровневых S-матрицы теорий Янга – Миллса,^[14] но его гравитационные степени свободы породили версию конформной супергравитация ограничение его применимости; конформная гравитация нефизическая теория, содержащая призраки, но его взаимодействия сочетаются с взаимодействиями теории Янга – Миллса в амплитудах петель, рассчитанных с помощью теории твисторных струн.^[15]

Несмотря на свои недостатки, теория твисторных струн привела к быстрому развитию исследований амплитуд рассеяния. Одним из них был так называемый формализм MHV.^[16] слабо основанный на разъединенных струнах, но получил более фундаментальную основу в терминах твисторного действия для полной теории Янга – Миллса в твисторном пространстве.^[17] Еще одним ключевым событием стало введение рекурсии BCFW.^[18] Это имеет естественную формулировку в твисторном пространстве.^[19][20] что, в свою очередь, привело к замечательным формулировкам амплитуд рассеяния в терминах Интеграл Грассмана формулы^[21][22] и многогранники.^[23] В последнее время эти идеи превратились в положительные Грассманиан^[24] и амплитуэдр.

Теория твисторных струн была расширена сначала путем обобщения формулы амплитуды RSV Янга – Миллса, а затем путем нахождения лежащих в основе теория струн. Расширение гравитации было дано Cachazo & Skinner,^[25] и сформулирована как твисторная теория струн для максимальная супергравитация Дэвида Скиннера.^[26] Аналогичные формулы затем были найдены во всех измерениях Качазо, Хе и Юанем для теории Янга – Миллса и гравитации.^[27] и впоследствии для множества других теорий.^[28] Затем они были поняты Мейсоном и Скиннером как теории струн в пространстве амбитвисторов.^[29] в общей структуре, которая включает исходную крутящуюся струну и расширяется, чтобы дать ряд новых моделей и формул.^[30][31][32] Как струнные теории они имеют то же самое критические размеры как обычная теория струн; например тип II суперсимметричные версии имеют решающее значение в десяти измерениях и эквивалентны полной теории поля сверхгравитаций типа II в десяти измерениях (это отличается от традиционных теорий струн, которые также имеют дополнительную бесконечную иерархию массивных состояний с более высоким спином, которые обеспечивают ультрафиолетовое завершение ). Они расширяются, чтобы дать формулы для амплитуд петель^[33][34] и может быть определен на изогнутом фоне.^[35]

Твисторное соответствие

Обозначить Пространство Минковского к ${ displaystyle M}$, с координатами ${ Displaystyle х ^ {а} = (т, х, у, г)}$ и лоренцевой метрики ${ displaystyle eta _ {ab}}$ подпись ${ displaystyle (1,3)}$. Ввести двухкомпонентные спинорные индексы ${ Displaystyle A = 0,1; ; A '= 0', 1 ',}$ и установить

${ displaystyle x ^ {AA '} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} t-z & x + iy x-iy & t + z end {pmatrix}}.}$

Непроективное твисторное пространство ${ displaystyle mathbb {T}}$ представляет собой четырехмерное комплексное векторное пространство с координатами, обозначенными ${ Displaystyle Z ^ { alpha} = left ( omega ^ {A}, , pi _ {A '} right)}$ куда ${ displaystyle omega ^ {A}}$ и ${ displaystyle pi _ {A '}}$ два постоянных Спиноры Вейля. Эрмитова форма может быть выражена путем определения комплексного спряжения из ${ displaystyle mathbb {T}}$ к его двойному ${ Displaystyle mathbb {T} ^ {*}}$ к ${ displaystyle { bar {Z}} _ { alpha} = left ({ bar { pi}} _ {A}, , { bar { omega}} ^ {A '} right) }$ так что эрмитова форма может быть выражена как

${ displaystyle Z ^ { alpha} { bar {Z}} _ { alpha} = omega ^ {A} { bar { pi}} _ {A} + { bar { omega}} ^ {A '} pi _ {A'}.}$

Это вместе с формой голоморфного объема, ${ displaystyle varepsilon _ { alpha beta gamma delta} Z ^ { alpha} dZ ^ { beta} wedge dZ ^ { gamma} wedge dZ ^ { delta}}$ инвариантно относительно группы SU (2,2), четверного накрытия конформной группы C (1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.

Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства соотношением инцидентности

${ displaystyle omega ^ {A} = ix ^ {AA '} pi _ {A'}.}$

Отношение инцидентности сохраняется при полном масштабировании твистора, поэтому обычно работают в проективном твисторном пространстве. ${ displaystyle mathbb {PT},}$ которое как комплексное многообразие изоморфно ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {3}}$. Точка ${ displaystyle x in M}$ тем самым определяет линию ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ в ${ displaystyle mathbb {PT}}$ параметризовано ${ displaystyle pi _ {A '}.}$ Твистор ${ displaystyle Z ^ { alpha}}$ проще всего понять в пространстве-времени для комплексных значений координат, где он определяет полностью нулевую двухплоскость, которая является самодвойственной. Брать ${ displaystyle x}$ быть реальным, то если ${ Displaystyle Z ^ { alpha} { bar {Z}} _ { alpha}}$ исчезает, тогда ${ displaystyle x}$ лежит на луче света, а если ${ Displaystyle Z ^ { alpha} { bar {Z}} _ { alpha}}$ не обращается в нуль, решений нет, и тогда ${ displaystyle Z ^ { alpha}}$ соответствует безмассовой частице со спином, не локализованным в реальном пространстве-времени.

Вариации

Супертвисторы

Супервисторы - это суперсимметричный расширение твисторов введено Алан Фербер в 1978 г.^[36] Непроективное твисторное пространство расширяется фермионный координаты, где ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ это количество суперсимметрий так что твистор теперь задается ${ displaystyle left ( omega ^ {A}, , pi _ {A '}, , eta ^ {i} right), i = 1, ldots, { mathcal {N}}}$ с ${ displaystyle eta ^ {я}}$ антикоммутинг. Суперконформная группа ${ displaystyle SU (2,2 | { mathcal {N}})}$ естественным образом действует в этом пространстве, и суперсимметричная версия преобразования Пенроуза переводит классы когомологий на супертвисторном пространстве в безмассовые суперсимметричные мультиплеты на суперпространстве Минковского. В ${ displaystyle { mathcal {N}} = 4}$ футляр служит мишенью для оригинальной твисторной струны Пенроуза и ${ Displaystyle { mathcal {N}} = 8}$ случай таков для обобщения супергравитации Скиннера.

Гиперкэлеровы многообразия

Гиперкэлеровы многообразия измерения ${ displaystyle 4k}$ также допускают твисторное соответствие с твисторным пространством комплексной размерности ${ displaystyle 2k + 1}$.

Теория дворцового твистора

Конструкция нелинейного гравитона кодирует только антисамодуальные, т.е. левосторонние поля.^[5] Первым шагом к проблеме модификации твисторного пространства с целью кодирования общего гравитационного поля является кодирование правша поля. В бесконечно малой степени они закодированы в твисторных функциях или когомология классы однородность −6. Задача использования таких твисторных функций полностью нелинейным образом, чтобы получить правша нелинейный гравитон получил название (гравитационный) проблема с Google (слово "погуглить "- термин, используемый в игре крикет для шара, бьющего с правой спиральностью, с использованием кажущегося действия, которое обычно приводит к левой спиральности).^[37] Самое последнее предложение Пенроуза в этом направлении в 2015 году было основано на некоммутативная геометрия на твисторном пространстве и обозначается теория дворцового твистора.^[38] Теория названа в честь Букингемский дворец, куда Майкл Атья предложил Пенроузу использовать тип "некоммутативная алгебра ", важный компонент теории (основная твисторная структура в дворцовой твисторной теории была смоделирована не на твисторном пространстве, а на некоммутативном голоморфный твистор квантовая алгебра ).^[39]

Смотрите также

• Фоновая независимость
• Сложное пространство-время
• История петлевой квантовой гравитации
• Сравнения Робинсона
• Спиновая сеть

Примечания

Рекомендации

• Роджер Пенроуз (2004), Дорога к реальности, Альфред А. Кнопф, гл. 33. С. 958–1009.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1984), Спиноры и пространство-время; т. 1.Двухспиновое исчисление и релятивитные поля., Cambridge University Press, Кембридж.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1986), Спиноры и пространство-время; т. 2, Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени, Cambridge University Press, Кембридж.

дальнейшее чтение

• Атья, М., Дунайски, М., Мейсон, Л. Дж. (2017).«Теория твисторов в пятьдесят: от контурных интегралов до твисторных струн». Proc. R. Soc. А. 473 (2206): 20170530. Дои:10.1098 / rspa.2017.0530. ISSN  1364-5021.
• Бэрд, П. "Введение в Twistors."
• Хаггетт С. и Тод К. П. (1994).Введение в теорию твисторов, второе издание. Издательство Кембриджского университета.ISBN  9780521456890. OCLC  831625586.
• Хьюстон, Л. П. (1979) Твисторы и частицы. Конспект лекций по физике 97, Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09244-5.
• Хьюстон, Л. П. и Уорд, Р. С., ред. (1979) Успехи твисторной теории. Питман. ISBN  0-273-08448-8.
• Мейсон, Л. Дж. И Хьюстон, Л. П., ред. (1990) Дальнейшие успехи в теории твисторов, том I: Преобразование Пенроуза и его приложения. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00466-7.
• Мейсон, Л. Дж., Хьюстон, Л. П., и Кобак, П. К., редакторы (1995) Дальнейшие достижения в теории твисторов, том II: интегрируемые системы, конформная геометрия и гравитация. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00465-9.
• Мейсон, Л. Дж., Хьюстон, Л. П., Кобак, П. К., и Пульверер, К., редакторы (2001). Дальнейшие успехи в теории твисторов, Том III: Изогнутые твисторные пространства. Исследования по математике 424, Чепмен и Холл / CRC. ISBN  1-58488-047-3.
• Пенроуз, Роджер (1967), «Твисторная алгебра», Журнал математической физики, 8 (2): 345–366, Bibcode:1967JMP ..... 8..345P, Дои:10.1063/1.1705200, МИСТЕР  0216828, заархивировано из оригинал на 2013-01-12
• Пенроуз, Роджер (1968), "Твисторная квантование и искривленное пространство-время", Международный журнал теоретической физики, 1 (1): 61–99, Bibcode:1968IJTP .... 1 ... 61P, Дои:10.1007 / BF00668831
• Пенроуз, Роджер (1969), «Решения уравнений нулевой массы покоя», Журнал математической физики, 10 (1): 38–39, Bibcode:1969JMP .... 10 ... 38P, Дои:10.1063/1.1664756, заархивировано из оригинал на 2013-01-12
• Пенроуз, Роджер (1977), "Твисторная программа", Доклады по математической физике, 12 (1): 65–76, Bibcode:1977РпМП ... 12 ... 65П, Дои:10.1016/0034-4877(77)90047-7, МИСТЕР  0465032
• Пенроуз, Роджер (1999) "Центральная программа твисторной теории," Хаос, солитоны и фракталы 10: 581–611.
• Виттен, Эдвард (2004), "Теория пертурбативных калибровок как теория струн в твисторном пространстве", Коммуникации по математической физике, 252 (1–3): 189–258, arXiv:hep-th / 0312171, Bibcode:2004CMaPh.252..189W, Дои:10.1007 / s00220-004-1187-3

внешняя ссылка

• Пенроуз, Роджер (1999), "Уравнение Эйнштейна и твисторная теория: последние разработки "
• Пенроуз, Роджер; Хадрович, Федя. "Твисторная теория. "
• Хадрович, Федя, "Твистор Праймер. "
• Пенроуз, Роджер. "К истокам твисторной теории. "
• Jozsa, Ричард (1976), "Приложения пучковых когомологий в твисторной теории. "
• Дунайский, Мацей, "Твисторная теория и дифференциальные уравнения. "
• Эндрю Ходжес, Краткое изложение последних событий.
• Хаггетт, Стивен (2005) "Элементы твисторной теории. "
• Мейсон, Л. Дж. "Твисторная программа и твисторные струны: от твисторных струн до квантовой гравитации? "
• Сэманн, Кристиан (2006) "Аспекты твисторной геометрии и суперсимметричных теорий поля в теории суперструн. "
• Спарлинг, Джордж (1999) "Асимметрия по времени. "
• Спрэдлин, Маркус (2006), "Успехи и перспективы теории твисторных струн. "
• MathWorld: Твисторы.
• Обзор Вселенной: "Твисторная теория. "
• Информационный бюллетень Twistor архивы.