Форма объема - Volume form

В математика, а объемная форма на дифференцируемое многообразие является топ-мерной формой (т. е. дифференциальная форма высшей степени). Таким образом, на многообразии ${ displaystyle M}$ измерения ${ displaystyle n}$ , объемная форма - это ${ displaystyle n}$ -форма, а раздел из линейный пакет ${ displaystyle Omega ^ {n} (M) = bigwedge ^ {n} (T ^ {*} M)}$ . Многообразие допускает нигде не исчезающую форму объема тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. An ориентируемое многообразие имеет бесконечно много форм объема, так как умножение формы объема на функцию дает другую форму объема. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотность.

Форма тома позволяет определить интеграл из функция на дифференцируемом многообразии. Другими словами, объемная форма порождает мера относительно того, какие функции могут быть интегрированы соответствующими Интеграл Лебега. Абсолютное значение формы объема - это элемент объема, который также известен как скрученная форма объема или же форма псевдообъема. Он также определяет меру, но существует на любом дифференцируемом многообразии, ориентируемом или нет.

Кэлеровы многообразия, существование комплексные многообразия, имеют естественную ориентацию и поэтому имеют объемную форму. В более общем плане ${ displaystyle n}$ th внешняя сила симплектической формы на симплектическое многообразие объемная форма. Многие классы многообразий имеют канонические формы объема: они имеют дополнительную структуру, которая позволяет выбрать предпочтительную форму объема. Ориентированный псевдоримановы многообразия имеют связанную каноническую форму тома.

Ориентация

Далее речь пойдет только об ориентируемости дифференцируемый многообразия (это более общее понятие, определенное на любом топологическом многообразии).

Многообразие ориентируемый если у него есть координатный атлас все переходные функции которых имеют положительные Детерминанты Якоби. Выбор максимального такого атласа - это ориентация на ${ displaystyle M}$ . Объемная форма ${ displaystyle omega}$ на ${ displaystyle M}$ дает начало ориентации естественным образом, как атлас координатных карт на ${ displaystyle M}$ что отправить ${ displaystyle omega}$ к положительному кратному евклидовой формы объема ${ Displaystyle dx ^ {1} клин cdots клин dx ^ {n}}$ .

Форма тома также позволяет указать предпочтительный класс кадры на ${ displaystyle M}$ . Назовем базис касательных векторов ${ displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ правша, если

{ displaystyle omega (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n})> 0.}

Коллекция всех правых рамок действует посредством группа ${ Displaystyle GL ^ {+} (п)}$ из общий линейный сопоставления в ${ displaystyle n}$ размеры с положительным определителем. Они образуют главный ${ Displaystyle GL ^ {+} (п)}$ подгруппа из линейный пучок кадров из ${ displaystyle M}$ , поэтому ориентация, связанная с формой объема, дает каноническое сокращение связки реперов ${ displaystyle M}$ в подгруппу со структурной группой ${ Displaystyle GL ^ {+} (п)}$ . То есть объемная форма порождает ${ Displaystyle GL ^ {+} (п)}$ -структура на ${ displaystyle M}$ . Очевидно, что большее сокращение возможно, если рассмотреть кадры с

{ displaystyle omega (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) = 1.}

(1)

Таким образом, объемная форма порождает ${ Displaystyle SL (п)}$ -структура. И наоборот, учитывая ${ Displaystyle SL (п)}$ -структуру можно восстановить форму объема, наложив (1) для специальных линейных систем отсчета, а затем решить для требуемого ${ displaystyle n}$ -форма ${ displaystyle omega}$ требуя единообразия в своих аргументах.

Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда оно имеет форму объема. В самом деле, ${ Displaystyle SL (п) к GL ^ {+} (п)}$ это деформационный отвод поскольку ${ Displaystyle GL ^ {+} = SL times mathbb {R} ^ {+}}$ , где положительные реалы вложены как скалярные матрицы. Таким образом, каждый ${ Displaystyle GL ^ {+} (п)}$ -структура сводится к ${ Displaystyle SL (п)}$ -структура, и ${ Displaystyle GL ^ {+} (п)}$ -структуры совпадают с ориентациями на ${ displaystyle M}$ . Более конкретно, тривиальность детерминантного расслоения ${ Displaystyle Omega ^ {п} (М)}$ эквивалентно ориентируемости, а линейное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет нигде не исчезающее сечение. Таким образом, наличие объемной формы равносильно ориентируемости.

Отношение к мерам

Учитывая объемную форму ${ displaystyle omega}$ на ориентированном многообразии плотность ${ displaystyle | omega |}$ это том псевдо-форма на неориентированном многообразии, полученном забыванием ориентации. Плотности также могут быть определены в более общем виде на неориентируемых многообразиях.

Псевдоформа любого объема ${ displaystyle omega}$ (и, следовательно, любая форма объема) определяет меру на Наборы Бореля к

{ displaystyle mu _ { omega} (U) = int _ {U} omega.}

Разница в том, что в то время как меру можно интегрировать по (Борелю) подмножество, объемную форму можно интегрировать только поверх ориентированный клетка. В одной переменной исчисление, письмо ${ displaystyle int _ {b} ^ {a} f , dx = - int _ {a} ^ {b} f , dx}$ считает ${ displaystyle dx}$ как форма объема, а не просто мера, и ${ displaystyle int _ {b} ^ {a}}$ указывает "интегрировать по ячейке ${ Displaystyle [а, б]}$ с противоположной ориентацией, иногда обозначается ${ Displaystyle { overline {[а, б]}}}$ ".

Кроме того, общие меры не обязательно должны быть непрерывными или плавными: их не нужно определять формой объема или, более формально, их Производная Радона – Никодима по отношению к данной форме объема не обязательно абсолютно непрерывный.

Расхождение

Учитывая объемную форму ω на M, можно определить расхождение из векторное поле Икс как единственная скалярнозначная функция, обозначаемая divИкс, удовлетворяющий

{ displaystyle ( operatorname {div} X) omega = L_ {X} omega = d (X ; lrcorner ; omega),}

куда L_Икс обозначает Производная Ли вдоль Икс и ${ Displaystyle X ; lrcorner ; omega}$ обозначает интерьерный продукт или слева сокращение из ω вдоль Икс. Если Икс это компактно поддерживается векторное поле и M это многообразие с краем, тогда Теорема Стокса подразумевает

{ displaystyle int _ {M} ( operatorname {div} X) omega = int _ { partial M} X ; lrcorner ; omega,}

что является обобщением теорема расходимости.

В соленоидный векторные поля - это поля с div Икс = 0. Из определения производной Ли следует, что форма объема сохраняется при поток соленоидального векторного поля. Таким образом, соленоидальные векторные поля - это как раз те, которые имеют потоки, сохраняющие объем. Этот факт хорошо известен, например, в механика жидкости где дивергенция поля скорости измеряет сжимаемость жидкости, которая, в свою очередь, представляет собой степень, в которой сохраняется объем вдоль потоков жидкости.

Особые случаи

Группы Ли

Для любого Группа Ли, естественная форма объема может быть определена переводом. То есть, если ω_е является элементом ${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {n} T_ {e} ^ {*} G}$ , то левоинвариантную форму можно определить как ${ displaystyle omega _ {g} = L_ {g ^ {- 1}} ^ {*} omega _ {e}}$ , куда L_грамм левый перевод. Как следствие, любая группа Ли ориентируема. Эта форма объема уникальна с точностью до скаляра, и соответствующая мера известна как Мера Хаара.

Симплектические многообразия

Любой симплектическое многообразие (или действительно любой почти симплектическое многообразие ) имеет естественную объемную форму. Если M это 2п-мерное многообразие с симплектическая форма ω, тогда ω^п нигде не равен нулю вследствие невырожденность симплектической формы. Как следствие, любое симплектическое многообразие ориентируемо (действительно, ориентировано). Если многообразие одновременно симплектическое и риманово, то две формы объема согласуются, если многообразие Kähler.

Риманова форма объема

Любой ориентированный псевдориманов (включая Риманов ) многообразие имеет естественную объемную форму. В местные координаты, его можно выразить как

{ displaystyle omega = { sqrt {| g |}} dx ^ {1} wedge dots wedge dx ^ {n}}

где ${ displaystyle dx ^ {i}}$ находятся 1-формы которые образуют позитивно ориентированную основу для котангенсный пучок коллектора. Здесь, ${ displaystyle | g |}$ абсолютное значение детерминант матричного представления метрический тензор на коллекторе.

Форма объема обозначается по-разному:

{ displaystyle omega = mathrm {vol} _ {n} = varepsilon = { star} (1).}

Здесь ${ displaystyle { star}}$ это Ходжа звезда, таким образом, последняя форма, ${ displaystyle { star} (1)}$ , подчеркивает, что форма объема является двойственной по Ходжу постоянному отображению на многообразии, которое равно Леви-Чивита тензор ε.

Хотя греческая буква ω часто используется для обозначения формы объема, это обозначение не универсально; символ ω часто несет много других значений в дифференциальная геометрия (например, симплектическая форма).

Инварианты формы объема

Объемные формы не уникальны; они образуют торсор над ненулевыми функциями на многообразии следующим образом. Учитывая отличную от нуля функцию ж на M, и объемная форма ${ displaystyle omega}$ , ${ displaystyle f omega}$ объемная форма на M. И наоборот, учитывая две формы объема ${ displaystyle omega, omega '}$ , их отношение - функция, отличная от нуля (положительная, если они определяют одну и ту же ориентацию, отрицательную, если они определяют противоположные ориентации).

В координатах они оба просто ненулевые функции, умноженные на Мера Лебега, а их отношение - это отношение функций, которое не зависит от выбора координат. По сути, это Производная Радона – Никодима из ${ displaystyle omega '}$ относительно ${ displaystyle omega}$ . На ориентированном многообразии пропорциональность любых двух форм объема можно рассматривать как геометрическую форму Теорема Радона – Никодима.

Нет локальной структуры

Форма объема на многообразии не имеет локальной структуры в том смысле, что на небольших открытых множествах невозможно различить данную форму объема и форму объема на евклидовом пространстве (Кобаяши 1972 ). То есть за каждую точку п в M, есть открытый район U из п и диффеоморфизм φ из U на открытую площадку в р^п так что объемная форма на U это откат из ${ Displaystyle dx ^ {1} клин cdots клин dx ^ {n}}$ вдоль φ.

Как следствие, если M и N два многообразия, каждое с формами объема ${ displaystyle omega _ {M}, omega _ {N}}$ , то для любых точек ${ displaystyle m in M, n in N}$ , есть открытые кварталы U из м и V из п и карта ${ displaystyle f двоеточие от U до V}$ так что объемная форма на N ограничено окрестностями V возвращается к форме объема на M ограничено окрестностями U: ${ displaystyle f ^ {*} omega _ {N} vert _ {V} = omega _ {M} vert _ {U}}$ .

В одном измерении это можно доказать так: учитывая объемную форму ${ displaystyle omega}$ на ${ displaystyle mathbf {R}}$ , определять

{ displaystyle f (x): = int _ {0} ^ {x} omega.}

Тогда стандартный Мера Лебега ${ displaystyle dx}$ тянет обратно к ${ displaystyle omega}$ под ж: ${ displaystyle omega = f ^ {*} dx}$ . Конкретно, ${ displaystyle omega = f ', dx}$ . В более высоких измерениях, учитывая любую точку ${ displaystyle m in M}$ , у него есть окрестность, локально гомеоморфная ${ displaystyle mathbf {R} times mathbf {R} ^ {n-1}}$ , и можно применить ту же процедуру.

Глобальная структура: объем

Форма объема на связном коллекторе M имеет единственный глобальный инвариант, а именно (общий) объем (обозначенный ${ Displaystyle му (М)}$ ), инвариантный относительно отображений, сохраняющих форму объема; это может быть бесконечно, например, для меры Лебега на ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ . На несвязном многообразии объем каждой связной компоненты является инвариантом.

В символах, если ${ displaystyle f двоеточие от M до N}$ является гомеоморфизмом многообразий, возвращающим ${ displaystyle omega _ {N}}$ к ${ displaystyle omega _ {M}}$ , тогда

{ displaystyle mu (N) = int _ {N} omega _ {N} = int _ {f (M)} omega _ {N} = int _ {M} f ^ {*} омега _ {N} = int _ {M} omega _ {M} = mu (M) ,}

и коллекторы имеют одинаковый объем.

Объемные формы также можно убрать под покрывающие карты, и в этом случае они умножают объем на мощность волокна (формально, путем интегрирования вдоль волокна). В случае бесконечного листового покрытия (например, ${ Displaystyle mathbf {R} к S ^ {1}}$ ), форма объема на многообразии конечного объема возвращается к форме объема на многообразии бесконечного объема.