Основной пакет - Principal bundle

В математика, а основной пакет^[1]^[2]^[3]^[4] представляет собой математический объект, который формализует некоторые существенные особенности Декартово произведение $Икс \times грамм$ пространства $Икс$ с группа $грамм$ . Как и в случае с декартовым произведением, основной пучок $п$ оснащен

An действие из $грамм$ на $п$ , аналогично $(Икс, грамм) час = (Икс, gh)$ для пространство продукта.
Проекция на $Икс$ . Для товарного пространства это просто проекция на первый фактор, $(Икс, грамм) \mapsto Икс$ .

В отличие от пространства продукта, у основных пакетов отсутствует предпочтительный выбор поперечного сечения идентичности; у них нет предпочтительного аналога $(Икс, е)$ . Точно так же обычно нет проекции на $грамм$ обобщая проекцию на второй фактор, $Икс \times грамм \to грамм$ который существует для декартова произведения. У них также может быть сложная топология что не позволяет реализовать их как пространство продукта, даже если был сделан ряд произвольных выборов, чтобы попытаться определить такую структуру, определяя ее на более мелких частях пространства.

Типичным примером основного пакета является комплект кадров $F (E)$ из векторный набор $E$ , который состоит из всех заказанных базы векторного пространства, прикрепленного к каждой точке. Группа $грамм$ в этом случае общая линейная группа, который действует справа обычным способом: к изменения основы. Поскольку нет естественного способа выбрать упорядоченный базис векторного пространства, в расслоении фреймов отсутствует канонический выбор единичного сечения.

Основные пакеты имеют важные приложения в топология и дифференциальная геометрия и математический калибровочная теория. Они также нашли применение в физика где они составляют часть фундаментальной основы физического калибровочные теории.

Формальное определение

Директор $грамм$ -бандл, где $грамм$ обозначает любой топологическая группа, это пучок волокон $π : п \to Икс$ вместе с непрерывный правильное действие $п \times грамм \to п$ такой, что $грамм$ сохраняет волокна $п$ (т.е. если $у \in P Икс$ тогда $yg \in P Икс$ для всех $грамм \in грамм$ ) и действует свободно и переходно (т.е. регулярно) на них таким образом, чтобы для каждого $Икс \inX$ и $у \inP Икс$ , карта $грамм \to P Икс$ отправка $грамм$ к $yg$ является гомеоморфизмом. В частности, каждый слой расслоения гомеоморфен группе $грамм$ сам. Часто требуется базовое пространство $Икс$ быть Хаусдорф и возможно паракомпакт.

Поскольку действие группы сохраняет слои $π : п \to Икс$ и действует транзитивно, отсюда следует, что орбиты из $грамм$ -действуют именно эти волокна и пространство орбиты $п / грамм$ является гомеоморфный в базовое пространство $Икс$ . Поскольку действие свободное, волокна имеют структуру грамм-торсоры. А $грамм$ -торсор - это пространство, гомеоморфное $грамм$ но ему не хватает групповой структуры, поскольку нет предпочтительного выбора элемент идентичности.

Эквивалентное определение принципала $грамм$ -бандл как $грамм$ -пучок $π : п \to Икс$ с волокном $грамм$ где структурная группа действует на слой левым умножением. Поскольку правое умножение на $грамм$ на слое коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на $грамм$ на $п$ . Волокна $π$ тогда стань правым $грамм$ -торсоры для этого действия.

Приведенные выше определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Также можно определить основные $грамм$ -связки в категория из гладкие многообразия. Здесь $π : п \to Икс$ требуется быть гладкая карта между гладкими коллекторами, $грамм$ требуется быть Группа Ли, и соответствующее действие на $п$ должен быть гладким.

Примеры

Типичным примером гладкого главного расслоения является комплект кадров гладкого многообразия $M$ , часто обозначаемый $F M$ или же $GL (M)$ . Здесь волокно над точкой $Икс \in M$ - это набор всех фреймов (т.е. упорядоченных баз) для касательное пространство $Т Икс M$ . В общая линейная группа $GL (п, ℝ)$ действует свободно и транзитивно на этих фреймах. Эти волокна можно склеить естественным образом, чтобы получить основной $GL (п, ℝ)$ - связать $M$ .
Варианты приведенного выше примера включают пучок ортонормированных кадров из Риманово многообразие. Здесь кадры должны быть ортонормированный с уважением к метрика. Структурная группа - это ортогональная группа $O (п)$ . Пример также работает для связок, отличных от касательной; если $E$ любое векторное расслоение ранга $k$ над $M$ , то связка кадров $E$ является основным $GL (k, ℝ)$ -связь, иногда обозначается $F (E)$ .
Нормальный (обычный) покрывающее пространство $п : C \to Икс$ - главное расслоение, в котором структурная группа

{ Displaystyle G = pi _ {1} (X) / p _ {*} ( pi _ {1} (C))}

действует на волокна

п

через монодромия действие. В частности, универсальный чехол из

Икс

является главным расслоением над

Икс

со структурной группой

π 1 (Икс)

(поскольку универсальная крышка подключается просто и, следовательно,

π 1 (C)

тривиально).

Позволять $грамм$ - группа Ли и пусть $ЧАС$ - замкнутая подгруппа (не обязательно нормальный ). потом $грамм$ является основным $ЧАС$ -бандер (слева) пространство смежности $грамм / ЧАС$ . Здесь действие $ЧАС$ на $грамм$ это правильное умножение. Слои являются левыми смежными классами $ЧАС$ (в этом случае имеется выделенный слой, содержащий единицу, который естественно изоморфен $ЧАС$ ).
Рассмотрим проекцию $π : S 1 \to S 1$ данный $z \mapsto z 2$ . Этот главный $ℤ 2$ -бандл - это связанный пакет из Лента Мебиуса. Помимо тривиального расслоения, это единственный главный $ℤ 2$ - связать $S 1$ .
Проективные пространства приведем еще несколько интересных примеров основных связок. Напомним, что $п$ -сфера $S п$ является двукратным накрывающим пространством реальное проективное пространство $ℝℙ п$ . Естественное действие $О (1)$ на $S п$ придает ему структуру принципала $О (1)$ - связать $ℝℙ п$ . Так же, $S 2 п +1$ является основным $U (1)$ - связать сложное проективное пространство $ℂℙ п$ и $S 4 п +3$ является основным $Sp (1)$ - связать кватернионное проективное пространство $ℍℙ п$ . Тогда у нас есть серия главных расслоений для каждого положительного $п$ :

{ Displaystyle { mbox {O}} (1) к S ( mathbb {R} ^ {n + 1}) to mathbb {RP} ^ {n}}

{ Displaystyle { mbox {U}} (1) к S ( mathbb {C} ^ {n + 1}) к mathbb {CP} ^ {n}}

{ displaystyle { mbox {Sp}} (1) to S ( mathbb {H} ^ {n + 1}) to mathbb {HP} ^ {n}.}

Здесь

S (V)

обозначает единичную сферу в

V

(снабженный евклидовой метрикой). Для всех этих примеров

п = 1

дела дают так называемые Связки хопфа.

Основные свойства

Тривиализации и сечения

Один из наиболее важных вопросов, касающихся любого пучка волокон, заключается в том, является ли он банальный, т.е. изоморфна набору продуктов. Для главных расслоений есть удобная характеристика тривиальности:

Предложение. Главное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальную поперечное сечение.

То же самое не относится к другим пучкам волокон. Например, Векторные пучки всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, тривиальны они или нет, и связки сфер может допускать множество глобальных секций, не будучи тривиальным.

То же самое относится и к локальной тривиализации главных расслоений. Позволять $π : п \to Икс$ быть главным $грамм$ -пучок. An открытый набор $U$ в $Икс$ допускает локальную тривиализацию тогда и только тогда, когда существует локальное сечение на $U$ . Учитывая локальную тривиализацию

{ Displaystyle Phi: pi ^ {- 1} (U) к U times G}

можно определить связанный локальный раздел

{ Displaystyle s: U к pi ^ {- 1} (U); s (x) = Phi ^ {- 1} (x, e) ,}

куда $е$ это личность в $грамм$ . И наоборот, учитывая раздел $s$ один определяет тривиализацию $Φ$ к

{ Displaystyle Phi ^ {- 1} (х, g) = s (x) cdot g.}

Простая транзитивность $грамм$ действие на волокна $п$ гарантирует, что эта карта биекция, это также гомеоморфизм. Локальные тривиализации, определяемые локальными секциями: $грамм$ -эквивариантный в следующем смысле. Если мы напишем

{ Displaystyle Phi: pi ^ {- 1} (U) к U times G}

в виде

{ Displaystyle Phi (p) = ( pi (p), varphi (p)),}

тогда карта

{ displaystyle varphi: P to G}

удовлетворяет

{ Displaystyle varphi (п cdot g) = varphi (p) g.}

Следовательно, эквивариантные тривиализации сохраняют $грамм$ -торсорное строение волокон. С точки зрения связанного местного раздела $s$ карта $φ$ дан кем-то

{ displaystyle varphi (s (x) cdot g) = g.}

Локальная версия теоремы о сечении затем утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными сечениями.

Учитывая эквивариантную локальную тривиализацию $({U я}, {Φ я})$ из $п$ , у нас есть локальные разделы $s я$ на каждой $U я$ . На перекрытиях они должны быть связаны действием структурной группы $грамм$ . На самом деле связь обеспечивается функции перехода

{ displaystyle t_ {ij} = U_ {i} cap U_ {j} to G ,}

Для любого $Икс \in U я \cap U j$ у нас есть

{ displaystyle s_ {j} (x) = s_ {i} (x) cdot t_ {ij} (x).}

Характеризация гладких главных расслоений

Если π : п → Икс гладкий принципал грамм-bundle тогда грамм действует свободно и правильно на п так что орбитальное пространство п/грамм является диффеоморфный в базовое пространство Икс. Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если п гладкое многообразие, грамм группа Ли и μ : п × грамм → п плавное, свободное и правильное действие, тогда

п/грамм гладкое многообразие,
естественная проекция π : п → п/грамм гладкий погружение, и
п гладкий принципал грамм- связать п/грамм.

Использование понятия

Сокращение структурной группы

Учитывая подгруппу ЧАС из грамм можно рассматривать комплект ${ Displaystyle P / H}$ слои которого гомеоморфны пространство смежности ${ displaystyle G / H}$ . Если новый пакет допускает глобальную секцию, то говорят, что секция является сокращение структурной группы от грамм к ЧАС. Причина этого названия в том, что (послойно) инверсия значений этого раздела формирует подгруппу п это главный ЧАС-пучок. Если ЧАС тождество, то часть п сам по себе является приведением структурной группы к тождеству. Редукций структурной группы вообще не существует.

Многие топологические вопросы о структуре многообразия или строении расслоений над ним, связанных с главным грамм-бандл можно перефразировать как вопросы о допустимости сокращения структурной группы (из грамм к ЧАС). Например:

А 2п-мерное вещественное многообразие допускает почти сложная структура если комплект кадров на многообразии, слои которого ${ Displaystyle GL (2n, mathbb {R})}$ , сводится к группе ${ Displaystyle mathrm {GL} (п, mathbb {C}) substeq mathrm {GL} (2n, mathbb {R})}$ .
An п-мерное вещественное многообразие допускает k-плоскость, если пакет рам можно свести к структурной группе ${ Displaystyle mathrm {GL} (к, mathbb {R}) substeq mathrm {GL} (п, mathbb {R})}$ .
Многообразие ориентируемый тогда и только тогда, когда его связку кадров можно свести к специальная ортогональная группа, ${ Displaystyle mathrm {SO} (п) substeq mathrm {GL} (п, mathbb {R})}$ .
Многообразие имеет спиновая структура тогда и только тогда, когда его набор кадров может быть дополнительно сокращен с ${ Displaystyle mathrm {SO} (п)}$ к ${ displaystyle mathrm {Spin} (n)}$ в Спиновая группа, который соответствует ${ Displaystyle mathrm {SO} (п)}$ как двойное покрытие.

Также обратите внимание: п-мерное многообразие допускает п векторные поля, которые линейно независимы в каждой точке тогда и только тогда, когда ее комплект кадров допускает глобальный раздел. В этом случае многообразие называется распараллеливаемый.

Связанные векторные пучки и фреймы

Если п является основным грамм-бандл и V это линейное представление из грамм, то можно построить векторное расслоение ${ displaystyle E = P times _ {G} V}$ с волокном V, как частное от произведения п×V диагональным действием грамм. Это частный случай связанный пакет строительство и E называется связанный векторный пучок к п. Если представление грамм на V является верный, так что грамм является подгруппой общей линейной группы GL (V), тогда E это грамм-бандл и п обеспечивает сокращение структурной группы кадрового пучка E из GL (V) к грамм. В этом смысле главные расслоения дают абстрактную формулировку теории расслоений реперов.

Классификация основных связок

Любая топологическая группа $грамм$ признает классификация пространства $BG$ : частное по действию $грамм$ некоторых слабо сжимаемый Космос $НАПРИМЕР$ , т.е. топологическое пространство с исчезающими гомотопические группы. Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любой $грамм$ главный пучок над паракомпакт многообразие B изоморфен откат основного пакета $НАПРИМЕР \to BG$ .^[5] На самом деле, верно больше, поскольку множество классов изоморфизма главных $грамм$ связки над основанием $B$ отождествляется с множеством гомотопических классов отображений $B \to BG$ .

Смотрите также

Источники

Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы. Эддисон-Уэсли Паблишинг. ISBN 0-486-44546-1.
Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ ((4-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-25907-4.
Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8.
Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.
Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00548-6.

[1] Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон. Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6. стр. 35

[2] Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8. стр.42

[3] Шарп, Р. У. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9. стр. 37

[4] Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. стр. 370

[5] Сташефф, Джеймс Д. (1971) "ЧАС-пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки », Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 247–272, Теорема 2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]