Калибровочная теория (математика) - Gauge theory (mathematics)

В математика, и особенно дифференциальная геометрия и математическая физика, калибровочная теория это общее исследование связи на векторные пакеты, основные связки, и пучки волокон. Калибровочную теорию в математике не следует путать с тесно связанным понятием калибровочная теория в физика, что является теория поля который допускает калибровочная симметрия. По математике теория означает математическая теория, заключающий в себе общее изучение совокупности понятий или явлений, тогда как в физическом смысле калибровочная теория - это физическая модель какого-то природного явления.

Калибровочная теория в математике обычно связана с изучением теоретико-калибровочных уравнений. Это дифференциальные уравнения включающие связи на векторных расслоениях или главных расслоениях, или включающие сечения векторных расслоений, так что между калибровочной теорией и геометрический анализ. Эти уравнения часто имеют физический смысл и соответствуют важным концепциям в квантовая теория поля или же теория струн, но также имеют важное математическое значение. Например, Уравнения Янга – Миллса являются системой уравнения в частных производных для связности на главном расслоении, и в физике решения этих уравнений соответствуют вакуумные решения к уравнениям движения для классическая теория поля, частицы, известные как инстантоны.

Калибровочная теория нашла применение при построении новых инварианты из гладкие многообразия, строительство экзотических геометрических структур, таких как гиперкэлеровы многообразия, а также дать альтернативные описания важных структур в алгебраическая геометрия Такие как пространства модулей векторных расслоений и когерентные пучки.

История

Калибровочная теория берет свое начало еще с формулировки Уравнения Максвелла описывающий классический электромагнетизм, который можно сформулировать как калибровочную теорию со структурной группой круговая группа. Работа Поль Дирак на магнитные монополи и релятивистский квантовая механика поощрял идею о том, что связки и соединения - это правильный способ формулирования многих проблем квантовой механики. Калибровочная теория в математической физике возникла как важная область исследований с основополагающими работами Роберт Миллс и Чен-Нин Ян по так называемой калибровочной теории Янга – Миллса, которая теперь является фундаментальной моделью, лежащей в основе стандартная модель физики элементарных частиц.^[1]

Математическое исследование калибровочной теории берет свое начало в работах Майкл Атья, Исадор Сингер, и Найджел Хитчин об уравнениях автодуальности на Риманово многообразие в четырех измерениях.^[2][3] В этой работе изучалось пространство модулей самодуальных связностей (инстантонов) на евклидовом пространстве, и было показано, что его размерность ${ displaystyle 8k-3}$ куда ${ displaystyle k}$ - положительный целочисленный параметр. Это связано с открытием BPST инстантоны, вакуумные решения уравнений Янга – Миллса в четырех измерениях. Примерно в то же время Атия и Ричард Уорд обнаружил связь между решениями уравнений автодуальности и алгебраическими расслоениями над сложное проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {3}}$.^[4] Другим значительным ранним открытием стало создание Строительство ADHM по Атии, Владимир Дринфельд, Хитчин и Юрий Манин.^[5] Эта конструкция позволила решить уравнения антиавтодуальности на евклидовом пространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ из чисто линейных алгебраических данных.

Значительный прорыв, способствовавший развитию математической калибровочной теории, произошел в начале 1980-х годов. В это время важная работа Атья и Рауль Ботт об уравнениях Янга – Миллса над римановыми поверхностями показал, что теоретико-калибровочные задачи могут привести к интересным геометрическим структурам, стимулируя развитие бесконечномерных карты моментов, эквивариантный Теория Морса, и связи между калибровочной теорией и алгебраической геометрией.^[6] Важные аналитические инструменты в геометрический анализ были разработаны в это время Карен Уленбек, который изучил аналитические свойства связей и кривизны, доказав важные результаты о компактности.^[7] Наиболее значительный прогресс в этой области произошел благодаря работе Саймон Дональдсон и Эдвард Виттен.

Дональдсон использовал комбинацию алгебраической геометрии и методов геометрического анализа для построения новых инварианты из четыре коллектора, теперь известный как Инварианты Дональдсона.^[8][9] Благодаря этим инвариантам появляются новые результаты, такие как существование топологических многообразий, не допускающих гладких структур, или существование множества различных гладких структур в евклидовом пространстве. ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ можно было доказать. За эту работу Дональдсон был награжден Медаль Филдса в 1986 г.

Виттен аналогичным образом заметил, что калибровочная теория может описывать топологические инварианты, связывая величины, возникающие из Теория Черна – Саймонса в трех измерениях к Многочлен Джонса, инвариант узлы.^[10] Эта работа и открытие инвариантов Дональдсона, а также новая работа Андреас Флоер на Гомология Флоера, вдохновил на изучение топологическая квантовая теория поля.

После открытия способности калибровочной теории определять инварианты многообразий популярность математической калибровочной теории расширилась. Были обнаружены другие инварианты, такие как Инварианты Зайберга – Виттена. и Инварианты Вафы – Виттена..^[11][12] Сильные связи с алгебраической геометрией были реализованы в работах Дональдсона, Уленбека и Шинг-Тунг Яу на Переписка Кобаяши – Хитчина связывая связи Янга – Миллса с стабильные векторные расслоения.^[13][14] Работы Найджела Хитчина и Карлос Симпсон на Связки Хиггса продемонстрировали, что пространства модулей, возникающие из калибровочной теории, могут иметь экзотические геометрические структуры, такие как структура гиперкэлеровы многообразия, а также ссылки на интегрируемые системы сквозь Система Хитчина.^[15][16] Ссылки на теория струн и зеркальная симметрия были реализованы там, где калибровочная теория важна для формулировки гомологическая зеркальная симметрия гипотеза и AdS / CFT корреспонденция.

Основные объекты интереса

Основными интересными объектами калибровочной теории являются: связи на векторные пакеты и основные связки. В этом разделе мы кратко напоминаем об этих конструкциях и отсылаем к основным статьям о них для подробностей. Описанные здесь структуры являются стандартными в литературе по дифференциальной геометрии, а введение в тему с теоретико-калибровочной точки зрения можно найти в книге Дональдсона и Питер Кронхеймер.^[17]

Основные пакеты

Центральными объектами изучения калибровочной теории являются главные расслоения и векторные расслоения. Выбор того, что изучать, по существу произвольный, поскольку можно переходить от одного к другому, но основные связки являются естественными объектами с физической точки зрения для описания. калибровочные поля, а математически они более элегантно кодируют соответствующую теорию связностей и кривизны для связанных с ними векторных расслоений.

А основной пакет с структурная группа ${ displaystyle G}$, или главный ${ displaystyle G}$-пучок, состоит из пятерки ${ displaystyle (P, X, pi, G, rho)}$ куда ${ displaystyle pi: P to X}$ гладкий пучок волокон со слоем, изоморфным Группа Ли ${ displaystyle G}$, и ${ displaystyle rho}$ представляет свободный и переходный верно групповое действие из ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle P}$ который сохраняет волокна в том смысле, что для всех ${ displaystyle p in P}$, ${ Displaystyle пи (пг) = пи (р)}$ для всех ${ displaystyle g in G}$. Здесь ${ displaystyle P}$ это общая площадь, и ${ displaystyle X}$ в базовое пространство. Использование правильного группового действия для каждого ${ displaystyle x in X}$ и любой выбор ${ displaystyle p in P_ {x}}$, карта ${ displaystyle g mapsto pg}$ определяет диффеоморфизм ${ Displaystyle P_ {x} cong G}$ между волокном над ${ displaystyle x}$ и группа Ли ${ displaystyle G}$ как гладкие многообразия. Обратите внимание, однако, что нет естественного способа снабдить волокна ${ displaystyle P}$ со структурой групп Ли естественно, так как естественного выбора такого элемента нет ${ displaystyle p in P_ {x}}$ для каждого ${ displaystyle x in X}$.

Приведены простейшие примеры основных расслоений, когда ${ Displaystyle G = OperatorName {U} (1)}$ это круговая группа. В этом случае главное расслоение имеет размерность ${ Displaystyle тусклый P = п + 1}$ куда ${ Displaystyle тусклый X = п}$. Другой естественный пример - когда ${ Displaystyle P = { mathcal {F}} (TX)}$ это комплект кадров из касательный пучок коллектора ${ displaystyle X}$, или, в более общем смысле, расслоение фреймов векторного расслоения над ${ displaystyle X}$. В этом случае волокно ${ displaystyle P}$ дается общая линейная группа ${ Displaystyle OperatorName {GL} (п, mathbb {R})}$.

Поскольку основное расслоение является расслоением, оно локально имеет структуру продукта. То есть существует открытое покрытие ${ displaystyle {U _ { alpha} }}$ из ${ displaystyle X}$ и диффеоморфизмы ${ displaystyle varphi _ { alpha}: P_ {U _ { alpha}} to U _ { alpha} times G}$ ездить с проекциями ${ displaystyle pi}$ и ${ displaystyle operatorname {pr} _ {1}}$, так что функции перехода ${ displaystyle g _ { alpha beta}: U _ { alpha} cap U _ { beta} to G}$ определяется ${ displaystyle varphi _ { alpha} circ varphi _ { beta} ^ {- 1} (x, g) = (x, g _ { alpha beta} (x) g)}$ удовлетворить состояние коцикла

${ Displaystyle г _ { альфа бета} (х) г _ { бета гамма} (х) = г _ { альфа гамма} (х)}$

на любом тройном перекрытии ${ Displaystyle U _ { alpha} cap U _ { beta} cap U _ { gamma}}$. Чтобы определить главное расслоение, достаточно указать такой выбор функций перехода. Затем расслоение определяется склейкой тривиальных расслоений ${ displaystyle U _ { alpha} times G}$ вдоль перекрестков ${ Displaystyle U _ { alpha} cap U _ { beta}}$ используя функции перехода. Условие коцикла гарантирует, что он определяет отношение эквивалентности о несвязном союзе ${ displaystyle bigsqcup _ { alpha} U _ { alpha} times G}$ и поэтому факторное пространство^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} ${ Displaystyle P = bigsqcup _ { alpha} U _ { alpha} times G / { sim}}$ четко определено.

Обратите внимание, что выбор местная секция ${ displaystyle s _ { alpha}: U _ { alpha} to P_ {U _ { alpha}}}$ удовлетворение ${ displaystyle pi circ s _ { alpha} = operatorname {Id}}$ является эквивалентным методом указания локальной карты тривиализации. А именно, можно определить ${ displaystyle varphi _ { alpha} (p) = ( pi (p), { tilde {s}} _ { alpha} (p))}$ куда ${ displaystyle { tilde {s}} _ { alpha} (p) in G}$ - единственный элемент группы такой, что ${ Displaystyle p { тильда {s}} _ { alpha} (p) ^ {- 1} = s _ { alpha} ( pi (p))}$.

Векторные пучки

А векторный набор это тройка ${ Displaystyle (Е, Х, пи)}$ куда ${ displaystyle pi: E to X}$ это пучок волокон со слоем, заданным векторным пространством ${ displaystyle mathbb {K} ^ {r}}$ куда ${ Displaystyle mathbb {K} = mathbb {R}, mathbb {C}}$ это поле. Номер ${ displaystyle r}$ это классифицировать векторного расслоения. Опять же, имеется локальное описание векторного расслоения в терминах тривиализирующего открытого покрытия. Если ${ displaystyle {U _ { alpha} }}$ такое покрытие, то при изоморфизме

${ displaystyle varphi _ { alpha}: E_ {U _ { alpha}} to U _ { alpha} times mathbb {K} ^ {r}}$

можно получить ${ displaystyle r}$ выдающиеся местные секции ${ displaystyle E}$ соответствующий ${ displaystyle r}$ координатные базисные векторы ${ displaystyle e_ {1}, dots, e_ {r}}$ из ${ displaystyle mathbb {K} ^ {r}}$, обозначенный ${ displaystyle { boldsymbol {e}} _ {1}, dots, { boldsymbol {e}} _ {r}}$. Они определяются уравнением

${ displaystyle varphi _ { alpha} ({ boldsymbol {e}} _ {i} (x)) = (x, e_ {i}).}$

Следовательно, чтобы указать тривиализацию, это эквивалентно дать набор ${ displaystyle r}$ локальные секции, которые всюду линейно независимы, и используют это выражение для определения соответствующего изоморфизма. Такой набор локальных секций называется Рамка.

Аналогично основным расслоениям получаются переходные функции ${ displaystyle g _ { alpha beta}: U _ { alpha} cap U _ { beta} to operatorname {GL} (r, mathbb {K})}$ для векторного расслоения, определяемого

${ displaystyle varphi _ { alpha} circ varphi _ { beta} ^ {- 1} (x, v) = (x, g _ { alpha beta} (x) v).}$

Если взять эти функции перехода и использовать их для построения локальной тривиализации для главного расслоения со слоем, равным структурной группе ${ Displaystyle OperatorName {GL} (г, mathbb {K})}$, получается в точности расслоение кадров ${ displaystyle E}$, директор ${ Displaystyle OperatorName {GL} (г, mathbb {K})}$-пучок.

Связанные пакеты

Учитывая принципала ${ displaystyle G}$-пучок ${ displaystyle P}$ и представление ${ displaystyle rho}$ из ${ displaystyle G}$ в векторном пространстве ${ displaystyle V}$, можно построить связанный векторный пучок ${ displaystyle E = P times _ { rho} V}$ со слоем векторное пространство ${ displaystyle V}$. Чтобы определить это векторное расслоение, нужно рассмотреть правильное действие над продуктом. ${ Displaystyle P раз V}$ определяется ${ Displaystyle (p, v) g = (pg, rho (g ^ {- 1}) v)}$ и определяет ${ Displaystyle P раз _ { rho} V = (P раз V) / G}$ как факторное пространство в отношении этого действия.

С точки зрения функций перехода связанный пакет можно понять более просто. Если основной пучок ${ displaystyle P}$ имеет переходные функции ${ displaystyle g _ { alpha beta}}$ относительно локальной тривиализации ${ displaystyle {U _ { alpha} }}$, то строится связанное векторное расслоение с помощью функций перехода ${ displaystyle rho circ g _ { alpha beta}: U _ { alpha} cap U _ { beta} to operatorname {GL} (V)}$.

Соответствующее построение пучка может быть выполнено для любого волоконного пространства. ${ displaystyle F}$, а не просто векторное пространство, если ${ displaystyle rho: G to operatorname {Aut} (F)}$ является гомоморфизмом групп. Одним из ключевых примеров является заглавная A сопряженный пучок ${ displaystyle operatorname {Ad} (P)}$ с волокном ${ displaystyle G}$, построенный с помощью группового гомоморфизма ${ displaystyle rho: G to operatorname {Aut} (G)}$ определяется спряжением ${ Displaystyle г mapsto (ч mapsto ghg ^ {- 1})}$. Обратите внимание, что несмотря на наличие клетчатки ${ displaystyle G}$присоединенное расслоение не является ни главным расслоением, ни изоморфным как расслоение ${ displaystyle P}$ сам. Например, если ${ displaystyle G}$ абелева, то действие сопряжения тривиально и ${ displaystyle operatorname {Ad} (P)}$ будет тривиальным ${ displaystyle G}$- пучок волокон поверх ${ displaystyle X}$ независимо от того, есть ли ${ displaystyle P}$ тривиален как расслоение. Другой ключевой пример - это строчная а сопряженный пучок ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$ построенный с использованием присоединенное представительство ${ displaystyle rho: G to operatorname {Aut} ({ mathfrak {g}})}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли из ${ displaystyle G}$.

Калибровочные преобразования

А калибровочное преобразование векторного расслоения или главного расслоения является автоморфизмом этого объекта. Для основного расслоения калибровочное преобразование состоит из диффеоморфизма ${ displaystyle varphi: P to P}$ коммутируя с оператором проекции ${ displaystyle pi}$ и правильное действие ${ displaystyle rho}$. Для векторного расслоения калибровочное преобразование аналогично определяется диффеоморфизмом ${ displaystyle varphi: E to E}$ коммутируя с оператором проекции ${ displaystyle pi}$ который является линейным изоморфизмом векторных пространств на каждом слое.

Калибровочные преобразования ( ${ displaystyle P}$ или же ${ displaystyle E}$) образуют группу по составу, называемую группа датчиков, обычно обозначается ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$. Эту группу можно охарактеризовать как пространство глобальных сечений. ${ displaystyle { mathcal {G}} = Gamma ( operatorname {Ad} (P))}$ присоединенного пучка, или ${ Displaystyle { mathcal {G}} = Gamma ( operatorname {Ad} ({ mathcal {F}} (E)))}$ в случае векторного расслоения, где ${ Displaystyle { mathcal {F}} (E)}$ обозначает связку кадров.

Также можно определить преобразование локальной калибровки как изоморфизм локального расслоения над тривиализирующим открытым подмножеством ${ displaystyle U _ { alpha}}$. Это может быть однозначно указано как карта ${ displaystyle g _ { alpha}: U _ { alpha} to G}$ (принимая ${ Displaystyle G = OperatorName {GL} (г, mathbb {K})}$ в случае векторных расслоений), где индуцированный изоморфизм расслоений определяется формулой

${ displaystyle varphi _ { alpha} (p) = pg _ { alpha} ( pi (p))}$

и аналогично для векторных расслоений.

Обратите внимание, что для двух локальных тривиализаций главного расслоения над одним и тем же открытым подмножеством ${ displaystyle U _ { alpha}}$, функция перехода - это в точности локальное калибровочное преобразование ${ displaystyle g _ { alpha alpha}: U _ { alpha} to G}$. То есть, локальные калибровочные преобразования - это замены локальной тривиализации для главных расслоений или векторных расслоений.

Связи на основных связках

Соединение на основном жгуте - это метод соединения соседних волокон, чтобы уловить понятие секции. ${ displaystyle s: X to P}$ существование постоянный или же горизонтальный. Поскольку слои абстрактного главного расслоения не отождествляются естественным образом друг с другом или с пространством слоев ${ displaystyle G}$ сам по себе не существует канонического способа указать, какие разделы являются постоянными. Выбор локальной тривиализации приводит к одному возможному выбору: если ${ displaystyle P}$ тривиально над множеством ${ displaystyle U _ { alpha}}$, то локальный участок можно назвать горизонтальным, если он постоянен относительно этой тривиализации в том смысле, что ${ Displaystyle varphi _ { альфа} (s (x)) = (x, g)}$ для всех ${ Displaystyle х в U _ { alpha}}$ и один ${ displaystyle g in G}$. В частности, тривиальное главное расслоение ${ displaystyle P = X times G}$ оснащен тривиальная связь.

В целом связь задается выбором горизонтальных подпространств ${ displaystyle H_ {p} subset T_ {p} P}$ касательных пространств в каждой точке ${ displaystyle p in P}$, так что в каждой точке ${ displaystyle T_ {p} P = H_ {p} oplus V_ {p}}$ куда ${ displaystyle V}$ это вертикальный пучок определяется ${ Displaystyle V = ker d pi}$. Эти горизонтальные подпространства должны быть совместимы со структурой основного расслоения, требуя, чтобы горизонтальные распределение ${ displaystyle H}$ инвариантен относительно действия правой группы: ${ Displaystyle H_ {pg} = d (R_ {g}) (H_ {p})}$ куда ${ displaystyle R_ {g}: P to P}$ обозначает правое умножение на ${ displaystyle g}$. Секция ${ displaystyle s}$ как говорят горизонтальный если ${ displaystyle T_ {p} s subset H_ {p}}$ куда ${ displaystyle s}$ отождествляется со своим изображением внутри ${ displaystyle P}$, которое является подмногообразием ${ displaystyle P}$ с касательной связкой ${ displaystyle Ts}$. Учитывая векторное поле ${ displaystyle v in Gamma (TX)}$, есть уникальный горизонтальный подъемник ${ Displaystyle v ^ { #} in Gamma (H)}$. В кривизна связи ${ displaystyle H}$ задается двумерной формой со значениями в присоединенном расслоении ${ Displaystyle F in Omega ^ {2} (X, operatorname {ad} (P))}$ определяется

${ Displaystyle F (v_ {1}, v_ {2}) = [v_ {1} ^ { #}, v_ {2} ^ { #}] - [v_ {1}, v_ {2}] ^ { #}}$

куда ${ Displaystyle [ cdot, cdot]}$ это Скобка Ли векторных полей. Поскольку вертикальный пучок состоит из касательных пространств к слоям ${ displaystyle P}$ и эти слои изоморфны группе Ли ${ displaystyle G}$ касательное расслоение которого канонически отождествляется с ${ Displaystyle TG = G times { mathfrak {g}}}$, есть уникальный Алгебразначный двойная форма ${ Displaystyle F in Omega ^ {2} (P, { mathfrak {g}})}$ соответствующей кривизне. С точки зрения Теорема Фробениуса об интегрируемости, кривизна точно определяет степень, в которой горизонтальное распределение не может быть интегрируемым, и, следовательно, степень, в которой ${ displaystyle M}$ не встраивается внутрь ${ displaystyle P}$ как горизонтальное подмногообразие локально.

Выбор горизонтальных подпространств может быть эквивалентно выражен оператором проекции ${ displaystyle nu: TP to V}$ который эквивариантен в правильном смысле, называемый подключение одноформное. Для горизонтального распределения ${ displaystyle H}$, это определяется ${ Displaystyle Nu _ {H} (ч + v) = v}$ куда ${ displaystyle h + v}$ обозначает разложение касательного вектора относительно разложения в прямую сумму ${ Displaystyle TP = H oplus V}$. Из-за эквивариантности эту проекционную одноформу можно считать алгеброзначной, что дает ${ displaystyle nu in Omega ^ {1} (P, { mathfrak {g}})}$.

Локальная тривиализация для ${ displaystyle P}$ эквивалентно задается локальной секцией ${ displaystyle s _ { alpha}: U _ { alpha} to P_ {U _ { alpha}}}$ а соединение однообразным и кривизной может быть вытащил обратно по этой гладкой карте. Это дает локальная связь однократная ${ displaystyle A _ { alpha} = s _ { alpha} ^ {*} nu in Omega ^ {1} (U _ { alpha}, operatorname {ad} (P))}$ который принимает значения в сопряженный пучок из ${ displaystyle P}$. Структурное уравнение Картана говорит, что кривизна может быть выражена через локальную одноформу ${ displaystyle A _ { alpha}}$ выражением

${ displaystyle F = dA _ { alpha} + { frac {1} {2}} [A _ { alpha}, A _ { alpha}]}$

где мы используем скобку Ли на расслоении алгебр Ли ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$ который отождествляется с ${ displaystyle U _ { alpha} times { mathfrak {g}}}$ на локальной тривиализации ${ displaystyle U _ { alpha}}$.

При локальном калибровочном преобразовании ${ displaystyle g: U _ { alpha} to G}$ так что ${ displaystyle { tilde {A}} _ { alpha} = (g circ s) ^ {*} nu}$, одноформа локальной связи преобразуется выражением

${ displaystyle { tilde {A}} _ { alpha} = operatorname {ad} (g) circ A _ { alpha} + (g ^ {- 1}) ^ {*} theta}$

куда ${ displaystyle theta}$ обозначает Форма Маурера – Картана группы Ли ${ displaystyle G}$. В случае, когда ${ displaystyle G}$ это матричная группа Ли, есть более простое выражение${ displaystyle { tilde {A}} _ { alpha} = gA _ { alpha} g ^ {- 1} - (dg) g ^ {- 1}.}$

Связи на векторных расслоениях

Связь на векторном расслоении может быть задана аналогично случаю для главных расслоений выше, известному как Связь Ehresmann. Однако связи векторных расслоений допускают более сильное описание в терминах дифференциального оператора. А связь на векторном расслоении - это выбор ${ Displaystyle mathbb {K}}$-линейный дифференциальный оператор

${ displaystyle nabla: Gamma (E) to Gamma (T ^ {*} X otimes E) = Omega ^ {1} (E)}$

такой, что

${ displaystyle nabla (fs) = df otimes s + f nabla s}$

для всех ${ Displaystyle е в C ^ { infty} (X)}$ и разделы ${ Displaystyle s in Gamma (E)}$. В ковариантная производная раздела ${ displaystyle s}$ в направлении векторного поля ${ displaystyle v}$ определяется

${ Displaystyle nabla _ {v} (s) = nabla s (v)}$

где справа мы используем естественное соединение между ${ displaystyle Omega ^ {1} (X)}$ и ${ displaystyle TX}$. Это новый раздел векторного расслоения ${ displaystyle E}$, считается производным от ${ displaystyle s}$ в направлении ${ displaystyle v}$. Оператор ${ displaystyle nabla _ {v}}$ - оператор ковариантной производной по направлению ${ displaystyle v}$. В кривизна из ${ displaystyle nabla}$ дается оператором ${ displaystyle F _ { nabla} in Omega ^ {2} ( operatorname {End} (E))}$ со значениями в пучок эндоморфизмов, определяется

${ displaystyle F _ { nabla} (v_ {1}, v_ {2}) = nabla _ {v_ {1}} nabla _ {v_ {2}} - nabla _ {v_ {2}} nabla _ {v_ {1}} - nabla _ {[v_ {1}, v_ {2}]}.}$

В локальной тривиализации внешняя производная ${ displaystyle d}$ действует как тривиальная связь (соответствующая на изображении основного расслоения тривиальной связи, описанной выше). А именно для локальной рамки ${ displaystyle { boldsymbol {e}} _ {1}, dots, { boldsymbol {e}} _ {r}}$ один определяет

${ displaystyle d (s ^ {i} { boldsymbol {e}} _ {i}) = ds ^ {i} otimes { boldsymbol {e}} _ {i}}$

где здесь мы использовали Обозначения Эйнштейна для местного раздела ${ displaystyle s = s ^ {i} { boldsymbol {e}} _ {i}}$.

Любые два соединения ${ displaystyle nabla _ {1}, nabla _ {2}}$ отличаться ${ displaystyle operatorname {End} (E)}$однозначная форма ${ displaystyle A}$. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что разница между двумя соединениями равна ${ Displaystyle C ^ { infty} (X)}$-линейный:

${ displaystyle ( nabla _ {1} - nabla _ {2}) (fs) = f ( nabla _ {1} - nabla _ {2}) (s).}$

В частности, поскольку каждое векторное расслоение допускает связь (используя разделы единства и локальные тривиальные связи), множество связей на векторном расслоении имеет структуру бесконечномерного аффинное пространство моделируется в векторном пространстве ${ displaystyle Omega ^ {1} ( operatorname {End} (E))}$. Это пространство обычно обозначается ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.

Применяя это наблюдение локально, каждое соединение над тривиализирующим подмножеством ${ displaystyle U _ { alpha}}$ отличается от банальной связи ${ displaystyle d}$ по некоторой локальной связи однообразный ${ displaystyle A _ { alpha} in Omega ^ {1} (U _ { alpha}, operatorname {End} (E))}$, со свойством, что ${ displaystyle nabla = d + A _ { alpha}}$ на ${ displaystyle U _ { alpha}}$. В терминах этой формы локального соединения кривизна может быть записана как

${ displaystyle F_ {A} = dA _ { alpha} + A _ { alpha} клин A _ { alpha}}$

где произведение клина встречается на компоненте одной формы, а одно составляет эндоморфизмы на компоненте эндоморфизма. Чтобы вернуться к теории основных расслоений, обратите внимание, что ${ Displaystyle А клин А = { гидроразрыва {1} {2}} [А, А]}$ где справа мы теперь проводим клин одноформ и коммутатор эндоморфизмов.

При калибровочном преобразовании ${ displaystyle u}$ векторного расслоения ${ displaystyle E}$, связь ${ displaystyle nabla}$ превращается в связь ${ Displaystyle и cdot nabla}$ спряжением ${ Displaystyle (и cdot nabla) _ {v} (s) = u ( nabla _ {v} (u ^ {- 1} (s))}$. Разница ${ Displaystyle и cdot nabla - nabla = - ( nabla и) и ^ {- 1}}$ где здесь ${ displaystyle nabla}$ действует на эндоморфизмы ${ displaystyle E}$. Под местный калибровочное преобразование ${ displaystyle g}$ получается такое же выражение

${ displaystyle { tilde {A}} _ { alpha} = gA _ { alpha} g ^ {- 1} - (dg) g ^ {- 1}}$

как и в случае с основными связками.

Индуцированные соединения

Связность на главном расслоении индуцирует связи на ассоциированных векторных расслоениях. Один из способов увидеть это - использовать формы локального подключения, описанные выше. А именно, если соединение основного пакета ${ displaystyle H}$ имеет местные формы подключения ${ displaystyle A _ { alpha} in Omega ^ {1} (U _ { alpha}, operatorname {ad} (P))}$, и ${ displaystyle rho: G to operatorname {Aut} (V)}$ представляет собой представление ${ displaystyle G}$ определение связанного векторного расслоения ${ displaystyle E = P times _ { rho} V}$, то индуцированные локальные одноформы связности определяются равенствами

${ displaystyle rho _ {*} A _ { alpha} in Omega ^ {1} (U _ { alpha}, operatorname {End} (E)).}$

Здесь ${ displaystyle rho _ {*}}$ индуцированный Гомоморфизм алгебр Ли из ${ Displaystyle { mathfrak {g}} to operatorname {End} (V)}$, и мы используем тот факт, что это отображение индуцирует гомоморфизм векторных расслоений ${ displaystyle operatorname {ad} (P) to operatorname {End} (E)}$.

Индуцированная кривизна может быть просто определена как

${ displaystyle rho _ {*} F_ {A} in Omega ^ {2} (X, operatorname {End} (E)).}$

Здесь можно увидеть, как локальные выражения для кривизны связаны для главных расслоений и векторных расслоений, как скобка Ли на алгебре Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ переходит в коммутатор эндоморфизмов ${ displaystyle operatorname {End} (V)}$ при гомоморфизме алгебр Ли ${ displaystyle rho _ {*}}$.

Пространство подключений

Центральным объектом изучения математической калибровочной теории является пространство связностей на векторном расслоении или главном расслоении. Это бесконечномерное аффинное пространство ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ моделируется в векторном пространстве ${ displaystyle Omega ^ {1} (X, operatorname {ad} (P))}$ (или же ${ displaystyle Omega ^ {1} (X, operatorname {End} (E))}$ в случае векторных расслоений). Два соединения ${ displaystyle A, A ' in { mathcal {A}}}$ как говорят калибровочный эквивалент если существует калибровочное преобразование ${ displaystyle u}$ такой, что ${ Displaystyle A '= и cdot A}$. Калибровочная теория занимается классами калибровочной эквивалентности связностей. Таким образом, в некотором смысле калибровочная теория занимается свойствами факторное пространство ${ Displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {G}}}$, что в целом не является Пространство Хаусдорфа или гладкое многообразие.

Многие интересные свойства базового многообразия ${ displaystyle X}$ могут быть закодированы в геометрии и топологии пространств модулей связностей на главных расслоениях и векторных расслоениях над ${ displaystyle X}$. Инварианты ${ displaystyle X}$, Такие как Инварианты Дональдсона или же Инварианты Зайберга – Виттена. могут быть получены путем вычисления числовых величин, полученных из пространств модулей связностей над ${ displaystyle X}$. Самое известное применение этой идеи - Теорема Дональдсона, который использует пространство модулей связностей Янга – Миллса на главном ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$- связать односвязный четырехколлекторный ${ displaystyle X}$ изучить его форму пересечения. За эту работу Дональдсон был награжден Медаль Филдса.

Условные обозначения

Существуют различные условные обозначения, используемые для соединений на векторных связках и основных связках, которые будут кратко описаны здесь.

• Письмо ${ displaystyle A}$ является наиболее распространенным символом, используемым для обозначения связи в векторном или основном связке. Это происходит из-за того, что если выбрать фиксированное соединение ${ displaystyle nabla _ {0} in { mathcal {A}}}$ всех соединений, то любое другое соединение может быть записано ${ displaystyle nabla = nabla _ {0} + A}$ для какой-то уникальной одноформной ${ displaystyle A in Omega ^ {1} (X, operatorname {ad} (P))}$. Это также происходит из-за использования ${ displaystyle A _ { alpha}}$ для обозначения локальной формы связности на векторном расслоении, которая впоследствии получается из электромагнитный потенциал ${ displaystyle A}$ по физике. Иногда символ ${ displaystyle omega}$ также используется для обозначения формы подключения, обычно в основном пакете, и обычно в этом случае ${ displaystyle omega}$ относится к одной форме глобального соединения ${ displaystyle omega in Omega ^ {1} (P, { mathfrak {g}})}$ на общем пространстве главного расслоения, а не на соответствующих локальных формах связности. В математической литературе этого соглашения обычно избегают, поскольку оно часто противоречит использованию ${ displaystyle omega}$ для Кэлерова форма когда нижележащее многообразие ${ displaystyle X}$ это Кэлерово многообразие.
• Символ ${ displaystyle nabla}$ чаще всего используется для представления связи на векторном расслоении как дифференциального оператора, и в этом смысле используется взаимозаменяемо с буквой ${ displaystyle A}$. Он также используется для обозначения ковариантных производных операторов ${ displaystyle nabla _ {X}}$. Альтернативная запись для оператора связи и ковариантных производных операторов: ${ displaystyle nabla _ {A}}$ чтобы подчеркнуть зависимость от выбора ${ displaystyle A in { mathcal {A}}}$, или же ${ displaystyle D_ {A}}$ или же ${ displaystyle d_ {A}}$.
• Оператор ${ displaystyle d_ {A}}$ чаще всего относится к внешняя ковариантная производная связи ${ displaystyle A}$ (и так иногда пишут ${ displaystyle d _ { nabla}}$ для связи ${ displaystyle nabla}$). Поскольку внешняя ковариантная производная степени 0 совпадает с регулярной ковариантной производной, сама связность или ковариантная производная часто обозначается ${ displaystyle d_ {A}}$ вместо ${ displaystyle nabla}$.
• Символ ${ displaystyle F_ {A}}$ или же ${ displaystyle F _ { nabla}}$ чаще всего используется для обозначения кривизны соединения. Когда соединение упоминается ${ displaystyle omega}$, кривизна обозначается ${ displaystyle Omega}$ скорее, чем ${ displaystyle F _ { omega}}$. Другие соглашения включают ${ displaystyle R}$ или же ${ displaystyle R_ {A}}$ или же ${ displaystyle R _ { nabla}}$, по аналогии с Тензор римановой кривизны в Риманова геометрия который обозначается ${ displaystyle R}$.
• Письмо ${ displaystyle H}$ часто используется для обозначения основного жгута или соединения Эресмана, когда акцент делается на горизонтальном распределении. ${ displaystyle H subset TP}$. В этом случае оператор вертикальной проекции, соответствующий ${ displaystyle H}$ (подключение одноразовое на ${ displaystyle P}$) обычно обозначают ${ displaystyle omega}$, или же ${ displaystyle v}$, или же ${ displaystyle nu}$. Используя это соглашение, иногда обозначают кривизну ${ displaystyle F_ {H}}$ чтобы подчеркнуть зависимость, и ${ displaystyle F_ {H}}$ может относиться к оператору кривизны на всем пространстве ${ displaystyle F_ {H} in Omega ^ {2} (P, { mathfrak {g}})}$, или кривизна на основании ${ displaystyle F_ {H} in Omega ^ {2} (X, operatorname {ad} (P))}$.
• Алгебра Ли сопряженный пучок обычно обозначается ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$, а присоединенное расслоение групп Ли - ${ displaystyle operatorname {Ad} (P)}$. Это не согласуется с условностями теории Группы Ли, куда ${ displaystyle operatorname {Ad}}$ относится к представлению ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, и ${ displaystyle operatorname {ad}}$ относится к Представление алгебры Ли из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на себя Кронштейн лжи. В теории групп Ли действие сопряжения (которое определяет расслоение ${ displaystyle operatorname {Ad} (P)}$) часто обозначают ${ displaystyle Psi _ {g}}$.

Словарь математической и физической терминологии

Математические и физические области калибровочной теории включают изучение одних и тех же объектов, но используют разную терминологию для их описания. Ниже приводится краткое описание того, как эти термины соотносятся друг с другом.

В качестве демонстрации этого словаря рассмотрим взаимодействующий член поля частицы положения электрона и электромагнитного поля в лагранжиане квантовая электродинамика:^[18]

${ displaystyle { mathcal {L}} = { bar { psi}} (я gamma ^ { mu} D _ { mu} -m) psi - { frac {1} {4}} F_ { mu nu} F ^ { mu nu},}$

Математически это можно переписать

${ displaystyle { mathcal {L}} = langle psi, ({D ! ! ! ! /} _ {A} -m) psi rangle _ {L ^ {2}} + | F_ {A} | _ {L ^ {2}} ^ {2}}$

куда ${ displaystyle A}$ это связь по принципалу ${ displaystyle operatorname {U} (1)}$ пучок ${ displaystyle P}$, ${ displaystyle psi}$ является сечением ассоциированного спинорного пучка и ${ displaystyle {D ! ! ! ! /} _ {A}}$ индуцированный Оператор Дирака индуцированной ковариантной производной ${ displaystyle nabla _ {A}}$ в этом связанном пакете. Первый член является взаимодействующим членом в лагранжиане между спинорным полем (поле, представляющим электрон-позитрон) и калибровочным полем (представляющим электромагнитное поле). Второй член - обычный Функционал Янга – Миллса который описывает основные невзаимодействующие свойства электромагнитного поля (связь ${ displaystyle A}$). Срок формы ${ displaystyle nabla _ {A} psi}$ является примером того, что в физике называется минимальной связью, то есть простейшим возможным взаимодействием между полем материи ${ displaystyle psi}$ и калибровочное поле ${ displaystyle A}$.

Теория Янга – Миллса

Преобладающей теорией в математической калибровочной теории является теория Янга – Миллса. Эта теория предполагает изучение связей, которые критические точки из Функционал Янга – Миллса определяется

${ displaystyle operatorname {YM} (A) = int _ {X} | F_ {A} | ^ {2} , d mathrm {vol} _ {g}}$

куда ${ displaystyle (X, g)}$ ориентированный Риманово многообразие с ${ displaystyle d mathrm {vol} _ {g}}$ в Риманова форма объема и ${ Displaystyle | cdot | ^ {2}}$ ан ${ displaystyle L ^ {2}}$-норма на присоединенном пучке ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$. Этот функционал представляет собой квадрат ${ displaystyle L ^ {2}}$-норма кривизны соединения ${ displaystyle A}$, поэтому соединения, которые являются критическими точками этой функции, имеют минимально возможную кривизну (или более высокие локальные минимумы ${ displaystyle operatorname {YM}}$).

Эти критические точки характеризуются как решения связанных Уравнения Эйлера – Лагранжа., то Уравнения Янга – Миллса

${ displaystyle d_ {A} star F_ {A} = 0}$

куда ${ displaystyle d_ {A}}$ индуцированный внешняя ковариантная производная из ${ displaystyle nabla _ {A}}$ на ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$ и ${ displaystyle star}$ это Звездный оператор Ходжа. Такие решения называются Связи Янга – Миллса и представляют значительный геометрический интерес.

Тождество Бьянки утверждает, что для любой связи ${ displaystyle d_ {A} F_ {A} = 0}$. По аналогии для дифференциальные формы гармоническая форма ${ displaystyle omega}$ характеризуется состоянием

${ displaystyle d star omega = d omega = 0.}$

Если определить гармоническую связь условием, что

${ Displaystyle d_ {A} звезда F_ {A} = d_ {A} F_ {A} = 0}$

тогдашнее изучение связей Янга – Миллса по своей природе аналогично изучению гармонических форм. Теория Ходжа обеспечивает уникальный гармонический представитель каждого когомологии де Рама учебный класс ${ displaystyle [ omega]}$. Замена класса когомологий калибровочной орбитой ${ displaystyle {и cdot A mid u in { mathcal {G}} }}$, изучение связей Янга – Миллса можно рассматривать как попытку найти уникальных представителей для каждой орбиты в фактор-пространстве ${ Displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {G}}}$ связностей по модулю калибровочных преобразований.

Уравнения самодуальности и анти-самодуальности

В размерности четыре звездный оператор Ходжа переводит две формы в две формы, ${ Displaystyle звезда: Omega ^ {2} (X) to Omega ^ {2} (X)}$, и квадраты к тождественному оператору, ${ displaystyle star ^ {2} = operatorname {Id}}$. Таким образом, звезда Ходжа, оперирующая двумя формами, имеет собственные значения ${ displaystyle pm 1}$, а две-формы на ориентированном римановом четырехмерном многообразии расщепляются в виде прямой суммы

${ Displaystyle Omega ^ {2} (X) = Omega _ {+} (X) oplus Omega _ {-} (X)}$

в самодвойственный и анти-самодвойственный две формы, заданные ${ displaystyle +1}$ и ${ displaystyle -1}$ собственные подпространства звездного оператора Ходжа соответственно. То есть, ${ Displaystyle альфа в Omega ^ {2} (X)}$ самодуальна, если ${ Displaystyle звезда альфа = альфа}$, и антисамодвойственный, если ${ Displaystyle звезда альфа = - альфа}$, и любая дифференциальная двуформация допускает расщепление ${ Displaystyle альфа = альфа _ {+} + альфа _ {-}}$ на самодвойственные и анти-самодвойственные части.

Если кривизна соединения ${ displaystyle A}$ на главном расслоении над четырехмерным многообразием самодвойственна или антиавтодуальна, то по тождеству Бианки ${ Displaystyle d_ {A} звезда F_ {A} = pm d_ {A} F_ {A} = 0}$, поэтому связь автоматически является уравнением Янга – Миллса. Уравнение

${ Displaystyle звезда F_ {A} = pm F_ {A}}$

является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для связи ${ displaystyle A}$, и поэтому его проще изучать, чем полное уравнение Янга – Миллса второго порядка. Уравнение ${ displaystyle star F_ {A} = F_ {A}}$ называется уравнение самодуальности, а уравнение ${ displaystyle star F_ {A} = - F_ {A}}$ называется уравнение антиавтодуальности, а решениями этих уравнений являются самодвойственные соединения или же анти-самодвойственные соединения соответственно.

Уменьшение размеров

Один из способов вывести новые и интересные теоретико-калибровочные уравнения - это применить процесс уменьшение размеров к уравнениям Янга – Миллса. Этот процесс включает рассмотрение уравнений Янга – Миллса над многообразием ${ displaystyle X}$ (обычно считается евклидовым пространством ${ Displaystyle X = mathbb {R} ^ {4}}$), и требуя, чтобы решения уравнений были инвариантными относительно группы трансляционных или других симметрий. Благодаря этому процессу уравнения Янга – Миллса приводят к Уравнения Богомольного описание монополей на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, Уравнения Хитчина описание Связки Хиггса на Римановы поверхности, а Уравнения Нама на действительных интервалах, путем наложения симметрии относительно сдвигов в одном, двух и трех направлениях соответственно.

Калибровочная теория в одном и двух измерениях

Здесь уравнения Янга – Миллса, когда базовое многообразие ${ displaystyle X}$ имеет низкую размерность. В этой постановке уравнения резко упрощаются из-за того, что в измерении один не существует двух форм, а во втором измерении оператор звезды Ходжа на двух формах действует как ${ Displaystyle звезда: Omega ^ {2} (X) к C ^ { infty} (X)}$.

Теория Янга – Миллса

Уравнения Янга – Миллса можно изучать непосредственно на многообразии размерности два. Теория уравнений Янга – Миллса, когда базовое многообразие является компактным. Риманова поверхность носил Майкл Атья и Рауль Ботт.^[6] В этом случае пространство модулей связностей Янга – Миллса над комплексным векторным расслоением ${ displaystyle E}$ допускает различные богатые интерпретации, и теория служит простейшим случаем для понимания уравнений в более высоких измерениях. Уравнения Янга – Миллса в этом случае принимают вид

${ displaystyle star F_ {A} = lambda (E) operatorname {Id} _ {E}}$

для некоторой топологической постоянной ${ displaystyle lambda (E) in mathbb {C}}$ в зависимости от ${ displaystyle E}$. Такие связи называются проективно плоский, и в случае, когда векторное расслоение топологически тривиально (так ${ displaystyle lambda (E) = 0}$) это именно плоские соединения.

Когда звание и степень векторного расслоения совмещать, пространство модулей ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ связностей Янга – Миллса является гладким и имеет естественную структуру симплектическое многообразие. Атья и Ботт заметили, что, поскольку связности Янга – Миллса проективно плоские, их голономия дает проективные унитарные представления фундаментальной группы поверхности, так что это пространство имеет эквивалентное описание как пространство модулей проективных унитарных представлений фундаментальная группа римановой поверхности a разнообразие персонажей. В Теорема Нарасимхана и Сешадри дает альтернативное описание этого пространства представлений как пространство модулей стабильные голоморфные векторные расслоения которые гладко изоморфны ${ displaystyle E}$.^[19] Благодаря этому изоморфизму пространство модулей связностей Янга – Миллса приобретает сложную структуру, которая взаимодействует с симплектической структурой Атьи и Ботта, превращая его в компактное кэлерово многообразие.

Саймон Дональдсон дал альтернативное доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри, которое непосредственно перешло от связностей Янга – Миллса к стабильным голоморфным структурам.^[20] Атья и Ботт использовали эту перефразировку проблемы, чтобы осветить тесную взаимосвязь между экстремальными связностями Янга – Миллса и стабильностью векторных расслоений как бесконечномерного карта моментов для действия калибровочной группы ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$, заданный картой кривизны ${ Displaystyle A mapsto F_ {A}}$ сам. Это наблюдение формулирует теорему Нарасимхана – Сешадри как своего рода бесконечномерную версию Теорема Кемпфа – Несса из геометрическая теория инвариантов, связывающий критические точки квадрата нормы отображения момента (в данном случае связности Янга – Миллса) с устойчивыми точками на соответствующем алгебраическом фактор-расслоении (в данном случае стабильными голоморфными векторными расслоениями). Эта идея впоследствии оказала большое влияние на калибровочную теорию и сложная геометрия с момента его появления.

Уравнения Нама

Уравнения Нама, введенные Вернер Нахм, получаются как размерное сокращение антиавтодуальности в четырех измерениях до одного измерения путем наложения трансляционной инвариантности в трех направлениях.^[21] Конкретно требуется, чтобы форма соединения ${ Displaystyle A = A_ {0} , dx ^ {0} + A_ {1} , dx ^ {1} + A_ {2} , dx ^ {2} + A_ {3} , dx ^ { 3}}$ не зависит от координат ${ displaystyle x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}}$. В этой постановке уравнения Нама между системой уравнений на интервале ${ Displaystyle I подмножество mathbb {R}}$ для четырех матриц ${ displaystyle T_ {0}, T_ {1}, T_ {2}, T_ {3} in C ^ { infty} (I, { mathfrak {g}})}$ удовлетворяющая тройке уравнений

${ displaystyle { begin {cases} { frac {dT_ {1}} {dt}} + [T_ {0}, T_ {1}] + [T_ {2}, T_ {3}] = 0 { frac {dT_ {2}} {dt}} + [T_ {0}, T_ {2}] + [T_ {3}, T_ {1}] = 0 { frac {dT_ {3}} {dt}} + [T_ {0}, T_ {3}] + [T_ {1}, T_ {2}] = 0. end {cases}}}$

Нахм показал, что решения этих уравнений (которые могут быть получены довольно легко, поскольку они представляют собой систему обыкновенные дифференциальные уравнения ) можно использовать для построения решений Уравнения Богомольного, которые описывают монополи на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. Найджел Хитчин показал, что решения уравнений Богомольного можно использовать для построения решений уравнений Нама, показав, что решения этих двух проблем эквивалентны.^[22] Дональдсон далее показал, что решения уравнений Нама эквивалентны рациональным отображениям степени ${ displaystyle k}$ от сложная проективная линия ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ себе, где ${ displaystyle k}$ - заряд соответствующего магнитного монополя.^[23]

Пространство модулей решений уравнений Нама имеет структуру гиперкэлерового многообразия.

Уравнения Хитчина и расслоения Хиггса

Уравнения Хитчина, введенные Найджел Хитчин, получаются как размерная редукция уравнений автодуальности в четырех измерениях до двух измерений путем наложения инварианта сдвига в двух направлениях.^[24] В этой настройке два дополнительных компонента формы соединения ${ Displaystyle A_ {3} , dx ^ {3} + A_ {4} , dx ^ {4}}$ можно объединить в один комплекснозначный эндоморфизм ${ displaystyle Phi = A_ {3} + iA_ {4}}$, и в такой формулировке уравнения становятся конформно инвариантный поэтому их естественно изучать на компактной римановой поверхности, а не на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. Уравнения Хитчина утверждают, что для пары ${ Displaystyle (А, Phi)}$ на сложном векторном расслоении ${ displaystyle E to Sigma}$ куда ${ Displaystyle Phi in Omega ^ {1,0} ( Sigma, operatorname {End} (E))}$, который

${ displaystyle { begin {cases} F_ {A} + [ Phi, Phi ^ {*}] = 0 { bar { partial}} _ {A} Phi = 0 end {cases} }}$

куда ${ displaystyle { bar { partial}} _ {A}}$ это ${ displaystyle (0,1)}$-компонент ${ displaystyle d_ {A}}$. Решения уравнений Хитчина называются Пары Хитчина.

Тогда как решения уравнений Янга – Миллса на компактной римановой поверхности соответствуют проективным унитарный представления группы поверхностей, Хитчин показал, что решения уравнений Хитчина соответствуют проективным сложный представления поверхностной группы. Пространство модулей пар Хитчина естественно имеет (когда ранг и степень расслоения взаимно просты) структуру кэлерова многообразия. Используя аналог наблюдения Атьи и Ботта относительно уравнений Янга – Миллса, Хитчин показал, что пары Хитчина соответствуют так называемым стабильным Связки Хиггса, где расслоение Хиггса - это пара ${ displaystyle (E, Phi)}$ куда ${ displaystyle E to Sigma}$ является голоморфным векторным расслоением и ${ displaystyle Phi: E to E otimes K}$ является голоморфным эндоморфизмом ${ displaystyle E}$ со значениями в канонический пакет римановой поверхности ${ displaystyle Sigma}$. Это показано посредством построения бесконечномерного отображения момента, и это пространство модулей расслоений Хиггса также имеет сложную структуру, которая отличается от структуры, исходящей от пар Хитчина, что приводит к двум сложным структурам в пространстве модулей ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ пучков Хиггса. Они объединяются, чтобы дать третью, которая делает это пространство модулей гиперкэлерово многообразие.

Впоследствии работа Хитчина была значительно обобщена Карлос Симпсон, а соответствие между решениями уравнений Хитчина и расслоениями Хиггса над произвольным кэлеровым многообразием известно как неабелева теорема Ходжа.^{[25][26][27][28][29]}

Калибровочная теория в трех измерениях

Монополи

Сведение уравнений Янга – Миллса к трехмерным измерениям путем наложения трансляционного инварианта в одном направлении приводит к уравнениям Богомольного для пары ${ Displaystyle (А, Phi)}$ куда ${ Displaystyle Phi: mathbb {R} ^ {3} to { mathfrak {g}}}$ семейство матриц.^[30] Уравнения

${ displaystyle F_ {A} = star d_ {A} Phi.}$

Когда основной пакет ${ displaystyle P to mathbb {R} ^ {3}}$ имеет структурную группу ${ displaystyle operatorname {U} (1)}$ в круговая группа, решения уравнений Богомольного моделируют Монополь Дирака описывая магнитный монополь в классическом электромагнетизме. Работа Нама и Хитчина показывает, что когда структурная группа особая унитарная группа ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$ решения монопольных уравнений соответствуют решениям уравнений Нама, а по работе Дональдсона они в дальнейшем соответствуют рациональным отображениям из ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ себе степени ${ displaystyle k}$ куда ${ displaystyle k}$ это заряд монополя. Эта плата определяется как предел

${ Displaystyle lim _ {R to infty} int _ {S_ {R}} ( Phi, F_ {A}) = 4 pi k}$

интеграла спаривания ${ Displaystyle ( Phi, F_ {A}) in Omega ^ {2} ( mathbb {R} ^ {3})}$ над сферами ${ displaystyle S_ {R}}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ увеличивающегося радиуса ${ displaystyle R}$.

Теория Черна – Саймонса

Теория Черна – Саймонса в трех измерениях - это топологическая квантовая теория поля с функционалом действия, пропорциональным интегралу от Форма Черна – Саймонса, три-форма, определяемая

${ displaystyle operatorname {Tr} (F_ {A} wedge A - { frac {1} {3}} A клин A клин A).}$

Классические решения уравнений Эйлера – Лагранжа функционала Черна – Саймонса на замкнутом трехмерном многообразии ${ displaystyle X}$ соответствуют плоским соединениям на главном ${ displaystyle G}$-пучок ${ displaystyle P to X}$. Однако когда ${ displaystyle X}$ имеет границу, ситуация усложняется. Теорию Черна – Саймонса использовали Эдвард Виттен чтобы выразить Многочлен Джонса, инвариант узла, в терминах ожидаемое значение вакуума из Петля Вильсона в ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$ Теория Черна – Саймонса на трехмерной сфере. ${ Displaystyle S ^ {3}}$.^[10] Это была яркая демонстрация силы калибровочных теоретических задач в плане нового понимания топологии и была одним из первых примеров такого подхода. топологическая квантовая теория поля.

При квантовании классической теории Черна – Саймонса изучаются индуцированные плоские или проективно плоские связности на главном расслоении, ограниченном поверхностями ${ displaystyle Sigma subset X}$ внутри 3-х многообразия. Классические пространства состояний, соответствующие каждой поверхности, являются в точности пространствами модулей уравнений Янга – Миллса, изученными Атьей и Боттом.^[6] В геометрическое квантование этих пространств было достигнуто Найджел Хитчин и Аксельрода – Делла Пьетра – Виттена независимо, а в случае, когда структурная группа является сложной, конфигурационное пространство является пространством модулей расслоений Хиггса, и его квантование было выполнено Виттеном.^[31][32][33]

Гомология Флоера

Андреас Флоер ввел тип гомологий на трехмерных многообразиях, определенных по аналогии с Гомологии Морса в конечных размерах.^[34] В этой теории гомологий функция Морса - это функционал Черна – Саймонса на пространстве связностей на ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$ главное расслоение над 3-многообразием ${ displaystyle X}$. Критические точки - это плоские соединения, а линии потока определены как инстантоны Янга – Миллса на ${ displaystyle M times I}$ которые ограничиваются критическими плоскими связями на двух граничных компонентах. Это ведет к инстантонная гомология Флора. Гипотеза Атьи – Флоера утверждает, что гомологии инстантонов Флора согласуются с Лагранжевы пересечения гомологии Флоера пространства модулей плоских соединений на поверхности ${ displaystyle Sigma subset X}$ определение Расщепление Хегора из ${ displaystyle X}$, которая является симплектической из-за наблюдений Атьи и Ботта.

По аналогии с инстантонными гомологиями Флоера можно определить Гомологии Зайберга – Виттена Флоера где инстантоны заменены решениями Уравнения Зайберга – Виттена. Работой Клиффорд Таубс это, как известно, изоморфно вложенным контактным гомологиям, а затем и гомологиям Хегора Флоера.

Калибровочная теория в четырех измерениях

Калибровочная теория наиболее интенсивно изучается в четырех измерениях. Здесь математическое изучение калибровочной теории существенно пересекается с ее физическими истоками, поскольку стандартная модель физики элементарных частиц можно рассматривать как квантовая теория поля на четырехмерном пространство-время. Изучение задач калибровочной теории в четырех измерениях естественным образом приводит к изучению топологическая квантовая теория поля. Такие теории являются физическими калибровочными теориями, которые нечувствительны к изменениям в римановой метрике лежащего в основе четырехмерного многообразия и поэтому могут использоваться для определения топологических (или гладких структурных) инвариантов многообразия.

Уравнения антиавтодуальности

В четырех измерениях уравнения Янга – Миллса допускают упрощение до уравнений антиавтодуальности первого порядка. ${ displaystyle star F_ {A} = - F_ {A}}$ для связи ${ displaystyle A}$ на основной пачке ${ displaystyle P to X}$ над ориентированным римановым четырехмерным многообразием ${ displaystyle X}$.^[17] Эти решения уравнений Янга – Миллса представляют собой абсолютные минимумы функционала Янга – Миллса, а более высокие критические точки соответствуют решениям ${ displaystyle d_ {A} star F_ {A} = 0}$ что делать нет возникают из-за анти-самодвойственных связей. Пространство модулей решений уравнений антиавтодуальности, ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {P}}$, позволяет получить полезные инварианты относительно лежащего в основе четырехмерного многообразия.

Кобордизм, задаваемый пространством модулей антиавтодуальных связностей в теореме Дональдсона

Эта теория наиболее эффективна в случае, когда ${ displaystyle X}$ является односвязный. Например, в этом случае Теорема Дональдсона утверждает, что если четырехмерное многообразие имеет отрицательно определенный форма пересечения (4-многообразие), а если главное расслоение имеет структурную группу, то особая унитарная группа ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$ и второй Черн класс ${ displaystyle c_ {2} (P) = 1}$, то пространство модулей ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {P}}$ пятимерный и дает кобордизм между ${ displaystyle X}$ сам и несвязный союз ${ displaystyle b_ {2} (X)}$ копии ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {2}}$ с обратной ориентацией. Отсюда следует, что форма пересечения такого четырехмерного многообразия диагонализуема. Существуют примеры односвязных топологических четырехмерных многообразий с недиагонализуемой формой пересечения, такие как Коллектор E8, поэтому из теоремы Дональдсона следует существование топологических четырехмерных многообразий без гладкая структура. Это резко контрастирует с двумя или тремя измерениями, в которых топологические структуры и гладкие структуры эквивалентны: любое топологическое многообразие размерности меньше или равной 3 имеет уникальную гладкую структуру.

Подобные методы использовались Клиффорд Таубс и Дональдсон, чтобы показать, что евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ допускает несчетное бесконечное множество различных гладких структур. Это резко контрастирует с любым другим измерением, кроме четырех, где евклидово пространство имеет уникальную гладкую структуру.

Расширение этих идей приводит к Теория Дональдсона, который строит дальнейшие инварианты гладких четырехмерных многообразий из пространств модулей связности над ними. Эти инварианты получаются вычислением классы когомологий на пространстве модулей против фундаментальный класс, который существует благодаря аналитической работе, показывающей ориентируемость и компактность пространства модулей с помощью Карен Уленбек, Таубс и Дональдсон.

Когда четырехмерное многообразие Кэлерово многообразие или же алгебраическая поверхность а главное расслоение имеет исчезающий первый класс Черна, уравнения антиавтодуальности эквивалентны уравнению Эрмитовы уравнения Янга – Миллса на комплексном многообразии ${ displaystyle X}$. В Переписка Кобаяши – Хитчина Доказано для алгебраических поверхностей Дональдсоном и, в общем, Уленбеком и Яу, утверждает, что решения уравнений HYM соответствуют стабильные голоморфные векторные расслоения. Эта работа дала альтернативное алгебраическое описание пространства модулей и его компактификации, поскольку пространство модулей полустабильный голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием является проективное разнообразие, и поэтому компактный. Это указывает на то, что одним из способов компактификации пространства модулей связностей является добавление связей, соответствующих полустабильным векторным расслоениям, так называемым почти эрмитовы связности Янга – Миллса.

Уравнения Зайберга – Виттена

Во время расследования суперсимметрия в четырех измерениях, Эдвард Виттен и Натан Зайберг открыл систему уравнений, которая теперь называется уравнениями Зайберга – Виттена, для связи ${ displaystyle A}$ и спинорное поле ${ displaystyle psi}$.^[11] В этом случае четырехмерное многообразие должно допускать Вращение^C структура, определяющий основной Spin^C пучок ${ displaystyle P}$ с детерминантным линейным пучком ${ displaystyle L}$, и связанный спинорный пучок ${ Displaystyle S ^ {+}}$. Связь ${ displaystyle A}$ на ${ displaystyle L}$, а спинорное поле ${ Displaystyle psi in Gamma (S ^ {+})}$. Уравнения Зайберга – Виттена имеют вид

${ displaystyle { begin {cases} F_ {A} ^ {+} = psi otimes psi ^ {*} - { frac {1} {2}} | psi | ^ {2} d_ {A} psi = 0. End {case}}}$

Решения уравнений Зайберга – Виттена называются монополями. Пространство модулей решений уравнений Зайберга – Виттена, ${ Displaystyle { mathcal {M}} _ { sigma}}$ куда ${ displaystyle sigma}$ обозначает выбор структуры Spin, используется для вывода инвариантов Зайберга – Виттена. Уравнения Зайберга – Виттена имеют преимущество перед уравнениями антиавтодуальности в том, что сами уравнения могут быть слегка изменены, чтобы придать пространству модулей решений лучшие свойства. Для этого к первому уравнению добавляется произвольная самодуальная двойная форма. Для общего выбора метрики ${ displaystyle g}$ на нижележащем четырехмерном многообразии и выборе возмущающей двумерной формы пространство модулей решений представляет собой компактное гладкое многообразие. В хороших условиях (когда коллектор ${ displaystyle X}$ имеет простой тип) это пространство модулей нульмерно: конечный набор точек. Инвариант Зайберга – Виттена в этом случае - это просто количество точек в пространстве модулей. Инварианты Зайберга – Виттена могут использоваться для доказательства многих из тех же результатов, что и инварианты Дональдсона, но часто с более простыми доказательствами, которые применяются в более общем виде.

Калибровочная теория в высших измерениях

Эрмитовы уравнения Янга – Миллса

Конкретный класс связностей Янга – Миллса можно изучать над кэлеровыми многообразиями или Эрмитовы многообразия. Эрмитовы уравнения Янга – Миллса обобщают уравнения антиавтодуальности, возникающие в четырехмерной теории Янга – Миллса, на голоморфные векторные расслоения над эрмитовыми комплексными многообразиями в любой размерности. Если ${ displaystyle E to X}$ является голоморфным векторным расслоением над компактным кэлеровым многообразием ${ displaystyle (X, omega)}$, и ${ displaystyle A}$ это Эрмитская связь на ${ displaystyle E}$ относительно некоторой эрмитовой метрики ${ displaystyle h}$. Эрмитовы уравнения Янга – Миллса имеют вид

${ displaystyle { begin {cases} F_ {A} ^ {0,2} = 0 Lambda _ { omega} F_ {A} = lambda (E) operatorname {Id} _ {E}, end {case}}}$

куда ${ displaystyle lambda (E) in mathbb {C}}$ - топологическая постоянная, зависящая от ${ displaystyle E}$. Их можно рассматривать либо как уравнение для эрмитовой связи ${ displaystyle A}$ или для соответствующей эрмитовой метрики ${ displaystyle h}$ с ассоциированным Черн связь ${ displaystyle A}$. В четырех измерениях уравнения HYM эквивалентны уравнениям ASD. В двух измерениях уравнения HYM соответствуют уравнениям Янга – Миллса, рассмотренным Атьей и Боттом. В Переписка Кобаяши – Хитчина утверждает, что решениям уравнений HYM соответствуют полистабильные голоморфные векторные расслоения. В случае компактных римановых поверхностей это теорема Нарасимхана и Сешадри, доказанная Дональдсоном. За алгебраические поверхности это было доказано Дональдсоном, и в целом это было доказано Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу.^[13][14] Эта теорема обобщена в неабелевой теореме Ходжа Симпсона и фактически является ее частным случаем, когда поле Хиггса расслоения Хиггса ${ displaystyle (E, Phi)}$ установлен на ноль.^[25]

Исключительные инстантоны голономии

Эффективность решений уравнений Янга – Миллса при определении инвариантов четырехмерных многообразий вызвала интерес к тому, что они могут помочь различать исключительные голономия коллекторы, такие как Коллекторы G2 в измерении 7 и Спиновые (7) многообразия в измерении 8, а также связанных структур, таких как Калаби-Яу 6-многообразия и почти кэлеровы многообразия.^[35][36]

Теория струн

Новые теоретико-калибровочные проблемы возникают из теория суперструн модели. В таких моделях Вселенная 10-мерная, состоящая из четырех измерений регулярного пространства-времени и 6-мерного многообразия Калаби – Яу. В таких теориях поля, действующие на струны, живут на расслоениях над этими многомерными пространствами, и каждый интересуется калибровочно-теоретическими проблемами, связанными с ними. Например, предел естественных теорий поля в теории суперструн, когда радиус струны приближается к нулю (так называемый ограничение большого объема) на 6-мерном многообразии Калаби – Яу задается эрмитовыми уравнениями Янга – Миллса на этом многообразии. Уходя от предела большого объема, получаем деформированное эрмитово уравнение Янга – Миллса, который описывает уравнения движения для D-брана в B-модель теории суперструн. Зеркальная симметрия предсказывает, что решения этих уравнений должны соответствовать специальные лагранжевы подмногообразия зеркального дуального Калаби – Яу.^[37]

Смотрите также

• Калибровочная теория
• Введение в калибровочную теорию
• Калибровочная группа (математика)
• Теория Янга – Миллса
• Уравнения Янга – Миллса

Рекомендации