Присоединенный комплект - Adjoint bundle

В математика, сопряженный пучок [1][2] это векторный набор естественно ассоциируется с любым основной пакет. Слои присоединенного пучка несут Алгебра Ли структура, превращающая присоединенный пучок в (неассоциативный) расслоение алгебры. Присоединенные расслоения имеют важные приложения в теории связи а также в калибровочная теория.

Формальное определение

Позволять грамм быть Группа Ли с Алгебра Ли , и разреши п быть главный грамм-пучок через гладкое многообразие M. Позволять

быть присоединенное представительство из грамм. В сопряженный пучок из п это связанный пакет

Присоединенное расслоение также обычно обозначают через . Явно элементы присоединенного расслоения классы эквивалентности пар [п, Икс] за пп и Икс такой, что

для всех граммграмм. Поскольку структурная группа присоединенного расслоения состоит из алгебры Ли автоморфизмы, слои естественным образом несут структуру алгебры Ли, превращающую присоединенное расслоение в расслоение алгебр Ли над M.

Пример

Пусть G - любая группа Ли с замкнутой подгруппой H, и пусть L - алгебра Ли группы G. Поскольку G является группой топологических преобразований группы L присоединенным действием G, то есть для любого , и ~ , у нас есть ,

  определяется 

куда присоединенное представление группы G, является гомоморфизмом G в A, который является группой автоморфизмов G и отображение G в себя. H - группа топологических преобразований L и, очевидно, для любого u в H является автоморфизмом алгебры Ли.

поскольку H - замкнутая подгруппа группы Ли G, существует локально тривиальное главное расслоение над X = G / H, имеющее H в качестве структурной группы. Итак, существование координатных функций уверен, где - открытое покрытие для X. Тогда по теореме существования существует расслоение Ли с непрерывным отображением индуцируя на каждом слое скобку Ли.[3]

Характеристики

Дифференциальные формы на M со значениями в находятся во взаимно-однозначной переписке с горизонтальный, грамм-эквивариантный Алгебразначные формы Ли на п. Ярким примером является кривизна любой связь на п который можно рассматривать как 2-форму на M со значениями в .

Пространство сечений присоединенного расслоения естественным образом является (бесконечномерной) алгеброй Ли. Ее можно рассматривать как алгебру Ли бесконечномерной группы Ли калибровочные преобразования из п которые можно рассматривать как разделы пакета п ×Ψ грамм где Ψ - действие грамм на себя спряжение.

Если это комплект кадров из векторный набор , тогда имеет волокно общая линейная группа (реальный или сложный, в зависимости от ) куда . В этой структурной группе есть алгебра Ли, состоящая из всех матрицы , и их можно рассматривать как эндоморфизмы векторного расслоения . Действительно, существует естественный изоморфизм .

Примечания

  1. ^ Янышка, Ю. (2006). «Теорема типа Утиямы высшего порядка». Доклады по математической физике. 58: 93–118 См. Стр. 96. Bibcode:2006RpMP ... 58 ... 93J. Дои:10.1016 / с0034-4877 (06) 80042-х.
  2. ^ Коларж, Михор и Словак 1993, стр.161, 400
  3. ^ Киранаги, Б.С. (1984), "Расслоения алгебр Ли и кольца Ли", Proc. Natl. Акад. Sci. Индия А, 54: 38–44

Рекомендации