Вариационное исчисление - Calculus of variations

В вариационное исчисление это область математический анализ который использует вариации, которые представляют собой небольшие изменения в функции и функционалы, чтобы найти максимумы и минимумы функционалов: сопоставления из набора функции к действительные числа.^[а] Функционалы часто выражаются как определенные интегралы включая функции и их производные. Функции, которые максимизируют или минимизируют функционалы, можно найти с помощью Уравнение Эйлера – Лагранжа. вариационного исчисления.

Простой пример такой задачи - найти кривую наименьшей длины, соединяющую две точки. Если ограничений нет, решением будет прямая линия между точками. Однако, если кривая ограничена лежать на поверхности в пространстве, то решение менее очевидное, и, возможно, может существовать множество решений. Такие решения известны как геодезические. Связанная проблема возникает Принцип Ферма: свет следует по пути кратчайшей оптической длины, соединяющему две точки, где оптическая длина зависит от материала среды. Одна соответствующая концепция в механика это принцип наименьшего / стационарного действия.

Многие важные проблемы связаны с функциями нескольких переменных. Решения краевые задачи для Уравнение лапласа удовлетворить Принцип Дирихле. Проблема плато Требуется найти поверхность минимальной площади, которая охватывает заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, окунув раму в раствор мыльной пены. Хотя такие эксперименты относительно легко выполнить, их математическая интерпретация далеко не проста: может быть более одной локально минимизирующей поверхности, и они могут иметь нетривиальные топология.

История

Можно сказать, что вариационное исчисление начинается с Проблема минимального сопротивления Ньютона в 1687 г., а затем брахистохромная кривая проблема поднята Иоганн Бернулли (1696).^[2] Это сразу привлекло внимание Якоб Бернулли и Маркиз де л'Опиталь, но Леонард Эйлер впервые проработал тему, начиная с 1733 года. Лагранж находился под влиянием работ Эйлера, внесших значительный вклад в теорию. После того, как Эйлер увидел работу 19-летнего Лагранжа 1755 года, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и переименовал предмет в вариационное исчисление в его лекции 1756 г. Elementa Calculi Variationum.^[3][4][1]

Legendre (1786) изложил метод, не совсем удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц также рано обратил внимание на эту тему.^[5] К этой дискриминации Винченцо Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Пуассон (1831), Михаил Остроградский (1834 г.), и Карл Якоби (1837) были среди авторов. Важной общей работой является работа Саррус (1842), который был сжат и улучшен Коши (1844 г.). Другие ценные трактаты и воспоминания написаны Штраух (1849), Джеллетт (1850), Отто Гессе (1857), Альфред Клебш (1858 г.), и Карл (1885), но, пожалуй, самая важная работа века - это работа Weierstrass. Его знаменитый теоретический курс является эпохальным, и можно утверждать, что он был первым, кто положил его на прочную и неоспоримую основу. В 20-е и 23-е Проблема гильберта опубликованная в 1900 г., способствовала дальнейшему развитию.^[5]

В 20 веке Дэвид Гильберт, Эмми Нётер, Леонида Тонелли, Анри Лебег и Жак Адамар среди прочего внесли значительный вклад.^[5] Марстон Морс прикладное вариационное исчисление в том, что сейчас называется Теория Морса.^[6] Лев Понтрягин, Ральф Рокафеллар и Ф. Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теория оптимального управления.^[6] В динамическое программирование из Ричард Беллман является альтернативой вариационному исчислению.^[7][8][9][b]

Extrema

Расчет вариаций касается максимумов или минимумов (все вместе называемых экстремумы) функционалов. Функциональные карты функции к скаляры, поэтому функционалы были описаны как «функции функций». Функционалы имеют экстремумы по элементам у данного функциональное пространство определяется над данным домен. Функциональный J [ у ] как говорят, имеет экстремум на функции ж  если ΔJ = J [ у ] − J [ ж] имеет то же самое знак для всех у в сколь угодно малой окрестности ж .^[c] Функция ж называется экстремальный функция или экстремальная.^[d] Экстремум J [ ж ] называется локальным максимумом, если ΔJ ≤ 0 всюду в сколь угодно малой окрестности ж , и местный минимум, если ΔJ ≥ 0 Там. Для функционального пространства непрерывных функций экстремумы соответствующих функционалов называются слабые экстремумы или сильные экстремумы, в зависимости от того, все ли первые производные непрерывных функций соответственно непрерывны или нет.^[11]

И сильные, и слабые экстремумы функционалов относятся к пространству непрерывных функций, но сильные экстремумы имеют дополнительное требование, чтобы первые производные функций в пространстве были непрерывными. Таким образом, сильный экстремум - это тоже слабый экстремум, но разговаривать может не выдержать. Найти сильные экстремумы сложнее, чем найти слабые.^[12] Пример необходимое условие для поиска слабых экстремумов используется Уравнение Эйлера – Лагранжа..^[13][e]

Уравнение Эйлера – Лагранжа.

Нахождение экстремумов функционалов аналогично поиску максимумов и минимумов функций. Максимумы и минимумы функции можно найти, найдя точки, в которых ее производная равна нулю (т.е. равна нулю). Экстремумы функционалов можно получить, найдя функции, в которых функциональная производная равно нулю. Это приводит к решению связанных Уравнение Эйлера – Лагранжа..^[f]

Рассмотрим функционал

${ Displaystyle J [y] = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} L (x, y (x), y '(x)) , dx ,.}$

где

Икс₁, Икс₂ находятся константы,

у (Икс) дважды непрерывно дифференцируемо,

у ′(Икс) = dy / dx  ,

L(Икс, у (Икс), у ′(Икс)) дважды непрерывно дифференцируемо по своим аргументам Икс,  у,  у ′.

Если функционал J[у ] достигает местный минимум в ж , и η(Икс) - произвольная функция, имеющая хотя бы одну производную и обращающаяся в нуль на концах Икс₁ и Икс₂ , тогда для любого числа ε близко к 0,

${ Displaystyle J [е] Leq J [е + varepsilon eta] ,.}$

Период, термин εη называется вариация функции ж и обозначается δf .^[1][г]

Подстановкаж + εη за у в функционале J[ у ] , результат является функцией ε,

${ Displaystyle Phi ( varepsilon) = J [е + varepsilon eta] ,.}$

Поскольку функционал J[ у ] имеет минимум для у = ж , функция Φ (ε) имеет минимум на ε = 0 и поэтому,^[час]

${ Displaystyle Phi '(0) Equiv left. { frac {d Phi} {d varepsilon}} right | _ { varepsilon = 0} = int _ {x_ {1}} ^ { x_ {2}} left. { frac {dL} {d varepsilon}} right | _ { varepsilon = 0} dx = 0 ,.}$

Принимая полная производная из L[Икс, у, у ′] , где у = ж + ε η и у ′ = ж ′ + ε η′ рассматриваются как функции ε скорее, чем Икс, дает

${ displaystyle { frac {dL} {d varepsilon}} = { frac { partial L} { partial y}} { frac {dy} {d varepsilon}} + { frac { partial L } { partial y '}} { frac {dy'} {d varepsilon}}}$

и с тех порdy /dε = η и dy ′/dε = η ' ,

${ displaystyle { frac {dL} {d varepsilon}} = { frac { partial L} { partial y}} eta + { frac { partial L} { partial y '}} eta '.}$

Следовательно,

${ displaystyle { begin {align} int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} left. { frac {dL} {d varepsilon}} right | _ { varepsilon = 0} dx & = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} left ({ frac { partial L} { partial f}} eta + { frac { partial L} { partial f '}} eta' right) , dx & = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} { frac { partial L} { partial f}} eta , dx + left. { frac { partial L} { partial f '}} eta right | _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} - int _ {x_ {1}} ^ { x_ {2}} eta { frac {d} {dx}} { frac { partial L} { partial f '}} , dx & = int _ {x_ {1}} ^ { x_ {2}} left ({ frac { partial L} { partial f}} eta - eta { frac {d} {dx}} { frac { partial L} { partial f ' }} right) , dx конец {выровнено}}}$

где L[Икс, у, у ′] → L[Икс, ж, ж ′] когда ε = 0 и мы использовали интеграция по частям на второй срок. Второй член во второй строке исчезает, потому что η = 0 в Икс₁ и Икс₂ по определению. Кроме того, как упоминалось ранее, левая часть уравнения равна нулю, так что

${ displaystyle int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} eta (x) left ({ frac { partial L} { partial f}} - { frac {d} {dx }} { frac { partial L} { partial f '}} right) , dx = 0 ,.}$

Согласно основная лемма вариационного исчисления, часть подынтегрального выражения в скобках равна нулю, т.е.

${ displaystyle { frac { partial L} { partial f}} - { frac {d} {dx}} { frac { partial L} { partial f '}} = 0}$

который называется Уравнение Эйлера – Лагранжа.. Левая часть этого уравнения называется функциональная производная из J[ж] и обозначается δJ/δf(Икс) .

В общем, это дает второй порядок обыкновенное дифференциальное уравнение которое можно решить для получения экстремальной функции ж(Икс) . Уравнение Эйлера – Лагранжа представляет собой необходимо, но нет достаточно, условие экстремума J[ж]. Достаточное условие минимума приведено в разделе Вариации и достаточное условие минимума.

пример

Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим задачу нахождения экстремальной функции у = ж (Икс) , которая является самой короткой кривой, соединяющей две точки (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) . В длина дуги кривой задается

${ displaystyle A [y] = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} { sqrt {1+ [y '(x)] ^ {2}}} , dx ,,}$

с

${ Displaystyle y , '(x) = { frac {dy} {dx}} ,, y_ {1} = f (x_ {1}) ,, y_ {2} = f ( x_ {2}) ,.}$

^[я]

Уравнение Эйлера – Лагранжа теперь будет использоваться для нахождения экстремальной функции ж (Икс) что минимизирует функционал А[у ] .

${ displaystyle { frac { partial L} { partial f}} - { frac {d} {dx}} { frac { partial L} { partial f '}} = 0}$

с

${ Displaystyle L = { sqrt {1+ [f '(x)] ^ {2}}} ,.}$

поскольку ж не появляется явно в L , первый член в уравнении Эйлера – Лагранжа обращается в нуль при всех ж (Икс) и поэтому,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} { frac { partial L} { partial f '}} = 0 ,.}$

Замена на L и взяв производную,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} { frac {f '(x)} { sqrt {1+ [f' (x)] ^ {2}}}} = 0 ,. }$

Таким образом

${ displaystyle { frac {f '(x)} { sqrt {1+ [f' (x)] ^ {2}}}} = c ,,}$

для некоторой постоянной c. потом

${ displaystyle { frac {[f '(x)] ^ {2}} {1+ [f' (x)] ^ {2}}} = c ^ {2} ,,}$

где

${ displaystyle 0 leq c ^ {2} <1.}$

Решив, получаем

${ Displaystyle [е '(х)] ^ {2} = { гидроразрыва {с ^ {2}} {1-с ^ {2}}} ,}$

откуда следует, что

${ displaystyle f '(x) = m}$

является константой, и поэтому кратчайшая кривая, соединяющая две точки (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) является

${ displaystyle f (x) = mx + b qquad { text {with}} m = { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} quad { text {and}} quad b = { frac {x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$

и, таким образом, мы нашли экстремальную функцию ж(Икс) что минимизирует функционал А[у] так что А[ж] это минимум. Уравнение прямой линии имеет вид у = ж(Икс). Другими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая линия.^[j]

Личность Бельтрами

В задачах физики может быть так, что ${ displaystyle { frac { partial L} { partial x}} = 0}$, что означает, что подынтегральное выражение является функцией ${ displaystyle f (x)}$ и ${ displaystyle f '(x)}$ но ${ displaystyle x}$ отдельно не появляется. В этом случае уравнение Эйлера – Лагранжа можно упростить до Белтрами личность^[16]

${ displaystyle L-f '{ frac { partial L} { partial f'}} = C ,,}$

где ${ displaystyle C}$ является константой. Левая сторона - это Превращение Лежандра из ${ displaystyle L}$ относительно ${ displaystyle f '(x)}$.

Интуиция, стоящая за этим результатом, заключается в том, что если переменная Икс на самом деле время, тогда утверждение ${ displaystyle { frac { partial L} { partial x}} = 0}$ означает, что лагранжиан не зависит от времени. От Теорема Нётер, существует связанная сохраняемая величина. В данном случае эта величина является гамильтонианом, преобразованием Лежандра лагранжиана, которое (часто) совпадает с энергией системы. Это (минус) константа в личности Бельтрами.

Уравнение Эйлера – Пуассона.

Если ${ displaystyle S}$ зависит от высших производных от ${ Displaystyle у (х)}$, то есть если

${ Displaystyle S = int limits _ {a} ^ {b} f (x, y (x), y '(x), ..., y ^ {n} (x)) dx,}$

тогда ${ displaystyle y}$ должен удовлетворять Эйлеру -Пуассон уравнение,

${ displaystyle { frac { partial f} { partial y}} - { frac {d} {dx}} left ({ frac { partial f} { partial y '}} right) + ... + (- 1) ^ {n} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left [{ frac { partial f} { partial y ^ {(n) }}} right] = 0.}$^[17]

Теорема Дюбуа-Реймона

До сих пор обсуждение предполагало, что экстремальные функции обладают двумя непрерывными производными, хотя существование интеграла J требует только первых производных от пробных функций. Условие обращения в нуль первой вариации на экстремали можно рассматривать как слабая форма уравнения Эйлера – Лагранжа. Теорема Дюбуа-Реймона утверждает, что из этой слабой формы следует сильная. Если L имеет непрерывные первую и вторую производные по всем своим аргументам, и если

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} L} { partial f '^ {2}}} neq 0,}$

тогда ${ displaystyle f}$ имеет две непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа.

Феномен Лаврентьева

Гильберт был первым, кто дал хорошие условия для того, чтобы уравнения Эйлера – Лагранжа давали стационарное решение. В пределах выпуклой области и положительного трижды дифференцируемого лагранжиана решения состоят из счетного набора сечений, которые либо проходят вдоль границы, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера – Лагранжа внутри.

Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что есть обстоятельства, при которых нет оптимального решения, но к нему можно сколь угодно близко подходить, увеличивая количество секций. Феномен Лаврентьева определяет разницу в нижней грани задачи минимизации для разных классов допустимых функций. Например, следующая проблема, представленная Маниа в 1934 году:^[18]

${ displaystyle L [x] = int _ {0} ^ {1} (x ^ {3} -t) ^ {2} x '^ {6}, ,}$

${ displaystyle {A} = {x in W ^ {1,1} (0,1): x (0) = 0, x (1) = 1 }.}$

Ясно, ${ Displaystyle х (т) = т ^ { гидроразрыва {1} {3}}}$ минимизирует функционал, но мы находим любую функцию ${ Displaystyle х в W ^ {1, infty}}$ дает значение, отделенное от нижней грани!

Примеры (в одном измерении) традиционно проявляются через ${ displaystyle W ^ {1,1}}$ и ${ Displaystyle W ^ {1, infty}}$, но Болл и Мизель^[19] закупили первый функционал, отображавший феномен Лаврентьева на ${ displaystyle W ^ {1, p}}$ и ${ displaystyle W ^ {1, q}}$ за ${ displaystyle 1 leq p$ Есть несколько результатов, которые дают критерии, при которых это явление не возникает - например, «стандартный рост», лагранжиан без зависимости от второй переменной или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D), - но результаты часто бывают частными и применимо к небольшому классу функционалов.

С Феноменом Лаврентьева связано свойство отталкивания: любой функционал, отображающий Феномен Лаврентьева, будет проявлять свойство слабого отталкивания.^[20]

Функции нескольких переменных

Например, если φ (Икс,у) обозначает смещение мембраны над областью D в Икс,у плоскости, то его потенциальная энергия пропорциональна площади его поверхности:

${ Displaystyle U [ varphi] = iint _ {D} { sqrt {1+ nabla varphi cdot nabla varphi}} , dx , dy. ,}$

Проблема плато состоит в нахождении функции, которая минимизирует площадь поверхности, принимая заданные значения на границе D; решения называются минимальные поверхности. Уравнение Эйлера – Лагранжа для этой задачи нелинейно:

${ displaystyle varphi _ {xx} (1+ varphi _ {y} ^ {2}) + varphi _ {yy} (1+ varphi _ {x} ^ {2}) - 2 varphi _ { x} varphi _ {y} varphi _ {xy} = 0. ,}$

См. Подробности в Courant (1950).

Принцип Дирихле

Часто достаточно рассматривать только небольшие смещения мембраны, разность энергии которых от отсутствия смещения аппроксимируется выражением

${ Displaystyle V [ varphi] = { frac {1} {2}} iint _ {D} nabla varphi cdot nabla varphi , dx , dy. ,}$

Функционал V должна быть минимизирована среди всех пробных функций φ, принимающих заданные значения на границе D. Если ты - минимизирующая функция и v - произвольная гладкая функция, обращающаяся в нуль на границе D, то первая вариация ${ Displaystyle V [и + varepsilon v]}$ должно исчезнуть:

${ displaystyle { frac {d} {d varepsilon}} V [u + varepsilon v] | _ { varepsilon = 0} = iint _ {D} nabla u cdot nabla v , dx , dy = 0. ,}$

При условии, что u имеет две производные, мы можем применить теорему о расходимости, чтобы получить

${ Displaystyle iint _ {D} nabla cdot (v nabla u) , dx , dy = iint _ {D} nabla u cdot nabla v + v nabla cdot nabla u , dx , dy = int _ {C} v { frac { partial u} { partial n}} , ds,}$

где C граница D, s длина дуги C и ${ displaystyle partial u / partial n}$ нормальная производная от ты на C. поскольку v исчезает на C и первая вариация исчезает, результат

${ Displaystyle iint _ {D} v nabla cdot nabla и , dx , dy = 0 ,}$

для всех гладких функций v, обращающихся в нуль на границе D. Доказательство для случая одномерных интегралов может быть адаптировано к этому случаю, чтобы показать, что

${ Displaystyle набла cdot набла и = 0 ,}$ в D.

Сложность этого рассуждения состоит в предположении, что минимизирующая функция u должна иметь две производные. Риман утверждал, что существование гладкой минимизирующей функции было обеспечено связью с физической проблемой: мембраны действительно принимают конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Риман назвал эту идею Принцип Дирихле в честь своего учителя Питер Густав Лежен Дирихле. Однако Вейерштрасс привел пример вариационной задачи без решения: минимизировать

${ Displaystyle W [ varphi] = int _ {- 1} ^ {1} (х varphi ') ^ {2} , dx ,}$

среди всех функций φ это удовлетворяет ${ Displaystyle varphi (-1) = - 1}$ и${ Displaystyle varphi (1) = 1.}$${ displaystyle W}$ можно сделать сколь угодно малым, выбрав кусочно-линейные функции, которые переходят от -1 к 1 в небольшой окрестности начала координат. Однако нет функции, которая заставляет ${ displaystyle W = 0}$.^[k] В конце концов было показано, что принцип Дирихле верен, но требует сложного применения теории регулярности для эллиптические уравнения в частных производных; см. Jost and Li – Jost (1998).

Обобщение на другие краевые задачи

Более общее выражение для потенциальной энергии мембраны:

${ Displaystyle V [ varphi] = iint _ {D} left [{ frac {1} {2}} nabla varphi cdot nabla varphi + f (x, y) varphi right] , dx , dy , + int _ {C} left [{ frac {1} {2}} sigma (s) varphi ^ {2} + g (s) varphi right] , ds.}$

Это соответствует плотности внешней силы ${ displaystyle f (x, y)}$ в D, внешняя сила ${ displaystyle g (s)}$ на границе C, а упругие силы с модулем ${ displaystyle sigma (s)}$ действующий на C. Функция, минимизирующая потенциальную энергию без ограничения его граничных значений будем обозначать ты. При условии, что ж и г непрерывны, из теории регулярности следует, что минимизирующая функция ты будет иметь две производные. При выборе первого варианта не требуется налагать граничные условия на приращение v. Первая вариация${ Displaystyle V [и + varepsilon v]}$ дан кем-то

${ displaystyle iint _ {D} left [ nabla u cdot nabla v + fv right] , dx , dy + int _ {C} left [ sigma uv + gv right] , ds = 0. ,}$

Если мы применим теорему о расходимости, результат будет

${ displaystyle iint _ {D} left [-v nabla cdot nabla u + vf right] , dx , dy + int _ {C} v left [{ frac { partial u} { partial n}} + sigma u + g right] , ds = 0. ,}$

Если мы сначала установим v = 0 на C, граничный интеграл обращается в нуль, и мы по-прежнему заключаем, что

${ Displaystyle - набла cdot набла и + е = 0 ,}$

в D. Тогда, если мы позволим v чтобы принять произвольные граничные значения, это означает, что ты должен удовлетворять граничному условию

${ displaystyle { frac { partial u} { partial n}} + sigma u + g = 0, ,}$

на C. Это граничное условие является следствием минимизирующего свойства ты: заранее не навязывается. Такие условия называются естественные граничные условия.

Предыдущее рассуждение недействительно, если ${ displaystyle sigma}$ одинаково исчезает на C. В таком случае мы можем разрешить пробную функцию ${ Displaystyle varphi Equiv C}$, где c является константой. Для такой пробной функции

${ displaystyle V [c] = c left [ iint _ {D} f , dx , dy + int _ {C} g , ds right].}$

При соответствующем выборе c, V может принимать любое значение, если только количество в скобках не обращается в нуль. Следовательно, вариационная задача бессмысленна, если

${ Displaystyle iint _ {D} е , dx , dy + int _ {C} g , ds = 0. ,}$

Это условие означает, что чистые внешние силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Если эти силы находятся в равновесии, то вариационная задача имеет решение, но оно не единственное, поскольку может быть добавлена ​​произвольная константа. Дальнейшие подробности и примеры можно найти у Куранта и Гильберта (1953).

Проблемы с собственными значениями

Как одномерные, так и многомерные проблемы с собственными значениями можно сформулировать как вариационные задачи.

Задачи Штурма – Лиувилля.

Проблема собственных значений Штурма – Лиувилля включает общую квадратичную форму

${ Displaystyle Q [ varphi] = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} left [p (x) varphi '(x) ^ {2} + q (x) varphi ( x) ^ {2} right] , dx, ,}$

где ${ displaystyle varphi}$ ограничивается функциями, удовлетворяющими граничным условиям

${ Displaystyle varphi (x_ {1}) = 0, quad varphi (x_ {2}) = 0. ,}$

Позволять р - нормализационный интеграл

${ Displaystyle R [ varphi] = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} r (x) varphi (x) ^ {2} , dx. ,}$

Функции ${ displaystyle p (x)}$ и ${ Displaystyle г (х)}$ должны быть всюду положительными и отделенными от нуля. Основная вариационная задача - минимизировать отношение Q/р среди всех φ, удовлетворяющих конечным условиям. Ниже показано, что уравнение Эйлера – Лагранжа для минимизации ты является

${ Displaystyle - (пу ')' + qu- lambda ru = 0, ,}$

где λ - фактор

${ displaystyle lambda = { frac {Q [u]} {R [u]}}. ,}$

Можно показать (см. Гельфанд, Фомин, 1963), что минимизирующая ты имеет две производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа. Соответствующий λ обозначим через ${ displaystyle lambda _ {1}}$; это наименьшее собственное значение для этого уравнения и граничных условий. Соответствующую минимизирующую функцию обозначим через ${ Displaystyle и_ {1} (х)}$. Эта вариационная характеризация собственных значений приводит к Метод Рэлея – Ритца: выбрать приблизительный ты как линейная комбинация базисных функций (например, тригонометрических функций) и выполнять конечномерную минимизацию среди таких линейных комбинаций. Этот метод часто бывает на удивление точным.

Следующее наименьшее собственное значение и собственная функция могут быть получены путем минимизации Q при дополнительном ограничении

${ displaystyle int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} r (x) u_ {1} (x) varphi (x) , dx = 0. ,}$

Эту процедуру можно расширить, чтобы получить полную последовательность собственных значений и собственных функций для задачи.

Вариационная задача также применима к более общим граничным условиям. Вместо того, чтобы требовать, чтобы φ обращалось в нуль в конечных точках, мы не можем налагать никаких условий на конечные точки и установить

${ Displaystyle Q [ varphi] = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} left [p (x) varphi '(x) ^ {2} + q (x) varphi ( x) ^ {2} right] , dx + a_ {1} varphi (x_ {1}) ^ {2} + a_ {2} varphi (x_ {2}) ^ {2}, ,}$

где ${ displaystyle a_ {1}}$ и ${ displaystyle a_ {2}}$ произвольны. Если мы установим ${ Displaystyle varphi = и + varepsilon v}$ первая вариация отношения ${ displaystyle Q / R}$ является

${ displaystyle V_ {1} = { frac {2} {R [u]}} left ( int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} left [p (x) u '( x) v '(x) + q (x) u (x) v (x) - lambda u (x) v (x) right] , dx + a_ {1} u (x_ {1}) v (x_ {1}) + a_ {2} u (x_ {2}) v (x_ {2}) right), ,}$

где λ определяется отношением ${ Displaystyle Q [u] / R [u]}$ как и раньше. после интеграции по частям,

${ displaystyle { frac {R [u]} {2}} V_ {1} = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} v (x) left [- (pu ')' + qu- lambda ru right] , dx + v (x_ {1}) [- p (x_ {1}) u '(x_ {1}) + a_ {1} u (x_ {1})] + v (x_ {2}) [p (x_ {2}) u '(x_ {2}) + a_ {2} u (x_ {2})]. ,}$

Если мы сначала потребуем, чтобы v исчезают в конечных точках, первая вариация исчезнет для всех таких v только если

${ displaystyle - (pu ')' + qu- lambda ru = 0 quad { hbox {for}} quad x_ {1}$

Если ты удовлетворяет этому условию, то первая вариация обращается в нуль для произвольного v только если

${ displaystyle -p (x_ {1}) u '(x_ {1}) + a_ {1} u (x_ {1}) = 0, quad { hbox {и}} quad p (x_ {2 }) u '(x_ {2}) + a_ {2} u (x_ {2}) = 0. ,}$

Эти последние условия являются естественные граничные условия для этой проблемы, поскольку они не накладываются на пробные функции для минимизации, а являются следствием минимизации.

Проблемы собственных значений в нескольких измерениях

Задачи на собственные значения в высших измерениях определяются аналогично одномерному случаю. Например, учитывая домен D с границей B в трех измерениях мы можем определить

${ Displaystyle Q [ varphi] = iiint _ {D} p (X) nabla varphi cdot nabla varphi + q (X) varphi ^ {2} , dx , dy , dz + iint _ {B} sigma (S) varphi ^ {2} , dS, ,}$

и

${ displaystyle R [ varphi] = iiint _ {D} r (X) varphi (X) ^ {2} , dx , dy , dz. ,}$

Позволять ты - функция, которая минимизирует частное ${ Displaystyle Q [ varphi] / R [ varphi],}$без каких-либо условий на границе B. Уравнение Эйлера – Лагранжа, которому удовлетворяет ты является

${ displaystyle - nabla cdot (p (X) nabla u) + q (x) u- lambda r (x) u = 0, ,}$

где

${ displaystyle lambda = { frac {Q [u]} {R [u]}}. ,}$

Минимизация ты также должно удовлетворять естественному граничному условию

${ Displaystyle p (S) { frac { partial u} { partial n}} + sigma (S) u = 0,}$

на границе B. Этот результат зависит от теории регулярности эллиптических уравнений в частных производных; подробности см. Jost and Li – Jost (1998). Многие расширения, включая результаты о полноте, асимптотические свойства собственных значений и результаты, касающиеся узлов собственных функций, содержатся в Куранте и Гильберте (1953).

Приложения

Оптика

Принцип Ферма утверждает, что свет проходит по пути, который (локально) минимизирует оптическую длину между его конечными точками. Если Икс-координата выбирается в качестве параметра по пути, а ${ Displaystyle у = е (х)}$ вдоль пути, то оптическая длина определяется выражением

${ displaystyle A [f] = int _ {x = x_ {0}} ^ {x_ {1}} n (x, f (x)) { sqrt {1 + f '(x) ^ {2} }} dx, ,}$

где показатель преломления ${ Displaystyle п (х, у)}$ зависит от материала.Если мы попробуем ${ Displaystyle е (х) = е_ {0} (х) + varepsilon f_ {1} (х)}$затем первая вариация из А (производная от А относительно ε) является

${ displaystyle delta A [f_ {0}, f_ {1}] = int _ {x = x_ {0}} ^ {x_ {1}} left [{ frac {n (x, f_ {0 }) f_ {0} '(x) f_ {1}' (x)} { sqrt {1 + f_ {0} '(x) ^ {2}}}} + n_ {y} (x, f_ { 0}) f_ {1} { sqrt {1 + f_ {0} '(x) ^ {2}}} right] dx.}$

После интегрирования по частям первого члена в скобках получаем уравнение Эйлера – Лагранжа

${ displaystyle - { frac {d} {dx}} left [{ frac {n (x, f_ {0}) f_ {0} '} { sqrt {1 + f_ {0}' ^ {2) }}}} right] + n_ {y} (x, f_ {0}) { sqrt {1 + f_ {0} '(x) ^ {2}}} = 0. ,}$

Световые лучи могут быть определены интегрированием этого уравнения. Этот формализм используется в контексте Лагранжева оптика и Гамильтонова оптика.

Закон Снеллиуса

Когда свет попадает в линзу или выходит из нее, наблюдается скачок показателя преломления. Позволять

${ Displaystyle п (х, у) = п _ {(-)} quad { hbox {if}} quad x <0, ,}$

${ Displaystyle п (х, у) = п _ {(+)} quad { hbox {if}} quad x> 0, ,}$

где ${ Displaystyle п _ {(-)}}$ и ${ Displaystyle п _ {(+)}}$ являются константами. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа выполняется по-прежнему в области, где Икс<0 или Икс> 0, и фактически путь там является прямой линией, поскольку показатель преломления постоянен. На Икс=0, ж должен быть непрерывным, но f ' может быть прерывистым. После интегрирования по частям в отдельных областях и с использованием уравнений Эйлера – Лагранжа первая вариация принимает вид

${ displaystyle delta A [f_ {0}, f_ {1}] = f_ {1} (0) left [n _ {(-)} { frac {f_ {0} '(0 ^ {-}) } { sqrt {1 + f_ {0} '(0 ^ {-}) ^ {2}}}} - n _ {(+)} { frac {f_ {0}' (0 ^ {+})} { sqrt {1 + f_ {0} '(0 ^ {+}) ^ {2}}}} right]. ,}$

Фактор умножения ${ Displaystyle п _ {(-)}}$ это синус угла падающего луча с Икс ось, а множитель ${ Displaystyle п _ {(+)}}$ это синус угла преломленного луча с Икс ось. Закон Снеллиуса для преломления требует, чтобы эти члены были равны. Как показывает этот расчет, закон Снеллиуса эквивалентен обращению в нуль первой вариации длины оптического пути.

Принцип Ферма в трех измерениях

Целесообразно использовать векторные обозначения: пусть ${ Displaystyle X = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}),}$ позволять т параметр, пусть ${ Displaystyle X (т)}$ - параметрическое представление кривой C, и разреши ${ Displaystyle { точка {X}} (т)}$ - его касательный вектор. Оптическая длина кривой определяется выражением

${ displaystyle A [C] = int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} n (X) { sqrt {{ dot {X}} cdot { dot {X}} }} , dt. ,}$

Отметим, что этот интеграл инвариантен относительно изменений параметрического представления C. Уравнения Эйлера – Лагранжа для минимизирующей кривой имеют симметричный вид

${ displaystyle { frac {d} {dt}} P = { sqrt {{ dot {X}} cdot { dot {X}}}} , nabla n, ,}$

где

${ displaystyle P = { frac {n (X) { dot {X}}} { sqrt {{ dot {X}} cdot { dot {X}}}}}. ,}$

Из определения следует, что п удовлетворяет

${ Displaystyle P cdot P = N (X) ^ {2}. ,}$

Следовательно, интеграл можно также записать как

${ displaystyle A [C] = int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} P cdot { dot {X}} , dt. ,}$

Эта форма предполагает, что если мы сможем найти функцию ψ, градиент которой задается формулой п, то интеграл А дается разностью ψ на концах интервала интегрирования. Таким образом, проблема изучения кривых, делающих интеграл стационарным, может быть связана с изучением поверхностей уровня ψ. Чтобы найти такую ​​функцию, обратимся к волновому уравнению, которое определяет распространение света. Этот формализм используется в контексте Лагранжева оптика и Гамильтонова оптика.

Связь с волновым уравнением

В волновое уравнение для неоднородной среды

${ Displaystyle и_ {тт} = с ^ {2} набла cdot набла и, ,}$

где c - скорость, которая обычно зависит от Икс. Волновые фронты для света являются характеристическими поверхностями для этого уравнения в частных производных: они удовлетворяют

${ displaystyle varphi _ {t} ^ {2} = c (X) ^ {2} , nabla varphi cdot nabla varphi. ,}$

Мы можем искать решения в виде

${ Displaystyle varphi (t, X) = t- psi (X). ,}$

В этом случае ψ удовлетворяет

${ Displaystyle набла psi cdot nabla psi = п ^ {2}, ,}$

где ${ displaystyle n = 1 / c.}$ Согласно теории уравнения в частных производных первого порядка, если ${ displaystyle P = nabla psi,}$ тогда п удовлетворяет

${ displaystyle { frac {dP} {ds}} = n , nabla n,}$

по системе кривых (световые лучи), которые даются

${ displaystyle { frac {dX} {ds}} = P. ,}$

Эти уравнения для решения дифференциального уравнения с частными производными первого порядка идентичны уравнениям Эйлера – Лагранжа, если мы сделаем идентификацию

${ displaystyle { frac {ds} {dt}} = { frac { sqrt {{ dot {X}} cdot { dot {X}}}} {n}}. ,}$

Делаем вывод, что функция ψ является значением минимизирующего интеграла А как функция от верхней конечной точки. То есть, когда построено семейство минимизирующих кривых, значения оптической длины удовлетворяют характеристическому уравнению, соответствующему волновому уравнению. Следовательно, решение соответствующего уравнения в частных производных первого порядка эквивалентно нахождению семейств решений вариационной задачи. Это основное содержание Теория Гамильтона – Якоби, что относится к более общим вариационным задачам.

Механика

В классической механике действие, S, определяется как интеграл от лагранжиана по времени, L. Лагранжиан - это разность энергий,

${ Displaystyle L = Т-У, ,}$

где Т это кинетическая энергия механической системы и U его потенциальная энергия. Принцип Гамильтона (или принцип действия) утверждает, что движение консервативной голономной (интегрируемые связи) механической системы таково, что интеграл действия

${ Displaystyle S = int _ {t = t_ {0}} ^ {t_ {1}} L (x, { dot {x}}, t) , dt}$

стационарен по отношению к вариациям пути Икс(тУравнения Эйлера – Лагранжа для этой системы известны как уравнения Лагранжа:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {x}}}} = { frac { partial L} { partial x}}, ,}$

и они эквивалентны уравнениям движения Ньютона (для таких систем).

Сопряженные импульсы п определены

${ displaystyle p = { frac { partial L} { partial { dot {x}}}}. ,}$

Например, если

${ Displaystyle Т = { гидроразрыва {1} {2}} м { точка {x}} ^ {2}, ,}$

тогда

${ Displaystyle р = м { точка {х}}. ,}$

Гамильтонова механика результат, если сопряженные импульсы ввести вместо ${ displaystyle { dot {x}}}$ преобразованием Лежандра лагранжиана L в гамильтониан ЧАС определяется

${ displaystyle H (x, p, t) = p , { dot {x}} - L (x, { dot {x}}, t). ,}$

Гамильтониан - это полная энергия системы: ЧАС = Т + UАналогия с принципом Ферма предполагает, что решения уравнений Лагранжа (траектории частиц) могут быть описаны в терминах поверхностей уровня некоторой функции Икс. Эта функция является решением Уравнение Гамильтона – Якоби:

${ Displaystyle { frac { partial psi} { partial t}} + H left (x, { frac { partial psi} { partial x}}, t right) = 0. , }$

Дальнейшие приложения

Дальнейшие применения вариационного исчисления включают следующее:

• Вывод цепная связь форма
• Решение для Проблема минимального сопротивления Ньютона
• Решение проблемы брахистохрона проблема
• Решение для изопериметрический проблемы
• Расчет геодезические
• обнаружение минимальные поверхности и решение Проблема плато
• Оптимальный контроль

Вариации и достаточное условие минимума

Вариационное исчисление связано с вариациями функционалов, которые представляют собой небольшие изменения значения функционала из-за небольших изменений функции, являющейся его аргументом. В первая вариация^[l] определяется как линейная часть изменения функционала, а второй вариант^[м] определяется как квадратичная часть.^[22]

Например, если J[у] - функционал с функцией у = у(Икс) в качестве аргумента, и есть небольшое изменение в его аргументе от у к у + час, где час = час(Икс) функция в том же функциональном пространстве, что и у, то соответствующее изменение функционала равно

${ displaystyle Delta J [h] = J [y + h] -J [y].}$  ^[n]

Функционал J[у] как говорят дифференцируемый если

${ Displaystyle Delta J [h] = varphi [h] + varepsilon | h |,}$

где φ[час] - линейный функционал,^[o] || h || это норма час,^[п] и ε → 0 так как || h || → 0. Линейный функционал φ[час] это первая вариация J[у] и обозначается,^[26]

${ displaystyle delta J [h] = varphi [h].}$

Функционал J[у] как говорят дважды дифференцируемый если

${ displaystyle Delta J [h] = varphi _ {1} [h] + varphi _ {2} [h] + varepsilon | h | ^ {2},}$

где φ₁[час] - линейный функционал (первая вариация), φ₂[час] - квадратичный функционал,^[q] и ε → 0 так как || h || → 0. Квадратичный функционал φ₂[час] это вторая вариация J[у] и обозначается,^[28]

${ displaystyle delta ^ {2} J [h] = varphi _ {2} [h].}$

Второй вариант δ²J[час] как говорят сильно положительный если

${ Displaystyle дельта ^ {2} J [ч] GEQ к | ч | ^ {2},}$

для всех час и для некоторой постоянной k > 0 .^[29]

Используя приведенные выше определения, особенно определения первой вариации, второй вариации и строго положительного, можно сформулировать следующее достаточное условие минимума функционала.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

• Бенесова Б., Крузик М .: «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложения». SIAM Обзор 59(4) (2017), 703–766.
• Больца, О.: Лекции по вариационному исчислению. Chelsea Publishing Company, 1904 г., имеется в библиотеке цифровой математики. 2-е издание переиздано в 1961 г., в мягкой обложке в 2005 г., ISBN  978-1-4181-8201-4.
• Кассель, Кевин В .: Вариационные методы с приложениями в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.
• Клегг, Дж. К.: Исчисление вариаций, Interscience Publishers Inc., 1968 г.
• Курант, Р.: Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Interscience, 1950.
• Дакорогна, Бернар: "Введение " Введение в вариационное исчисление, 3-е изд. 2014, Всемирное научное издательство, ISBN  978-1-78326-551-0.
• Эльсголк, Л.Э .: Исчисление вариаций, Pergamon Press Ltd., 1962.
• Форсайт, А.Р .: Исчисление вариаций, Дувр, 1960.
• Фокс, Чарльз: Введение в вариационное исчисление, Dover Publ., 1987.
• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан: Вариационное исчисление I и II, Springer-Verlag, ISBN  978-3-662-03278-7 и ISBN  978-3-662-06201-2
• Йост, Дж. И Х. Ли-Йост: Исчисление вариаций. Издательство Кембриджского университета, 1998.
• Лебедев, Л.П., Клауд, М.Дж .: Вариационное исчисление и функциональный анализ с оптимальным управлением и приложения в механике, World Scientific, 2003, страницы 1–98.
• Логан, Дж. Дэвид: Прикладная математика, 3-е изд. Wiley-Interscience, 2006 г.
• Пайк, Ральф В. «Глава 8: Вариационное исчисление». Оптимизация инженерных систем. Университет штата Луизиана. Архивировано из оригинал на 2007-07-05.
• Рубичек, Т .: "Вариационное исчисление ". Глава 17 в: Математические инструменты для физиков. (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014 г., ISBN  978-3-527-41188-7С. 551–588.
• Саган, Ганс: Введение в вариационное исчисление, Дувр, 1992.
• Вайншток, Роберт: Вариационное исчисление в приложениях к физике и технике, Dover, 1974 (перепечатка изд. 1952 г.).

внешняя ссылка

• Вариационное исчисление. Энциклопедия математики.
• вариационное исчисление. PlanetMath.
• Исчисление вариаций. MathWorld.
• Вариационное исчисление. Примеры проблем.
• Математика - вариационное исчисление и интегральные уравнения. Лекции по YouTube.
• Избранные статьи по геодезическим полям. Часть I, Часть II.