Вариационный принцип Экланда - Википедия - Ekelands variational principle

В математический анализ, Вариационный принцип Экланда, обнаруженный Ивар Экеланд,^[1][2][3] - это теорема, утверждающая, что существуют почти оптимальные решения некоторых проблемы оптимизации.

Вариационный принцип Экланда можно использовать, когда нижняя набор уровней проблем минимизации нет компактный, таким образом Теорема Больцано – Вейерштрасса не может применяться. Принцип Экланда основан на полнота из метрическое пространство.^[4]

Принцип Экланда приводит к быстрому доказательству Теорема Каристи о неподвижной точке.^[4][5]

Было показано, что принцип Экланда эквивалентен полноте метрических пространств.^[6]

Экеланд был связан с Парижский университет Дофин когда он предложил эту теорему.^[1]

Вариационный принцип Экланда

Предварительные мероприятия

Позволять ${ displaystyle f: X to mathbb {R} cup {- infty, + infty }}$ быть функцией. Потом,

• ${ displaystyle operatorname {dom} f: = left {x in X: f (x) neq + infty right }}$.
• ж является правильный если ${ displaystyle operatorname {dom} f neq emptyset}$ (т.е. если ж не идентично ${ displaystyle + infty}$).
• ж является ограниченный снизу если ${ Displaystyle inf _ {х в X} е (х)> - infty}$.
• данный ${ displaystyle x_ {0} in X}$, скажи это ж является полунепрерывный снизу в ${ displaystyle x_ {0}}$ если для каждого ${ Displaystyle у <е (х_ {0})}$ существует район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle x_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle f (x)> y}$ для всех ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle U}$.
• ж является полунепрерывный снизу если он полунепрерывен снизу в каждой точке Икс.
  • Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle {х в Х: ~ е (х)> у }}$ является открытый набор для каждого ${ Displaystyle у в mathbb {R}}$; в качестве альтернативы функция является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда все ее нижние наборы уровней ${ Displaystyle {х в Икс: ~ е (х) Leq у }}$ находятся закрыто.

Формулировка теоремы

Теорема (Экланд):^[7] Позволять ${ displaystyle (X, d)}$ быть полное метрическое пространство и ${ displaystyle f: X to mathbb {R} cup {+ infty }}$ собственное (т.е. не идентично ${ displaystyle + infty}$) полунепрерывный снизу ограниченная снизу функция. Выбирать ${ displaystyle epsilon> 0}$ и ${ displaystyle x_ {0} in X}$ такой, что ${ Displaystyle е (х_ {0}) neq + infty}$ (или эквивалентно, ${ displaystyle f (x_ {0}) in mathbb {R}}$). Есть некоторые ${ displaystyle v in X}$ такой, что

${ displaystyle f (v) leq f left (x_ {0} right) - epsilon d left (x_ {0}, v right)}$

и для всех ${ Displaystyle х neq v}$,

${ Displaystyle е (v) <е (х) + эпсилон d влево (v, х вправо)}$.

Доказательство теоремы

Определите функцию ${ displaystyle G: X times X to mathbb {R} cup {+ infty }}$ к

${ Displaystyle G left (x, y right): = f (x) + epsilon d (x, y)}$

и обратите внимание, что грамм полунепрерывно снизу (являясь суммой полунепрерывной снизу функции ж и непрерывная функция ${ Displaystyle (х, у) mapsto эпсилон д (х, у)}$).Данный ${ displaystyle z in X}$, определим функции ${ displaystyle G_ {z}: = G (z, cdot): X to mathbb {R} cup {+ infty }}$ и ${ Displaystyle G ^ {z}: = G ( cdot, z): X to mathbb {R} cup {+ infty }}$ и определим множество

${ Displaystyle F (z): = влево {у в Y: G_ {z} (у) Leq f (z) вправо } = влево {у в Y: f (z) + epsilon d (z, y) leq f (z) right }}$.

Несложно показать, что для всех ${ displaystyle x in X}$,

1. ${ Displaystyle F (х)}$ закрыто (потому что ${ displaystyle G_ {x}: = G (x, cdot): X to mathbb {R} cup {+ infty }}$ полунепрерывно снизу);
2. если ${ displaystyle x not in operatorname {dom} f}$ тогда ${ Displaystyle F (x) = X}$;
3. если ${ displaystyle x in operatorname {dom} f}$ тогда ${ Displaystyle х в F (х) substeq operatorname {dom} f}$; особенно, ${ displaystyle x_ {0} in F (x_ {0}) substeq operatorname {dom} f}$;
4. если ${ Displaystyle у в F (х)}$ тогда ${ Displaystyle F (y) substeq F (x)}$.

Позволять ${ displaystyle s_ {0} = inf _ {x in F (x_ {0})} f (x)}$, которое является действительным числом, поскольку ж считалось ограниченным снизу. Выбирать ${ displaystyle x_ {1} in F left (x_ {0} right)}$ такой, что ${ displaystyle f left (x_ {1} right)$. Определив ${ displaystyle s_ {n-1}}$ и ${ displaystyle x_ {n}}$, определять ${ displaystyle s_ {n}: = inf _ {x in F left (x_ {n} right)} f (x)}$ и выбрать ${ displaystyle x_ {n + 1} in F left (x_ {n} right)}$ такой, что ${ displaystyle f left (x_ {n + 1} right)$.

Обратите внимание на следующее:

• для всех ${ Displaystyle п geq 0}$, ${ displaystyle F left (x_ {n + 1} right) substeq F left (x_ {n} right)}$ (потому что ${ displaystyle x_ {n + 1} in F left (x_ {n} right)}$, откуда теперь следует, что ${ displaystyle s_ {n + 1} geq s_ {n}}$;
• для всех ${ Displaystyle п geq 1}$, потому что ${ displaystyle x_ {n + 1} in F left (x_ {n} right)}$

${ displaystyle epsilon d left (x_ {n + 1}, x_ {n} right) leq f left (x_ {n} right) -f left (x_ {n + 1} right) leq f left (x_ {n} right) -s_ {n} leq f left (x_ {n} right) -s_ {n-1} <2 ^ {- n}}$

Отсюда следует, что для всех ${ Displaystyle п, п geq 1}$, ${ displaystyle d left (x_ {n + 1}, x_ {n} right) leq epsilon 2 ^ {1-n}}$, таким образом показывая, что ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ является последовательностью Коши. С Икс полное метрическое пространство, существует ${ displaystyle v in X}$ такой, что ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ сходится к v. С ${ displaystyle x_ {m} in F left (x_ {n} right)}$ для всех ${ Displaystyle м geq п}$, у нас есть ${ Displaystyle v in OperatorName {cl} F (x_ {n}) = F (x_ {n})}$ для всех ${ Displaystyle п geq 0}$, где, в частности, ${ displaystyle v in F (x_ {0})}$.

Мы покажем, что ${ Displaystyle F влево (v вправо) = влево {v вправо }}$ из чего будет следовать вывод теоремы. Позволять ${ Displaystyle х в F (v)}$ и обратите внимание, что поскольку ${ displaystyle x in F (x_ {n})}$ для всех ${ Displaystyle п geq 0}$, мы имеем, как указано выше, ${ displaystyle epsilon d left (x, x_ {n} right) leq 2 ^ {- n}}$ и заметим, что это означает, что ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ сходится к Икс. Поскольку предел ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ уникален, мы должны иметь ${ displaystyle x = v}$. Таким образом ${ Displaystyle F влево (v вправо) = влево {v вправо }}$, по желанию. Q.E.D.

Следствия

Следствие:^[8] Позволять (Икс, d) быть полное метрическое пространство, и разреши ж: Икс → р ∪ {+ ∞} быть полунепрерывный снизу функционирует на Икс ограниченное снизу и не равное тождественно + ∞. Исправить ε > 0 и точка ${ displaystyle x_ {0}}$ ∈ Икс такой, что

${ displaystyle f left (x_ {0} right) leq varepsilon + inf _ {x in X} f (x).}$

Затем для каждого λ > 0 существует точка v ∈ Икс такой, что

${ Displaystyle F (V) Leq F влево (x_ {0} right),}$

${ displaystyle d left (x_ {0}, v right) leq lambda,}$

и для всех Икс ≠ v,

${ displaystyle f (x)> f (v) - { frac { varepsilon} { lambda}} d (v, x).}$

Обратите внимание, что хороший компромисс - это взять ${ displaystyle lambda: = { sqrt { epsilon}}}$ в предыдущем результате.^[8]

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Экеланд, Ивар (1979). «Задачи невыпуклой минимизации». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 1 (3): 443–474. Дои:10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. МИСТЕР  0526967.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Кирк, Уильям А .; Гебель, Казимеж (1990). Темы метрической теории фиксированной точки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38289-0.
• Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. ISBN  981-238-067-1. OCLC  285163112.CS1 maint: ref = harv (связь)