Тепловое ядро - Heat kernel

в математический исследование теплопроводность и распространение, а тепловое ядро это фундаментальное решение к уравнение теплопроводности на указанном домене с соответствующими граничные условия. Это также один из основных инструментов в изучении спектр из Оператор Лапласа, и поэтому имеет некоторое вспомогательное значение во всем математическая физика. Тепловое ядро ​​представляет собой эволюцию температура в области, граница которой фиксируется при определенной температуре (обычно нулевой), так что начальная единица тепловой энергии помещается в определенный момент времени т = 0.

Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: ход времени ${displaystyle Phi (x, t)}$. Синий: временной ход ${displaystyle Phi (x_ {0}, t)}$ для двух выбранных точек. Интерактивная версия.

Самым известным тепловым ядром является тепловое ядро d-размерный Евклидово пространство р^d, который имеет вид изменяющейся во времени Функция Гаусса,

${displaystyle K (t, x, y) = {frac {1} {(4pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | x-y | ^ {2} / 4t},}$

Это решает уравнение теплопроводности

${displaystyle {frac {partial K} {partial t}} (t, x, y) = Delta _ {x} K (t, x, y),}$

для всех т > 0 и Икс,у ∈ р^d, где Δ - оператор Лапласа, с начальным условием

${displaystyle lim _ {t o 0} K (t, x, y) = delta (x-y) = delta _ {x} (y)}$

где δ - Распределение дельты Дирака и предел взят в смысле распределения. То есть для любой гладкой функции φ от компактная опора,

${displaystyle lim _ {t o 0} int _ {mathbf {R} ^ {d}} K (t, x, y) phi (y), dy = phi (x).}$

В более общей области Ω в р^d, такая явная формула, как правило, невозможна. Следующие простейшие случаи диска или квадрата включают, соответственно, Функции Бесселя и Тета-функции Якоби. Тем не менее тепловое ядро ​​(скажем, для Задача Дирихле ) все еще существует и гладкий за т > 0 в произвольных областях и действительно на любых Риманово многообразие с границей при условии, что граница достаточно регулярная. Более точно, в этих более общих областях тепловое ядро ​​для задачи Дирихле является решением начально-краевой задачи

${displaystyle {egin {выравнивается} & {frac {partial K} {partial t}} (t, x, y) = Delta K (t, x, y) {ext {for all}} t> 0 {ext {и }} x, yin Omega [6pt] & lim _ {t o 0} K (t, x, y) = delta _ {x} (y) {ext {для всех}} x, yin Omega [6pt] & K (t, x, y) = 0, quad xin частичная омега {ext {или}} инь частичная омега .end {выровнено}}}$

Вывести формальное выражение для теплового ядра в произвольной области несложно. Рассмотрим задачу Дирихле в связной области (или многообразии с краем) U. Позволять λ_п быть собственные значения для задачи Дирихле лапласиана

${displaystyle left {{egin {array} {ll} Delta phi + lambda phi = 0 & {ext {in}} U phi = 0 & {ext {on}} частичный U.end {array}} ight.}$

Пусть φ_п обозначим связанный собственные функции, нормализованная до ортонормированной в L²(U). Обратный лапласиан Дирихле Δ⁻¹ это компактный и самосопряженный оператор, и поэтому спектральная теорема следует, что собственные значения удовлетворяют

${displaystyle 0$

Тепловое ядро ​​имеет следующее выражение:

${displaystyle K (t, x, y) = sum _ {n = 0} ^ {infty} e ^ {- lambda _ {n} t} phi _ {n} (x) phi _ {n} (y). }$

(1)

Формальное дифференцирование ряда под знаком суммы показывает, что он должен удовлетворять уравнению теплопроводности. Однако сходимость и регулярность рядов весьма тонки.

Тепловое ядро ​​также иногда идентифицируют с ассоциированным интегральное преобразование, определенный для гладкой φ с компактным носителем формулой

${displaystyle Tphi = int _ {Omega} K (t, x, y) phi (y), dy.}$

В теорема о спектральном отображении дает представление о Т в виде

${displaystyle T = e ^ {tDelta}.}$

Есть несколько геометрических результатов о тепловых ядрах на многообразиях; скажем, кратковременная асимптотика, долговременная асимптотика и верхняя / нижняя границы гауссовского типа.

Смотрите также

• Подпись теплового ядра
• Дзета-функция Минакшисундарама – Плейжеля
• Ядро Мелера
• Преобразование Вейерштрасса # Обобщения

Рекомендации

• Берлайн, Николь; Getzler, E .; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Чавел, Исаак (1984), Собственные значения в римановой геометрии, Чистая и прикладная математика, 115, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN  978-0-12-170640-1, МИСТЕР  0768584.
• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения с частными производными, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0772-9
• Гилки, Питер Б. (1994), Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема Атьи – Зингера, ISBN  978-0-8493-7874-4
• Григорьян, Александр (2009), Тепловое ядро ​​и анализ на многообразиях, Исследования AMS / IP по высшей математике, 47, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4935-4, МИСТЕР  2569498