Спектральная теория - Spectral theory

В математика, спектральная теория является всеобъемлющим термином для теорий, расширяющих собственный вектор и собственное значение теория единого квадратная матрица к гораздо более широкой теории структуры операторы в различных математические пространства.[1] Это результат исследований линейная алгебра и решения системы линейных уравнений и их обобщения.[2] Теория связана с теорией аналитические функции поскольку спектральные свойства оператора связаны с аналитическими функциями спектрального параметра.[3]

Математический фон

Название спектральная теория был представлен Дэвид Гильберт в его первоначальной формулировке Гильбертово пространство теории, которая была сформулирована с точки зрения квадратичные формы в бесконечном множестве переменных. Оригинал спектральная теорема была задумана как версия теоремы о главные оси из эллипсоид, в бесконечномерном пространстве. Позднее открытие в квантовая механика что спектральная теория может объяснить особенности атомные спектры поэтому был случайным. Сам Гильберт был удивлен неожиданным применением этой теории, отметив, что «я разработал свою теорию бесконечного множества переменных, исходя из чисто математических интересов, и даже назвал ее« спектральным анализом », не предполагая, что позже она найдет применение к реальному спектру переменных. физика ".[4]

Было три основных способа сформулировать спектральную теорию, каждый из которых нашел применение в различных областях. После первоначальной формулировки Гильберта последующее развитие абстрактного Гильбертовы пространства и спектральная теория одиночных нормальные операторы на них хорошо соответствовали требованиям физика на примере работы фон Нейман.[5] Дальнейшая теория, построенная на этом, для решения Банаховы алгебры в целом. Это развитие приводит к Представительство Гельфанда, который охватывает коммутативный падеж, и далее в некоммутативный гармонический анализ.

Разницу можно увидеть, установив связь с Анализ Фурье. В преобразование Фурье на реальная линия в каком-то смысле спектральная теория дифференциация как дифференциальный оператор. Но для того, чтобы охватить явления, нужно уже иметь дело с обобщенные собственные функции (например, с помощью оснащенное гильбертово пространство ). С другой стороны, легко построить групповая алгебра, спектр которого отражает основные свойства преобразования Фурье, и это осуществляется с помощью Понтрягинская двойственность.

Можно также изучить спектральные свойства операторов на Банаховы пространства. Например, компактные операторы на банаховых пространствах обладают многими спектральными свойствами, аналогичными свойствам матрицы.

Физический фон

Основы физики вибрации было объяснено следующим образом:[6]

Спектральная теория связана с исследованием локализованных колебаний множества различных объектов, от атомы и молекулы в химия к препятствиям в акустические волноводы. Эти колебания частоты, и проблема состоит в том, чтобы решить, когда возникают такие локализованные колебания, и как рассчитывать частоты. Это очень сложная проблема, поскольку каждый объект имеет не только основной тон но также сложная серия обертоны, которые радикально различаются от одного тела к другому.

Такие физические идеи не имеют ничего общего с математической теорией на техническом уровне, но есть примеры косвенного участия (см., Например, Марк Кац вопрос Вы слышите форму барабана? ). Принятие Гильбертом термина «спектр» было приписано статье 1897 г. Вильгельм Виртингер на Дифференциальное уравнение Хилла (к Жан Дьедонне ), и его подхватили его ученики в течение первого десятилетия двадцатого века, в том числе Эрхард Шмидт и Герман Вейль. Концептуальная основа для Гильбертово пространство был разработан на основе идей Гильберта Эрхард Шмидт и Фриджес Рис.[7][8] Это было почти двадцать лет спустя, когда квантовая механика был сформулирован в терминах Уравнение Шредингера, что связь была установлена ​​с атомные спектры; связь с математической физикой вибрации подозревалась и раньше, как заметил Анри Пуанкаре, но отвергнуты по простым количественным причинам, без объяснения Серия Бальмера.[9] Более позднее открытие квантовой механики, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было поэтому случайным, а не объектом спектральной теории Гильберта.

Определение спектра

Основная статья: Спектр (функциональный анализ)

Рассмотрим ограниченное линейное преобразование Т определяется всюду над генералом Банахово пространство. Формируем преобразование:

Здесь я это оператор идентификации и ζ является комплексное число. В обратный оператора Т, то есть Т−1, определяется:

Если существует обратное, Т называется обычный. Если его не существует, Т называется единственное число.

С этими определениями набор резольвент из Т - множество всех комплексных чисел ζ таких, что рζ существует и является ограниченный. Этот набор часто обозначается как ρ (Т). В спектр из Т - множество всех комплексных чисел ζ таких, что рζ терпит неудачу существовать или безгранично. Часто спектр Т обозначается σ (Т). Функция рζ для всех ζ в ρ (Т) (то есть везде, где рζ существует как ограниченный оператор) называется противовоспалительное средство из Т. В спектр из Т поэтому является дополнением набор резольвент из Т в комплексной плоскости.[10] Каждый собственное значение из Т принадлежит σ (Т), но σ (Т) может содержать не собственные значения.[11]

Это определение применяется к банаховому пространству, но, конечно, существуют и другие типы пространств, например, топологические векторные пространства включают банаховы пространства, но могут быть более общими.[12][13] С другой стороны, банаховы пространства включают Гильбертовы пространства, и именно эти пространства находят наибольшее применение и богатейшие теоретические результаты.[14] При подходящих ограничениях можно многое сказать о структуре спектры превращений в гильбертовом пространстве. В частности, для самосопряженные операторы, спектр лежит на реальная линия и (в общем) является спектральная комбинация точечного спектра дискретных собственные значения и непрерывный спектр.[15]

Кратко о спектральной теории

Основная статья: Спектральная теорема
Смотрите также: Собственное значение, собственный вектор и собственное подпространство

В функциональный анализ и линейная алгебра спектральная теорема устанавливает условия, при которых оператор может быть выражен в простой форме как сумма более простых операторов. Поскольку полная строгость изложения не подходит для этой статьи, мы используем подход, который избегает большей части строгости и удовлетворения формального лечения с целью быть более понятным для неспециалистов.

Эту тему проще всего описать, представив обозначение бюстгальтера из Дирак для операторов.[16][17] Например, очень частный линейный оператор L можно было бы записать как диадический продукт:[18][19]

в плане «бюстгальтер» ⟨б1| и «кет» |k1⟩. Функция ж описывается кет как |ж ⟩. Функция ж(Икс) определяется по координатам обозначается как

и величина ж к

где обозначение '*' обозначает комплексно сопряженный. Этот внутренний продукт выбор определяет очень конкретный внутреннее пространство продукта, ограничивая общность следующих аргументов.[14]

Эффект L по функции ж затем описывается как:

выражая результат, что эффект L на ж это создать новую функцию умноженный на внутренний продукт, представленный .

Более общий линейный оператор L можно выразить как:

где скаляры и площадь основа и а взаимная основа для космоса. Отношения между базисом и взаимным основанием частично описываются:

Если такой формализм применим, находятся собственные значения из L и функции находятся собственные функции из L. Собственные значения находятся в спектр из L.[20]

Возникают естественные вопросы: при каких обстоятельствах работает этот формализм и для каких операторов L возможны ли расширения в ряды других подобных операторов? Может любая функция ж выражаются через собственные функции (являются ли они Основа Шаудера ) и при каких обстоятельствах возникает точечный спектр или непрерывный спектр? Чем отличаются формализмы для бесконечномерных пространств и конечномерных пространств? Можно ли распространить эти идеи на более широкий класс пространств? Ответы на такие вопросы - это область спектральной теории, и она требует значительного опыта в этой области. функциональный анализ и матричная алгебра.

Разрешение личности

Смотрите также: Функциональное исчисление Бореля § Разрешение тождества

Этот раздел продолжается в грубой и готовой манере предыдущего раздела с использованием обозначений на скобках и замалчивания многих важных деталей строгого обращения.[21] Строгую математическую трактовку можно найти в различных источниках.[22] В частности, размерность п пространства будет конечным.

Используя обозначения скобок из предыдущего раздела, тождественный оператор можно записать как:

где предполагается, как указано выше, что { } площадь основа и { } взаимный базис для пространства, удовлетворяющего соотношению:

Это выражение операции идентификации называется представление или разрешающая способность личности.[21],[22] Это формальное представление удовлетворяет основному свойству идентичности:

действительно для любого положительного целого числа k.

Применение разрешения идентичности к любой функции в пространстве , получаем:

что является обобщенным Разложение Фурье функции ψ через базисные функции {eя }.[23]Здесь .

Для некоторого операторного уравнения вида:

с час в пространстве это уравнение может быть решено в указанном выше базисе с помощью формальных манипуляций:

который переводит операторное уравнение в матричное уравнение определение неизвестных коэффициентов cj через обобщенные коэффициенты Фурье из час и матричные элементы оператора О.

Роль спектральной теории заключается в установлении природы и существования основы и взаимной основы. В частности, базис может состоять из собственных функций некоторого линейного оператора L:

с {λя } собственные значения L из спектра L. Тогда разрешение тождества выше дает расширение диады L:

Оператор резольвента

Основная статья: Резольвентный формализм
Смотрите также: Функция Грина и Дельта-функция Дирака

Используя спектральную теорию, резольвентный оператор р:

можно оценить с помощью собственных функций и собственных значений L, а функция Грина, соответствующая L можно найти.

Применение р к некоторой произвольной функции в пространстве, скажем ,

Эта функция имеет полюса в комплексе λ-плоскость в каждом собственном значении L. Таким образом, используя исчисление остатков:

где линейный интеграл над контуром C который включает в себя все собственные значения L.

Предположим, что наши функции определены над некоторыми координатами {Иксj}, то есть:

Вводя обозначения

куда δ (х - у) = δ (х1 - у1, Икс2 - у2, Икс3 - у3, ...) это Дельта-функция Дирака,[24]мы можем написать

Потом:

Функция G (х, у; λ) определяется:

называется Функция Грина для оператора L, и удовлетворяет:[25]

Операторные уравнения

Смотрите также: Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и Интегральное уравнение

Рассмотрим операторное уравнение:

по координатам:

Частный случай λ = 0.

Функция Грина из предыдущего раздела:

и удовлетворяет:

Используя это свойство функции Грина:

Затем, умножая обе части этого уравнения на час(z) и интегрируя:

что предполагает решение:

То есть функция ψ(Икс), удовлетворяющая операторному уравнению, находится, если можно найти спектр О, и построить грамм, например, используя:

Есть много других способов найти грамм, конечно.[26] См. Статьи на Функции Грина и дальше Интегральные уравнения Фредгольма. Следует иметь в виду, что приведенная выше математика является чисто формальной, и ее строгий подход включает в себя довольно сложную математику, в том числе хорошее базовое знание функциональный анализ, Гильбертовы пространства, распределения и так далее. Обратитесь к этим статьям и ссылкам для получения более подробной информации.

Спектральная теорема и фактор Рэлея

Проблемы оптимизации могут быть наиболее полезными примерами комбинаторного значения собственных значений и собственных векторов в симметричных матрицах, особенно для Фактор Рэлея относительно матрицы M.

Теорема Позволять M - симметричная матрица и пусть Икс ненулевой вектор, который максимизирует Фактор Рэлея относительно M. Потом, Икс является собственным вектором M с собственным значением, равным Фактор Рэлея. Более того, это собственное значение является наибольшим собственным значениемM.

Доказательство Предположим спектральную теорему. Пусть собственные значения M быть . Поскольку {} для мужчин ортонормированный базис, любой вектор x может быть выражен в этом основа в качестве

Доказать эту формулу довольно просто. А именно,

оценить Фактор Рэлея относительно x:

где мы использовали Личность Парсеваля в последней строке. В итоге получаем, что

Итак Фактор Рэлея всегда меньше чем .[27]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Жан Александр Дьедонне (1981). История функционального анализа. Эльзевир. ISBN  0-444-86148-3.
  2. ^ Уильям Арвесон (2002). «Глава 1: спектральная теория и банаховы алгебры». Краткий курс спектральной теории. Springer. ISBN  0-387-95300-0.
  3. ^ Виктор Антонович Садовничий (1991). «Глава 4: Геометрия гильбертова пространства: спектральная теория операторов». Теория операторов. Springer. п. 181 и далее. ISBN  0-306-11028-8.
  4. ^ Стин, Линн Артур. «Основные моменты истории спектральной теории» (PDF). Колледж Святого Олафа. Колледж Святого Олафа. Архивировано из оригинал (PDF) 4 марта 2016 г.. Получено 14 декабря 2015.
  5. ^ Джон фон Нейман (1996). Математические основы квантовой механики; Том 2 в Принстоне Ориентиры по математике серии (Перепечатка перевода оригинала изд. 1932 г.). Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02893-1.
  6. ^ Э. Брайан Дэвис, цитируется на сайте аналитической группы Королевского колледжа Лондона «Исследования в группе анализа».
  7. ^ Николас Янг (1988). Введение в гильбертово пространство. Издательство Кембриджского университета. п. 3. ISBN  0-521-33717-8.
  8. ^ Жан-Люк Дорье (2000). Об обучении линейной алгебре; Vol. 23 из Библиотека математического образования. Springer. ISBN  0-7923-6539-9.
  9. ^ Ср. Спектры в математике и физике В архиве 2011-07-27 на Wayback Machine Джин Мавин, стр. 4 и стр. 10-11.
  10. ^ Эдгар Раймонд Лорч (2003). Спектральная теория (Перепечатка Oxford 1962 ed.). Издатели учебников. п. 89. ISBN  0-7581-7156-0.
  11. ^ Николас Янг (1988-07-21). op. cit. п. 81. ISBN  0-521-33717-8.
  12. ^ Гельмут Х. Шефер, Манфред П. Х. Вольф (1999). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Springer. п. 36. ISBN  0-387-98726-6.
  13. ^ Дмитрий Петрович Желобенко (2006). Основные структуры и методы теории представлений. Американское математическое общество. ISBN  0821837311.
  14. ^ а б Эдгар Раймонд Лорч (2003). «Глава III: Гильбертово пространство». op. соч.. п. 57. ISBN  0-7581-7156-0.
  15. ^ Эдгар Раймонд Лорч (2003). «Глава V: Структура самосопряженных преобразований». op. соч.. п. 106 ff. ISBN  0-7581-7156-0.
  16. ^ Бернард Фридман (1990). Принципы и методы прикладной математики (Перепечатка изд. Wiley 1956 г.). Dover Publications. п. 26. ISBN  0-486-66444-9.
  17. ^ П. А. Дирак (1981). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 29 ff. ISBN  0-19-852011-5.
  18. ^ Юрген Аудретч (2007). «Глава 1.1.2: Линейные операторы в гильбертовом пространстве». Запутанные системы: новые направления в квантовой физике. Wiley-VCH. п. 5. ISBN  978-3-527-40684-5.
  19. ^ Р. А. Хоуленд (2006). Промежуточная динамика: линейно-алгебраический подход (2-е изд.). Birkhäuser. п. 69 ff. ISBN  0-387-28059-6.
  20. ^ Бернард Фридман (1990). «Глава 2: Спектральная теория операторов». op. cit. п. 57. ISBN  0-486-66444-9.
  21. ^ а б См. Обсуждение в книге Дирака, упомянутой выше, и Милан Вуичич (2008). Линейная алгебра подробно объяснена. Springer. п. 274. ISBN  978-3-540-74637-9.
  22. ^ а б См., Например, основной текст Джон фон Нейман (1955). op. cit. ISBN  0-691-02893-1. и Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). Теория линейных операторов в технике и науке; Vol. 40 из Прикладная математическая наука. Springer. п. 401. ISBN  0-387-95001-X., Стивен Роман (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Springer. ISBN  978-0-387-72828-5., Югрий Макарович Березанский (1968). Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов; Vol. 17 дюйм Переводы математических монографий. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1567-9.
  23. ^ См. Например, Джеральд Б. Фолланд (2009). «Сходимость и полнота». Фурье-анализ и его приложения (Перепечатка Wadsworth & Brooks / Cole 1992 ed.). Американское математическое общество. стр.77 ff. ISBN  978-0-8218-4790-9.
  24. ^ П. А. Дирак (1981). op. cit. п. 60 ff. ISBN  0-19-852011-5.
  25. ^ Бернард Фридман (1956). op. cit. п. 214, уравнение. 2.14. ISBN  0-486-66444-9.
  26. ^ Например, см. Садри Хассани (1999). «Глава 20: Функции Грина в одном измерении». Математическая физика: современное введение в ее основы. Springer. п. 553 и далее. ISBN  0-387-98579-4. и Цин-Хуа Цинь (2007). Функция Грина и граничные элементы многополевых материалов. Эльзевир. ISBN  978-0-08-045134-3.
  27. ^ Спилман, Дэниел А. "Лекционные заметки по теории спектральных графов" Йельского университета (2012) http://cs.yale.edu/homes/spielman/561/ .

Рекомендации

внешняя ссылка