Теорема короны - Corona theorem

В математика, то теорема о короне результат о спектр из ограниченный голоморфные функции на открыть единичный диск, предположил Какутани (1941) и доказано Леннарт Карлесон  (1962 ).

Коммутативный Банахова алгебра и Харди космос ЧАС^∞ состоит из ограниченного голоморфные функции на открыть единичный диск D. это спектр S (закрытый максимальные идеалы ) содержит D как открытое подпространство, потому что для каждого z в D Существует максимальный идеал состоящий из функций ж с

ж(z) = 0.

Подпространство D не может составить весь спектр S, по сути, потому что спектр компактное пространство и D не является. Дополнение закрытия D в S был назван корона к Ньюман (1959), а теорема о короне утверждает, что корона пуста, или, другими словами, открытый единичный диск D плотно в спектре. Более простая формулировка состоит в том, что элементы ж₁,...,ж_п генерировать единичный идеал ЧАС^∞ тогда и только тогда, когда существует такое δ> 0, что

${displaystyle | f_ {1} | + cdots + | f_ {n} | geq delta}$ везде в единице шара.

Ньюман показал, что теорема о короне может быть сведена к задаче интерполяции, что затем было доказано Карлесоном.

В 1979 г. Томас Вольф дал упрощенное (но не опубликованное) доказательство теоремы о короне, описанное в (Косис 1980 ) и (Гамелен 1980 ).

Позже Коул показал, что этот результат нельзя распространить на все открытые римановы поверхности (Гамлен 1978 ).

Как побочный продукт работы Карлесона, Мера Карлесона было изобретено, что само по себе является очень полезным инструментом в современной теории функций. Остается открытым вопрос, существуют ли версии теоремы о короне для каждой плоской области или для многомерных областей.

Заметим, что если предположить непрерывность до границы в теореме Короны, то вывод легко следует из теории коммутативной банаховой алгебры (Рудин 1991 ).

Смотрите также

• Набор короны

использованная литература

• Карлесон, Леннарт (1962), "Интерполяция ограниченными аналитическими функциями и проблема короны", Анналы математики, 76 (3): 547–559, Дои:10.2307/1970375, JSTOR  1970375, Г-Н  0141789, Zbl  0112.29702
• Гамелин, Т. В. (1978), Равномерные алгебры и меры Йенсена., Серия лекций Лондонского математического общества, 32, Кембридж-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, стр. iii + 162, ISBN  978-0-521-22280-8, Г-Н  0521440, Zbl  0418.46042
• Гамелен, Т. В. (1980), "Доказательство Вольфа теоремы о короне", Израильский математический журнал, 37 (1–2): 113–119, Дои:10.1007 / BF02762872, Г-Н  0599306, Zbl  0466.46050
• Какутани, Шизуо (1941). «Конкретное представление абстрактных (M) -пространств. (Характеризация пространства непрерывных функций.)». Анна. математики. Серия 2. 42 (4): 994–1024. Дои:10.2307/1968778. HDL:10338.dmlcz / 100940. JSTOR  1968778. Г-Н  0005778.
• Кусис, Пол (1980), Введение в H^п-пространства. С приложением к доказательству Вольфом теоремы о короне, Серия лекций Лондонского математического общества, 40, Кембридж-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, стр. xv + 376, ISBN  0-521-23159-0, Г-Н  0565451, Zbl  0435.30001
• Ньюман, Д. Дж. (1959), "Некоторые замечания о максимальной идеальной структуре H^∞", Анналы математики, 70 (2): 438–445, Дои:10.2307/1970324, JSTOR  1970324, Г-Н  0106290, Zbl  0092.11802
• Рудин, Вальтер (1991), Функциональный анализ, п. 279.
• Шарк, И. Дж. (1961), «Максимальные идеалы в алгебре ограниченных аналитических функций», Журнал математики и механики, 10: 735–746, Г-Н  0125442, Zbl  0139.30402.