Свойство приближения - Approximation property

Построение банахова пространства без полученного свойства аппроксимации Пер Энфло живого гуся в 1972 году, обещанного Станислав Мазур (слева) в 1936 году.^[1]

В математика в частности функциональный анализ, а Банахово пространство говорят, что имеет свойство аппроксимации (AP), если каждые компактный оператор это предел операторы конечного ранга. Обратное всегда верно.

Каждые Гильбертово пространство имеет это свойство. Однако есть Банаховы пространства которых нет; Пер Энфло опубликовал первый контрпример в статье 1973 года. Однако большая работа в этой области была проделана Гротендик (1955).

Позже было найдено много других контрпримеров. Пространство ограниченные операторы на ${ displaystyle ell ^ {2}}$ не обладает свойством аппроксимации (Шанковский ). Пространства ${ displaystyle ell ^ {p}}$ для ${ displaystyle p neq 2}$ и ${ displaystyle c_ {0}}$ (увидеть Пространство последовательности ) имеют замкнутые подпространства, не обладающие свойством аппроксимации.

Определение

А локально выпуклый топологическое векторное пространство Икс говорят, что имеет свойство аппроксимации, если тождественное отображение можно аппроксимировать, равномерно на предкомпактные наборы, непрерывными линейными отображениями конечного ранга.^[2]

Для локально выпуклого пространства Икс, следующие эквиваленты:^[2]

Икс обладает свойством аппроксимации;
закрытие ${ displaystyle X ^ { prime} otimes X}$ в ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, X)}$ содержит карту идентичности ${ displaystyle operatorname {Id}: от X до X}$ ;
${ displaystyle X ^ { prime} otimes X}$ плотно в ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, X)}$ ;
для каждого локально выпуклого пространства Y, ${ displaystyle X ^ { prime} otimes Y}$ плотно в ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$ ;
для каждого локально выпуклого пространства Y, ${ displaystyle Y ^ { prime} otimes X}$ плотно в ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (Y, X)}$ ;

где ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$ обозначает пространство непрерывных линейных операторов из Икс к Y наделенный топологией равномерной сходимости на предкомпактных подмножествах Икс.

Если Икс это Банахово пространство это требование становится для каждого компактный набор ${ Displaystyle K подмножество X}$ и каждый ${ displaystyle varepsilon> 0}$ , существует оператор ${ displaystyle T двоеточие X to X}$ конечного ранга, так что ${ Displaystyle | Tx-x | leq varepsilon}$ , для каждого ${ displaystyle x in K}$ .

Связанные определения

Изучаются некоторые другие вкусы AP:

Позволять ${ displaystyle X}$ - банахово пространство и пусть ${ Displaystyle 1 Leq лямбда < infty}$ . Мы говорим что Икс имеет ${ displaystyle lambda}$ свойство аппроксимации ( ${ displaystyle lambda}$ -AP), если для каждого компакта ${ Displaystyle K подмножество X}$ и каждый ${ displaystyle varepsilon> 0}$ , существует оператор ${ displaystyle T двоеточие X to X}$ конечного ранга, так что ${ Displaystyle | Tx-x | leq varepsilon}$ , для каждого ${ displaystyle x in K}$ , и ${ Displaystyle | Т | leq lambda}$ .

Говорят, что банахово пространство имеет свойство ограниченной аппроксимации (BAP), если в нем ${ displaystyle lambda}$ -AP для некоторых ${ displaystyle lambda}$ .

Говорят, что банахово пространство имеет свойство метрической аппроксимации (КАРТА), если это 1-AP.

Говорят, что банахово пространство имеет свойство компактной аппроксимации (КЕПКА), если в определении AP оператор конечного ранга заменить на компактный оператор.

Примеры

Каждое подпространство произвольного произведения гильбертовых пространств обладает свойством аппроксимации.^[2] Особенно,
- каждое гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации.
- каждый проективный предел гильбертовых пространств, как и любое подпространство такого проективного предела, обладает свойством аппроксимации.^[2]
- каждый ядерное пространство обладает свойством аппроксимации.
Каждое отделимое пространство Фреше, содержащее базис Шаудера, обладает свойством аппроксимации.^[2]
Каждое пространство с Основа Шаудера имеет AP (мы можем использовать проекции, связанные с базой, как ${ displaystyle T}$ в определении), поэтому можно найти много мест с AP. Например, ${ displaystyle ell ^ {p}}$ пробелы, или симметричное пространство Цирельсона.

использованная литература

^ Меггинсон, Роберт Э. Введение в теорию банахова пространства п. 336
^ ^а ^б ^c ^d ^е Шефер и Вольф, 1999 г., п. 108-115.

Список используемой литературы

Бартл, Р. Г. (1977). "MR0402468 (53 # 6288) (Обзор работы Пера Энфло" Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах " Acta Mathematica 130 (1973), 309–317)". Математические обзоры. Г-Н 0402468.
Энфло, П.: Контрпример к свойству аппроксимации в банаховых пространствах. Acta Math. 130, 309–317(1973).
Гротендик, А.: Производит тензорные топологии и космические ядра. Памятка. Амер. Математика. Soc. 16 (1955).
Халмос, Пол Р. (1978). «Базы Шаудера». Американский математический ежемесячный журнал. 85 (4): 256–257. Дои:10.2307/2321165. JSTOR 2321165. Г-Н 0488901.
Пол Р. Халмос, "Прогресс в математике замедлился?" Амер. Математика. Ежемесячно 97 (1990), нет. 7, 561–588. Г-Н1066321
Уильям Б. Джонсон «Дополняемо универсальные сепарабельные банаховы пространства» в Роберт Дж. Бартл (ред.), 1980 Исследования по функциональному анализу, Математическая ассоциация Америки.
Квапень, С. "На примере Энфло банахова пространства без свойства аппроксимации". Séminaire Goulaouic – Schwartz 1972–1973: Équations aux dérivées partielles et analysis fonctionnelle, Exp. № 8, 9 стр. Центр математики, Политехническая школа, Париж, 1973. Г-Н407569
Линденштраус, Дж.; Цафрири, Л .: Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей, 1977.
Недевский, П .; Троянский, С. (1973). «П. Энфло решил отрицательную проблему Банаха о существовании базиса для всякого сепарабельного банахова пространства». Физ.-мат. Spis. Булгар. Акад. Наук. 16 (49): 134–138. Г-Н 0458132.
Пич, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xxiv + 855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. Г-Н 2300779.
Карен Сакс, Начало функционального анализа, Тексты для бакалавриата по математике, 2002 г., Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк.
Schaefer, Helmuth H .; Вольф, М. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 9780387987262.
Певец Иван. Базисы в банаховых пространствах. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Бухарест; Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1981. viii + 880 с.ISBN 3-540-10394-5. Г-Н610799

[1] Меггинсон, Роберт Э. Введение в теорию банахова пространства п. 336

[FOOTNOTESchaeferWolff1999108-115-2] а ^б ^c ^d ^е Шефер и Вольф, 1999 г., п. 108-115.

[1]

[2]

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки