Теория Штурма – Лиувилля - Sturm–Liouville theory

В математика и его приложения, классические Теория Штурма – Лиувилля теория действительных линейных обыкновенные дифференциальные уравнения формы:

${ Displaystyle (1) qquad qquad { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} ! ! left [, p (x) { frac { mathrm {d } y} { mathrm {d} x}} right] + q (x) y = - lambda , w (x) y,}$

для заданных коэффициентных функций п(Икс), q(Икс), и ш(Икс) > 0 и неизвестная функция у свободной переменной Икс. Функция ш(Икс), иногда обозначается р(Икс), называется масса или же плотность функция. К этому виду можно привести все линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

В простейшем случае, когда все коэффициенты непрерывны на конечном отрезке [а,б] и п имеет непрерывную производную, функция у называется решение если он непрерывно дифференцируем на (а,б) и удовлетворяет уравнению (1) в каждой точке (а,б). (В случае более общего п(Икс), q(Икс), ш(Икс), решения должны быть поняты в слабое чувство.) Кроме того, у обычно требуется для удовлетворения некоторых граничные условия в а и б. Каждое такое уравнение (1) вместе со своими граничными условиями составляет Проблема Штурма-Лиувилля (S-L).

Значение λ не указан в уравнении: поиск λ для которого существует нетривиальный решение является частью данной проблемы S-L. Такие значения λ, когда они существуют, называются собственные значения задачи, а соответствующими решениями являются собственные функции связаны с каждым λ. Эта терминология объясняется тем, что решения соответствуют собственные значения и собственные функции из Эрмитский дифференциальный оператор в соответствующем функциональное пространство. Теория Штурма – Лиувилля изучает существование и асимптотическое поведение собственных значений, соответствующую качественную теорию собственных функций и их полнота в функциональном пространстве.

Эта теория важна в прикладной математике, где проблемы S-L возникают очень часто, особенно при работе с отделяемый линейный уравнения в частных производных. Например, в квантовая механика, одномерная не зависящая от времени Уравнение Шредингера является проблемой S-L.

Проблема Штурма-Лиувилля называется обычный если п(Икс), ш(Икс) > 0, и п(Икс), п′(Икс), q(Икс), ш(Икс) - непрерывные функции на конечном интервале [а,б], и проблема разделенные граничные условия формы:

${ Displaystyle (2) qquad qquad alpha _ {1} y (a) + alpha _ {2} y '(a) = 0 qquad qquad alpha _ {1} ^ {2} + альфа _ {2} ^ {2}> 0,}$

${ Displaystyle (3) qquad qquad beta _ {1} y (b) , + , beta _ {2} y '(b) = 0 qquad qquad beta _ {1} ^ { 2} + beta _ {2} ^ {2}> 0.}$

Основной результат теории Штурма – Лиувилля утверждает, что для регулярной задачи Штурма – Лиувилля (1),(2),(3):

• Собственные значения λ₁, λ₂, λ₃, ... реальны и могут быть пронумерованы так, чтобы

${ displaystyle lambda _ {1} < lambda _ {2} < lambda _ {3} < cdots < lambda _ {n} < cdots to infty;}$

• Соответствуя каждому собственному значению λ_п - единственная (с точностью до постоянного кратного) собственная функция у_п(Икс) с точно п−1 нули в (а,б), называется пth фундаментальное решение.
• Нормированные собственные функции образуют ортонормированный базис под w-взвешенный внутренний продукт в Гильбертово пространство ${ Displaystyle L ^ {2} ([a, b], w (x) , dx)}$. То есть:

${ displaystyle langle y_ {n}, y_ {m} rangle = int _ {a} ^ {b} y_ {n} (x) y_ {m} (x) w (x) , mathrm { d} x = delta _ {mn}, }$ куда δ_млн это Дельта Кронекера.

Теория названа в честь Жак Шарль Франсуа Штурм (1803–1855) и Джозеф Лиувиль (1809–1882).

Приведение к форме Штурма – Лиувилля.

Дифференциальное уравнение (1) говорят, что находится в Форма Штурма – Лиувилля или же самосопряженная форма. Все линейные второго порядка обыкновенные дифференциальные уравнения можно преобразовать в форму в левой части (1) умножив обе части уравнения на соответствующий интегрирующий фактор (хотя это не относится к второстепенным уравнения в частных производных, или если у это вектор ). Ниже приведены некоторые примеры.

Уравнение Бесселя

${ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ left (x ^ {2} - nu ^ {2} right) y = 0}$

который можно записать в форме Штурма – Лиувилля (сначала разделив на x, а затем свернув два члена слева в один член) как

${ displaystyle left (xy ' right)' + left (x - { frac { nu ^ {2}} {x}} right) y = 0.}$

Уравнение Лежандра

${ displaystyle left (1-x ^ {2} right) y '' - 2xy '+ nu ( nu +1) y = 0}$

которое легко переписывается в форму Штурма – Лиувилля, поскольку d/dИкс(1 − Икс²) = −2Икс, поэтому уравнение Лежандра эквивалентно

${ displaystyle left ( left (1-x ^ {2} right) y ' right)' + nu ( nu +1) y = 0}$

Уравнение системы двух тел

${ displaystyle left (Ly ' right)' + Ly = { frac {1} {L}}}$

Уравнение системы двух тел описывает эволюцию системы двух тел под действием крутящего момента. Форма уравнения Штурма-Лиувилля помогает понять спектральный состав системы двух тел. ^[1]

Пример использования интегрирующего фактора

${ displaystyle x ^ {3} y '' - xy '+ 2y = 0}$

Разделить на Икс³:

${ displaystyle y '' - { frac {1} {x ^ {2}}} y '+ { frac {2} {x ^ {3}}} y = 0}$

Умножая на интегрирующий фактор из

${ displaystyle mu (x) = exp left ( int - { frac {1} {x ^ {2}}} , mathrm {d} x right) = e ^ { frac {1 }{Икс}},}$

дает

${ displaystyle e ^ { frac {1} {x}} y '' - { frac {e ^ { frac {1} {x}}} {x ^ {2}}} y '+ { frac {2e ^ { frac {1} {x}}} {x ^ {3}}} y = 0}$

который легко переходит в форму Штурма – Лиувилля, поскольку

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} e ^ { frac {1} {x}} = - { frac {e ^ { frac {1} {x }}} {х ^ {2}}}}$

так что дифференциальное уравнение эквивалентно

${ displaystyle left (e ^ { frac {1} {x}} y ' right)' + { frac {2e ^ { frac {1} {x}}} {x ^ {3}}} у = 0.}$

Интегрирующий множитель для общего уравнения второго порядка

${ Displaystyle P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = 0}$

Умножение на интегрирующий коэффициент

${ displaystyle mu (x) = { frac {1} {P (x)}} exp left ( int { frac {Q (x)} {P (x)}} , mathrm { d} x right),}$

а затем сбор дает форму Штурма – Лиувилля:

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { bigl (} mu (x) P (x) y '{ bigr)} + ​​ mu (x) R (x) y = 0,}$

или явно:

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} left ( exp left ( int { frac {Q (x)} {P (x)}} , mathrm {d} x right) y ' right) + { frac {R (x)} {P (x)}} exp left ( int { frac {Q (x)} {P ( x)}} , mathrm {d} x right) y = 0.}$

Уравнения Штурма – Лиувилля как самосопряженные дифференциальные операторы

Отображение определяется:

${ displaystyle Lu = - { frac {1} {w (x)}} left ({ frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} left [p (x) , { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} x}} right] + q (x) u right)}$

можно рассматривать как линейный оператор L отображение функции ты к другой функции Лу, и его можно изучать в контексте функциональный анализ. Фактически, уравнение (1) можно записать как

${ displaystyle Lu = lambda u.}$

Это как раз то собственное значение проблема; то есть ищут собственные значения λ₁, λ₂, λ₃,... и соответствующие собственные векторы ты₁, ты₂, ты₃,... из L оператор. Правильная установка для этой проблемы - Гильбертово пространство ${ Displaystyle L ^ {2} ([a, b], w (x) , dx)}$ со скалярным произведением

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {a} ^ {b} { overline {f (x)}} g (x) w (x) , mathrm {d} x.}$

В этом пространстве L определена на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих указанным выше регулярным граничным условиям. Более того, L это самосопряженный оператор:

${ displaystyle langle Lf, g rangle = langle f, Lg rangle.}$

Формально это можно увидеть, используя интеграция по частям дважды, где граничные члены исчезают в силу граничных условий. Отсюда следует, что собственные значения оператора Штурма – Лиувилля вещественны и что собственные функции оператора L соответствующие различным собственным значениям ортогональны. Однако этот оператор неограниченный следовательно, существование ортонормированного базиса собственных функций не очевидно. Чтобы решить эту проблему, нужно взглянуть на противовоспалительное средство

${ Displaystyle влево (L-Z вправо) ^ {- 1}, qquad г в mathbb {C},}$

куда z выбрано некоторое действительное число, которое не является собственным значением. Тогда вычисление резольвенты сводится к решению неоднородного уравнения, которое может быть выполнено с помощью вариация параметров формула. Это показывает, что резольвента интегральный оператор с непрерывным симметричным ядром ( Функция Грина проблемы). Как следствие Теорема Арцела – Асколи, этот интегральный оператор компактен и существует последовательность собственных значений α_п которые сходятся к 0, а собственные функции, образующие ортонормированный базис, следует из спектральная теорема для компактных операторов. Наконец, обратите внимание, что

${ Displaystyle влево (L-Z вправо) ^ {- 1} и = альфа и, qquad Lu = влево (г + альфа ^ {- 1} вправо) и,}$

эквивалентны, поэтому мы можем взять ${ Displaystyle лямбда = г + альфа ^ {- 1}}$ с такими же собственными функциями.

Если интервал неограничен или коэффициенты имеют особенности в граничных точках, вызывается L единственное число. В этом случае спектр больше не состоит из одних только собственных значений и может содержать непрерывную составляющую. По-прежнему существует соответствующее разложение по собственным функциям (аналогично ряду Фурье по сравнению с преобразованием Фурье). Это важно в квантовая механика, поскольку одномерная не зависящая от времени Уравнение Шредингера является частным случаем уравнения S-L.

Приложение к неоднородным краевым задачам второго порядка

Рассмотрим общее неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

${ Displaystyle P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = f}$

для заданных функций ${ Displaystyle P (x), Q (x), R (x), f (x)}$. Как и прежде, это можно свести к S-L форме ${ displaystyle Ly = f}$: запись общего оператора S-L как:

${ displaystyle Lu = { frac {p} {w (x)}} u '' + { frac {p '} {w (x)}} u' + { frac {q} {w (x) }} u,}$

один решает систему:

${ displaystyle p = Pw, quad p '= Qw, quad q = Rw.}$

Достаточно решить первые два уравнения, что сводится к решению (Pw)′ = Qw, или же

${ displaystyle w '= { frac {Q-P'} {P}} w: = alpha w.}$

Решение:

${ displaystyle w = exp left ( int alpha , mathrm {d} x right), quad p = P exp left ( int alpha , mathrm {d} x right ), quad q = R exp left ( int alpha , mathrm {d} x right).}$

Учитывая это преобразование, остается решить:

${ displaystyle Ly = f.}$

В общем, если в какой-то момент указаны начальные условия, например у(а) = 0 и у′(а) = 0, дифференциальное уравнение второго порядка может быть решено обычными методами и Теорема Пикара – Линделёфа гарантирует, что дифференциальное уравнение имеет единственное решение в окрестности точки, в которой заданы начальные условия.

Но если вместо указания начальных значений в единственная точка, желательно указать значения в два разные точки (так называемые граничные значения), например у(а) = 0 и у(б) = 1, проблема оказывается намного сложнее. Обратите внимание, что добавляя подходящую известную дифференцируемую функцию к у, значения которого при а и б удовлетворяют желаемым граничным условиям, и вводя внутрь предлагаемого дифференциального уравнения, можно без ограничения общности предположить, что граничные условия имеют вид у(а) = 0 и у(б) = 0.

Здесь в игру вступает теория Штурма – Лиувилля: действительно, большой класс функций ж можно разложить по ряду ортонормированных собственных функций ты_я ассоциированного оператора Лиувилля с соответствующими собственными значениями λ_я:

${ displaystyle f (x) = sum _ {i} alpha _ {i} u_ {i} (x), quad alpha _ {i} in { mathbb {R}}.}$

Тогда решение предложенного уравнения очевидно:

${ displaystyle y = sum _ {i} { frac { alpha _ {i}} { lambda _ {i}}} u_ {i}.}$

Это решение будет действовать только в открытом интервале. а < Икс < б, и может выйти из строя на границах.

Пример: ряд Фурье

Рассмотрим проблему Штурма – Лиувилля:

${ displaystyle (4) qquad qquad Lu = - { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} x ^ {2}}} = lambda u}$

для неизвестных λ и ты(Икс). В качестве граничных условий возьмем, например:

${ Displaystyle и (0) = и ( пи) = 0.}$

Обратите внимание, что если k - любое целое число, то функция

${ Displaystyle и_ {к} (х) = грех kx}$

решение с собственным значением λ = k². Мы знаем, что решения проблемы S-L образуют ортогональный базис, и мы знаем из Ряд Фурье что этот набор синусоидальных функций является ортогональным базисом. Поскольку ортогональные базисы всегда максимальны (по определению), мы заключаем, что задача S-L в этом случае не имеет других собственных векторов.

Учитывая сказанное выше, решим неоднородную задачу

${ Displaystyle Ly = х, qquad х in (0, pi)}$

с такими же граничными условиями ${ Displaystyle у (0) = у ( пи) = 0}$. В этом случае мы должны расширить ж (Икс) = Икс как ряд Фурье. Читатель может проверить, интегрировав ∫ е^ikxИкс dИкс или обратившись к таблице преобразований Фурье, мы таким образом получаем

${ displaystyle Ly = sum _ {k = 1} ^ { infty} -2 { frac { left (-1 right) ^ {k}} {k}} sin kx.}$

Этот конкретный ряд Фурье вызывает затруднения из-за его плохой сходимости. Не ясно априори сходится ли ряд поточечно. Из-за анализа Фурье, поскольку коэффициенты Фурье равнысуммируемый по квадрату ", ряд Фурье сходится L² а это все, что нам нужно для функционирования этой конкретной теории. Отметим для заинтересованного читателя, что в этом случае мы можем полагаться на результат, который гласит, что ряды Фурье сходятся в каждой точке дифференцируемости и в точках скачка (функция Икс, рассматриваемая как периодическая функция, имеет скачок приπ) сходится к среднему от левого и правого пределов (см. сходимость ряда Фурье ).

Следовательно, используя формулу (4), получаем решение:

${ displaystyle y = sum _ {k = 1} ^ { infty} 2 { frac {(-1) ^ {k}} {k ^ {3}}} sin kx = { tfrac {1} {6}} (x ^ {3} - pi ^ {2} x).}$

В этом случае мы могли бы найти ответ, используя антидифференцировка, но это больше не полезно в большинстве случаев, когда дифференциальное уравнение состоит из многих переменных.

Приложение к уравнениям в частных производных

Нормальные режимы

Определенный уравнения в частных производных можно решить с помощью теории S-L. Предположим, нас интересует колебательные режимы тонкой мембраны, заключенной в прямоугольную рамку, 0 ≤ Икс ≤ L₁, 0 ≤ у ≤ L₂. Уравнение движения для вертикального смещения мембраны, W(Икс,у,т) дается волновое уравнение:

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} W} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} W} { partial y ^ {2}}} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} W} { partial t ^ {2}}}.}$

Методика разделение переменных предлагает сначала поискать решения простой формы W = Икс(Икс) × Y(у) × Т(т). Для такой функции W уравнение в частных производных становится Икс″/Икс + Y″/Y = 1/c² Т″/Т. Поскольку три члена этого уравнения являются функциями Икс, у, т по отдельности они должны быть постоянными. Например, первый член дает Икс″ = λX для постоянногоλ. Граничные условия («удерживаются в прямоугольной рамке»): W = 0 когда Икс = 0, L₁ или же у = 0, L₂ и определим простейшие возможные проблемы на собственные значения S-L, как в примере, давая "решения для нормального режима" для W с гармонической зависимостью от времени,

${ Displaystyle W_ {mn} (x, y, t) = A_ {mn} sin left ({ frac {m pi x} {L_ {1}}} right) sin left ({ frac {n pi y} {L_ {2}}} right) cos left ( omega _ {mn} t right)}$

куда м и п ненулевые целые числа, А_млн - произвольные постоянные, а

${ displaystyle omega _ {mn} ^ {2} = c ^ {2} left ({ frac {m ^ {2} pi ^ {2}} {L_ {1} ^ {2}}} + { frac {n ^ {2} pi ^ {2}} {L_ {2} ^ {2}}} right).}$

Функции W_млн составляют основу Гильбертово пространство (обобщенных) решений волнового уравнения; то есть произвольное решение W можно разложить на сумму этих мод, которые колеблются на своих индивидуальных частотах ω_млн. Это представление может потребовать сходящийся бесконечная сумма.

Линейное уравнение второго порядка

Для линейного второго порядка в одном пространственном измерении и первого порядка по времени формы:

${ Displaystyle е (х) { гидроразрыва { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + g (x) { frac { partial u} { partial x}} + ч (x) u = { frac { partial u} { partial t}} + k (t) u,}$

${ displaystyle u (a, t) = u (b, t) = 0, qquad u (x, 0) = s (x).}$

Разделяя переменные, мы предполагаем, что

${ displaystyle u (x, t) = X (x) T (t).}$

Тогда наше вышеупомянутое уравнение в частных производных может быть записано как:

${ displaystyle { frac {{ hat {L}} X (x)} {X (x)}} = { frac {{ hat {M}} T (t)} {T (t)}} }$

куда

${ Displaystyle { шляпа {L}} = е (х) { гидроразрыва { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} + g (x) { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} + h (x), qquad { hat {M}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} } + k (t).}$

Поскольку по определению L̂ и Икс(Икс) не зависят от времени т и M̂ и Т(т) не зависят от позиции Икс, то обе части приведенного выше уравнения должны быть равны константе:

${ Displaystyle { шляпа {L}} Икс (х) = лямбда Х (х), qquad X (a) = X (b) = 0, qquad { hat {M}} T (t) = lambda T (t).}$

Первое из этих уравнений необходимо решить как задачу Штурма – Лиувилля в терминах собственных функций Икс_п(Икс) и собственные значения λ_п. Второе из этих уравнений может быть решено аналитически, если известны собственные значения.

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} T_ {n} (t) = { bigl (} lambda _ {n} -k (t) { bigr) } T_ {n} (t)}$

${ displaystyle T_ {n} (t) = a_ {n} exp left ( lambda _ {n} t- int _ {0} ^ {t} k ( tau) , mathrm {d} тау право)}$

${ displaystyle u (x, t) = sum _ {n} a_ {n} X_ {n} (x) exp left ( lambda _ {n} t- int _ {0} ^ {t} к ( тау) , mathrm {д} тау право)}$

${ displaystyle a_ {n} = { frac {{ bigl langle} X_ {n} (x), s (x) { bigr rangle}} {{ bigl langle} X_ {n} (x ), X_ {n} (x) { bigr rangle}}}}$

куда

${ Displaystyle { bigl langle} y (x), z (x) { bigr rangle} = int _ {a} ^ {b} y (x) z (x) w (x) , mathrm {d} x,}$

${ displaystyle w (x) = { frac { exp left ( int { frac {g (x)} {f (x)}} , mathrm {d} x right)} {f ( Икс)}}.}$

Представление решений и численный расчет

Дифференциальное уравнение Штурма – Лиувилля. (1) с граничными условиями могут быть решены аналитически, что может быть точным или приближенным, с помощью Метод Рэлея – Ритца, или матрично-вариационный метод Gerck et al.^[2][3][4]

В числовом отношении также доступны различные методы. В трудных случаях может потребоваться выполнить промежуточные вычисления с точностью до нескольких сотен десятичных знаков, чтобы правильно получить собственные значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

1. Методы стрельбы.^[5][6] Эти методы основываются на угадывании значения λ, решая начальную задачу, определяемую граничными условиями в одной конечной точке, скажем, а, интервала [а,б], сравнивая значение, которое это решение принимает в другой конечной точке б с другим желаемым граничным условием и, наконец, увеличивая или уменьшая λ при необходимости исправить исходное значение. Эта стратегия не применима для поиска сложных собственных значений.^{[требуется разъяснение ]}
2. Метод конечных разностей.
3. Метод спектральных параметров мощностей (SPPS)^[7] использует обобщение следующего факта об обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка: если у решение, которое не обращается в нуль в любой точке [а,б], то функция

${ displaystyle y (x) int _ {a} ^ {x} { frac { mathrm {d} t} {p (t) y (t) ^ {2}}}}$

является решением того же уравнения и линейно не зависит от у. Кроме того, все решения являются линейными комбинациями этих двух решений. В алгоритме SPPS нужно начинать с произвольного значения λ^∗
₀ (довольно часто λ^∗
₀ = 0; это не обязательно должно быть собственное значение) и любое решение у₀ из (1) с λ = λ^∗
₀ который не исчезает на [а,б]. (Обсуждение ниже способов найти подходящий у₀ и λ^∗
₀.) Две последовательности функций Икс^(п)(т), ИКС^(п)(т) на [а,б], именуемой повторные интегралы, рекурсивно определяются следующим образом. Сначала, когда п = 0, они полагаются тождественно равными 1 на [а,б]. Для получения следующих функций их поочередно умножают на 1/ру²
₀ и wy²
₀ и интегрирован, в частности, для п > 0: ${ displaystyle (5) qquad qquad X ^ {(n)} (t) = { begin {cases} displaystyle - int _ {a} ^ {x} X ^ {(n-1)} ( т) п (т) ^ {- 1} y_ {0} (т) ^ {- 2} , mathrm {d} t & n { text {odd}}, [6pt] displaystyle quad int _ {a} ^ {x} X ^ {(n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) , mathrm {d} t & n { text {even}} end {case}}}$

${ displaystyle (6) qquad qquad { tilde {X}} ^ {(n)} (t) = { begin {cases} displaystyle quad int _ {a} ^ {x} { tilde {X}} ^ {(n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) , mathrm {d} t & n { text {odd}}, [6pt ] displaystyle - int _ {a} ^ {x} { tilde {X}} ^ {(n-1)} (t) p (t) ^ {- 1} y_ {0} (t) ^ { -2} , mathrm {d} t & n { text {даже.}} End {case}}}$

Полученные повторные интегралы теперь применяются как коэффициенты в следующих двух степенных рядах вλ:

${ displaystyle u_ {0} = y_ {0} sum _ {k = 0} ^ { infty} left ( lambda - lambda _ {0} ^ {*} right) ^ {k} { тильда {X}} ^ {(2k)},}$

${ displaystyle u_ {1} = y_ {0} sum _ {k = 0} ^ { infty} left ( lambda - lambda _ {0} ^ {*} right) ^ {k} X ^ {(2k + 1)}.}$

Тогда для любого λ (реальный или сложный), ты₀ и ты₁ являются линейно независимыми решениями соответствующего уравнения (1). (Функции п(Икс) и q(Икс) принимают участие в этом строительстве через свое влияние на выбор у₀.)

Далее выбираются коэффициенты c₀ и c₁ так что комбинация у = c₀ты₀ + c₁ты₁ удовлетворяет первому граничному условию (2). Это просто сделать, так как Икс^(п)(а) = 0 и ИКС^(п)(а) = 0, за п > 0. Ценности Икс^(п)(б) и ИКС^(п)(б) предоставить значения ты₀(б) и ты₁(б) и производные ты′₀(б) и ты′₀(б), поэтому второе граничное условие (3) превращается в уравнение в степенном ряду поλ. Для численной работы можно усечь этот ряд до конечного числа членов, получив вычисляемый многочлен от λ корни которого являются приближениями искомых собственных значений.

Когда λ = λ₀, это сводится к описанной выше исходной конструкции для решения, линейно независимого от заданного. Представления ('5 ') и ('6 ') также имеют теоретические приложения в теории Штурма – Лиувилля.^[7]

Построение неисчезающего решения

Сам метод SPPS может быть использован для поиска стартового решения. у₀. Рассмотрим уравнение (ру′)′ = μqy; т.е. q, ш, и λ заменены в (1) на 0, −q, и μ соответственно. Тогда постоянная функция 1 является ненулевым решением, соответствующим собственному значению μ₀ = 0. Пока нет гарантии, что ты₀ или же ты₁ не исчезнет, ​​комплексная функция у₀ = ты₀ + iu₁ никогда не обращается в нуль, потому что два линейно независимых решения регулярного уравнения S-L не могут исчезнуть одновременно из-за Теорема об отделимости Штурма. Этот трюк дает решение у₀ из (1) для значения λ₀ = 0. На практике, если (1) имеет действительные коэффициенты, решения на основе у₀ будут иметь очень маленькие мнимые части, от которых нужно отказаться.

Смотрите также

• Нормальный режим
• Теория колебаний
• Самосопряженный
• Вариация параметров
• Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
• Теорема Аткинсона – Мингарелли

Рекомендации

дальнейшее чтение

• "Теория Штурма – Лиувилля", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хартман, Филип (2002). Обыкновенные дифференциальные уравнения. (2-е изд.). Филадельфия: СИАМ. ISBN  978-0-89871-510-1.
• Полянин, А. Д., Зайцев, В. Ф. (2003). Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN  1-58488-297-2.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0. (Глава 5)
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4660-5. (см. главу 9 для сингулярных операторов S-L и их связи с квантовой механикой)
• Зеттл, Антон (2005). Теория Штурма – Лиувилля.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3905-5.
• Биркгоф, Гарретт (1973). Справочник по классическому анализу. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN  0-674-82245-5. (См. Главу 8, часть B, где приведены отрывки из работ Штурма и Лиувилля и комментарии к ним.)
• Кравченко, Владислав (2020). Прямая и обратная задачи Штурма-Лиувилля: метод решения. Чам: Биркхойзер. ISBN  978-3-030-47848-3.