Собственная функция - Eigenfunction

Это решение проблема с вибрационным барабаном в любой момент времени является собственной функцией Оператор Лапласа на диске.

В математика, собственная функция из линейный оператор D определено на некоторых функциональное пространство любой ненулевой функция ж в том пространстве, которое под воздействием D, умножается только на некоторый коэффициент масштабирования, называемый собственное значение. В виде уравнения это условие можно записать как

{ displaystyle Df = lambda f}

для некоторых скаляр собственное значение λ.^[1]^[2]^[3] Решения этого уравнения также могут быть подвергнуты граничные условия которые ограничивают допустимые собственные значения и собственные функции.

Собственная функция - это тип собственный вектор.

Собственные функции

Вообще говоря, собственный вектор линейного оператора D определенная на некотором векторном пространстве, является ненулевым вектором в области определения D Что, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В частном случае, когда D определена на функциональном пространстве, собственные векторы называются собственные функции. То есть функция ж является собственной функцией D если он удовлетворяет уравнению

{ displaystyle Df = lambda f,}

(1)

где λ - скаляр.^[1]^[2]^[3] Решения уравнения (1) также может подчиняться граничным условиям. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничиваются, например, дискретным набором λ₁, λ₂, ... или к непрерывному набору в некотором диапазоне. Множество всех возможных собственных значений D иногда называют его спектр, которые могут быть дискретными, непрерывными или их комбинацией.^[1]

Каждое значение λ соответствует одной или нескольким собственным функциям. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется выродиться а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, является собственным значением степень вырождения или же геометрическая кратность.^[4]^[5]

Производный пример

Широко используемым классом линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, являются дифференциальные операторы в пространстве C^∞ бесконечно дифференцируемых вещественных или сложных функций действительного или комплексного аргумента t. Например, рассмотрим производный оператор ${ displaystyle { tfrac {d} {dt}}}$ с уравнением на собственные значения

{ displaystyle { frac {d} {dt}} f (t) = lambda f (t).}

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на ${ Displaystyle { tfrac {dt} {е (т)}}}$ и интеграция. Его решение, экспоненциальная функция

{ Displaystyle е (т) = е_ {0} е ^ { лямбда т},}

- собственная функция оператора производной, где ж₀ - параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама является функцией связанного с ней собственного значения λ, которое может принимать любое действительное или комплексное значение. В частности, отметим, что при λ = 0 собственная функция ж(т) - постоянная.

Предположим в примере, что ж(т) подчиняется граничным условиям ж(0) = 1 и ${ displaystyle { tfrac {df} {dt}} | _ {t = 0}}$ = 2. Тогда находим, что

{ displaystyle f (t) = e ^ {2t},}

где λ = 2 - единственное собственное значение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничному условию.

Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц

Собственные функции могут быть выражены как векторы-столбцы, а линейные операторы могут быть выражены как матрицы, хотя они могут иметь бесконечные размеры. В результате многие концепции, связанные с собственными векторами матриц, переносятся на изучение собственных функций.

Определить внутренний продукт в функциональном пространстве, на котором D определяется как

{ displaystyle langle f, g rangle = int _ { Omega} f ^ {*} (t) g (t) dt,}

интегрированы в некотором диапазоне интересов для т называется Ω. В * обозначает комплексно сопряженный.

Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис задается набором функций {ты₁(т), ты₂(т), ..., ты_п(т)}, куда п может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса

{ displaystyle langle u_ {i}, u_ {j} rangle = int _ { Omega} u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t) dt = delta _ {ij } = { begin {cases} 1 & i = j 0 & i neq j end {cases}},}

где δ_ij это Дельта Кронекера и могут рассматриваться как элементы единичная матрица.

Функции могут быть записаны как линейная комбинация базисных функций,

{ Displaystyle е (т) = сумма _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} u_ {j} (t),}

например через Разложение Фурье из ж(т). Коэффициенты б_j можно сложить в п на 1 вектор-столбец б = [б₁ б₂ ... б_п]^Т. В некоторых особых случаях, таких как коэффициенты ряда Фурье синусоидальной функции, этот вектор-столбец имеет конечную размерность.

Кроме того, определите матричное представление линейного оператора D с элементами

{ displaystyle A_ {ij} = langle u_ {i}, Du_ {j} rangle = int _ { Omega} u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt. }

Мы можем написать функцию Df (t) либо как линейная комбинация базисных функций, либо как D действуя на расширение ж(т),

{ displaystyle Df (t) = sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} u_ {j} (t) = sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} Du_ { j} (t).}

Взяв скалярное произведение каждой стороны этого уравнения с произвольной базисной функцией ты_я(т),

{ displaystyle { begin {align} sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} int _ { Omega} u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t ) dt & = sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} int _ { Omega} u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt, c_ {i} & = sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} A_ {ij}. end {align}}}

Это матричное умножение Ab = c записана в обозначениях суммирования и является матричным эквивалентом оператора D действуя на функцию ж(т), выраженные в ортонормированном базисе. Если ж(т) является собственной функцией D с собственным значением λ, то Ab = λб.

Собственные значения и собственные функции эрмитовых операторов

Многие из операторов, встречающихся в физике, являются Эрмитский. Предположим, что линейный оператор D действует на функциональном пространстве, которое является Гильбертово пространство с ортонормированным базисом, заданным набором функций {ты₁(т), ты₂(т), ..., ты_п(т)}, куда п может быть бесконечным. В этой основе оператор D имеет матричное представление А с элементами

{ displaystyle A_ {ij} = langle u_ {i}, Du_ {j} rangle = int _ { Omega} dt u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t). }

интегрированы в некотором диапазоне интересов для т обозначается Ω.

По аналогии с Эрмитовы матрицы, D является эрмитовым оператором, если А_ij = А_джи*, или же:^[6] ${ displaystyle { begin {align} langle u_ {i}, Du_ {j} rangle & = langle Du_ {i}, u_ {j} rangle, int _ { Omega} dt u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) & = int _ { Omega} dt u_ {j} (t) [Du_ {i} (t)] ^ {*}. конец {выровнен}}}$

Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ₁, λ₂, ... и соответствующие собственные функции ж₁(т), ж₂(т), .... Этот эрмитов оператор обладает следующими свойствами:

Его собственные значения действительны, λ_я = λ_я*^[4]^[6]
Его собственные функции подчиняются условию ортогональности: ${ displaystyle langle f_ {i}, f_ {j} rangle}$ = 0, если i ≠ j^[6]^[7]^[8]

Второе условие всегда выполняется для λ_я ≠ λ_j. Для вырожденных собственных функций с тем же собственным значением λ_я, всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное подпространство, связанное с λ_я, например, используя Процесс Грама-Шмидта.^[5] В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, задав скалярное произведение собственных функций равным либо дельте Кронекера, либо Дельта-функция Дирака, соответственно.^[8]^[9]

Для многих эрмитовых операторов, особенно Операторы Штурма-Лиувилля, третье свойство

Его собственные функции составляют основу функционального пространства, на котором определяется оператор^[5]

Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.

Приложения

Вибрирующие струны

Форма стоячей волны в закрепленной на ее границах струне является примером собственной функции дифференциального оператора. Допустимые собственные значения регулируются длиной струны и определяют частоту колебаний.

Позволять $час (Икс, т)$ обозначают поперечное смещение напряженной упругой хорды, например вибрирующие струны из струнный инструмент, в зависимости от положения $Икс$ по нитке и времени $т$ . Применение законов механики к бесконечно малый части строки, функция $час$ удовлетворяет уравнение в частных производных

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} h} { partial t ^ {2}}} = c ^ {2} { frac { partial ^ {2} h} { partial x ^ {2 }}},}

которая называется (одномерной) волновое уравнение. Здесь $c$ постоянная скорость, зависящая от натяжения и массы струны.

Эта проблема решается методом разделение переменных. Если предположить, что $час (Икс, т)$ может быть записано как произведение формы $Икс (Икс) Т (т)$ , мы можем составить пару обыкновенных дифференциальных уравнений:

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} X = - { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} X, qquad { frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} T = - omega ^ {2} T.}

Каждое из них представляет собой уравнение на собственные значения с собственными значениями ${ displaystyle - { tfrac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}}}$ и $- ω 2$ , соответственно. Для любых значений $ω$ и $c$ , уравнениям удовлетворяют функции

{ Displaystyle Икс (Икс) = грех влево ({ гидроразрыва { omega x} {c}} + varphi right), qquad T (t) = sin ( omega t + psi),}

где фазовые углы $φ$ и $ψ$ - произвольные действительные константы.

Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в $Икс = 0$ и $Икс = L$ , а именно $Икс (0) = Икс (L) = 0$ , и это $Т (0) = 0$ , мы ограничиваем собственные значения. Для этих граничных условий $грех (φ) = 0$ и $грех (ψ) = 0$ , поэтому фазовые углы $φ = ψ = 0$ , и

{ displaystyle sin left ({ frac { omega L} {c}} right) = 0.}

Это последнее граничное условие ограничивает $ω$ принять ценность $ω п = ncπ / L$ , куда $п$ любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида

{ displaystyle h (x, t) = sin left ({ frac {n pi x} {L}} right) sin ( omega _ {n} t).}

В примере со струнным инструментом частота $ω п$ это частота $п$ ^th гармонический, который называется $(п - 1)$ ^th обертон.

Уравнение Шредингера

В квантовая механика, то Уравнение Шредингера

{ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} Psi ( mathbf {r}, t) = H Psi ( mathbf {r}, t)}

с Гамильтонов оператор

{ Displaystyle H = - { гидроразрыва { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + V ( mathbf {r}, t)}

может быть решена разделением переменных, если гамильтониан не зависит явно от времени.^[10] В этом случае волновая функция $Ψ (р, т) = φ (р) Т (т)$ приводит к двум дифференциальным уравнениям,

{ Displaystyle H varphi ( mathbf {r}) = E varphi ( mathbf {r}),}

(2)

{ displaystyle i hbar { frac { partial T (t)} { partial t}} = ET (t).}

(3)

Оба этих дифференциальных уравнения являются уравнениями на собственные значения с собственным значением $E$ . Как показано в предыдущем примере, решение уравнения (3) - экспоненциальная

{ Displaystyle T (t) = e ^ { tfrac {-iEt} { hbar}}.}

Уравнение (2) - не зависящее от времени уравнение Шредингера. Собственные функции $φ k$ оператора Гамильтона равны стационарные состояния квантово-механической системы, каждая с соответствующей энергией $E k$ . Они представляют допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.

Гамильтонов оператор $ЧАС$ является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шредингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженных на колебательные $Т (т)$ ,^[11] ${ Displaystyle Psi ( mathbf {r}, t) = sum _ {k} c_ {k} varphi _ {k} ( mathbf {r}) e ^ { tfrac {-iE_ {k} t } { hbar}}}$ или, для системы с непрерывным спектром,

{ displaystyle Psi ( mathbf {r}, t) = int dEc_ {E} varphi _ {E} ( mathbf {r}) e ^ { tfrac {-iEt} { hbar}}.}

Успех уравнения Шредингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших триумфов физики 20-го века.

Сигналы и системы

При изучении сигналы и системы, собственной функцией системы является сигнал $ж (т)$ который при вводе в систему производит ответ $у (т) = λf (т)$ , куда $λ$ - комплексное скалярное собственное значение.^[12]

Смотрите также

Примечания

Цитаты

^ ^а ^б ^c Давыдов 1976, п. 20.
^ ^а ^б Куссе и Вествиг 1998, п. 435.
^ ^а ^б Вассерман 2016.
^ ^а ^б Давыдов 1976, п. 21.
^ ^а ^б ^c Куссе и Вествиг 1998, п. 437.
^ ^а ^б ^c Куссе и Вествиг 1998, п. 436.
^ Давыдов 1976, п. 24.
^ ^а ^б Давыдов 1976, п. 29.
^ Давыдов 1976, п. 25.
^ Давыдов 1976, п. 51.
^ Давыдов 1976, п. 52.
^ Жирод, Рабенштейн и Стенгер 2001, п. 49.

Процитированные работы

Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики. Том 1. Wiley. ISBN 047150447-5. (Том 2: ISBN 047150439-4)
Давыдов, А. С. (1976). Квантовая механика. Переведено, отредактировано и с дополнениями Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
Жирод, Бернд; Рабенштейн, Рудольф; Стенгер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Вайли. ISBN 047198800-6.
Кусс, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика. Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
Вассерман, Эрик В. (2016). «Собственная функция». MathWorld. Wolfram Research. Получено 12 апреля, 2016.

внешняя ссылка

Больше изображений (без GPL) на Атом в коробке

[FOOTNOTEDavydov197620-1] а ^б ^c Давыдов 1976, п. 20.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998435-2] а ^б Куссе и Вествиг 1998, п. 435.

[FOOTNOTEWasserman2016-3] а ^б Вассерман 2016.

[FOOTNOTEDavydov197621-4] а ^б Давыдов 1976, п. 21.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998437-5] а ^б ^c Куссе и Вествиг 1998, п. 437.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998436-6] а ^б ^c Куссе и Вествиг 1998, п. 436.

[FOOTNOTEDavydov197624-7] Давыдов 1976, п. 24.

[FOOTNOTEDavydov197629-8] а ^б Давыдов 1976, п. 29.

[FOOTNOTEDavydov197625-9] Давыдов 1976, п. 25.

[FOOTNOTEDavydov197651-10] Давыдов 1976, п. 51.

[FOOTNOTEDavydov197652-11] Давыдов 1976, п. 52.

[FOOTNOTEGirodRabensteinStenger200149-12] Жирод, Рабенштейн и Стенгер 2001, п. 49.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]