Гамильтониан (квантовая механика) - Hamiltonian (quantum mechanics)

В квантовая механика, то Гамильтониан системы - это оператор соответствует полной энергии этой системы, включая оба кинетическая энергия и потенциальная энергия. Его спектр, система энергетический спектр или его набор собственные значения энергии, - это набор возможных результатов, получаемых при измерении полной энергии системы. Из-за его тесной связи с энергетическим спектром и эволюция во времени системы, это имеет фундаментальное значение в большинстве формулировки квантовой теории.

Гамильтониан назван в честь Уильям Роуэн Гамильтон, который разработал революционную переформулировку Ньютоновская механика, известный как Гамильтонова механика, что было исторически важно для развития квантовой физики. Похожий на векторные обозначения, обычно обозначается ${ displaystyle { hat {H}}}$, где шляпа означает, что это оператор. Его также можно записать как ${ Displaystyle }$ в обозначение бюстгальтера или как ${ displaystyle H}$ или же ${ displaystyle { check {H}}}$.

Вступление

Гамильтониан системы - это сумма кинетических энергий всех частиц плюс потенциальная энергия частиц, связанных с системой. Гамильтониан принимает различные формы и в некоторых случаях может быть упрощен, принимая во внимание конкретные характеристики анализируемой системы, такие как одна или несколько частиц в системе, взаимодействие между частицами, вид потенциальной энергии, изменяющийся во времени потенциал или не зависящий от времени. один.

Гамильтониан Шредингера

Одна частица

По аналогии с классическая механика, гамильтониан обычно выражается как сумма операторы соответствующий кинетический и потенциал энергии системы в виде

${ displaystyle { hat {H}} = { hat {T}} + { hat {V}},}$

куда

${ Displaystyle { шляпа {V}} = V = V ( mathbf {r}, t),}$

это потенциальная энергия оператор и

${ displaystyle { hat {T}} = { frac { mathbf { hat {p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} = { frac {{ hat {p }} ^ {2}} {2m}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2},}$

это кинетическая энергия оператор, в котором ${ displaystyle m}$ это масса частицы точка обозначает скалярное произведение векторов и

${ displaystyle { hat {p}} = - я hbar nabla,}$

это оператор импульса где ${ displaystyle nabla}$ это дель оператор. В скалярное произведение из ${ displaystyle nabla}$ сам с собой Лапласиан ${ displaystyle nabla ^ {2}}$. В трех измерениях с использованием Декартовы координаты оператор Лапласа

${ displaystyle nabla ^ {2} = { frac { partial ^ {2}} {{ partial x} ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} {{ partial y } ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} {{ partial z} ^ {2}}}}$

Хотя это не техническое определение Гамильтониан в классической механике, это форма, которую он принимает чаще всего. Объединение этих результатов дает знакомую форму, используемую в Уравнение Шредингера:

${ displaystyle { begin {align} { hat {H}} & = { hat {T}} + { hat {V}} [6pt] & = { frac { mathbf { hat { p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} + V ( mathbf {r}, t) [6pt] & = - { frac { hbar ^ {2}} { 2m}} nabla ^ {2} + V ( mathbf {r}, t) end {выровнено}}}$

что позволяет применять гамильтониан к системам, описываемым волновая функция ${ Displaystyle Пси ( mathbf {г}, т)}$. Это подход, обычно используемый во вводных курсах квантовой механики с использованием формализма волновой механики Шредингера.

Можно также сделать замены в определенных переменных, чтобы соответствовать конкретным случаям, например, с использованием электромагнитных полей.

Многие частицы

Формализм можно расширить до ${ displaystyle N}$ частицы:

${ displaystyle { hat {H}} = sum _ {n = 1} ^ {N} { hat {T}} _ {n} + { hat {V}}}$

куда

${ displaystyle { hat {V}} = V ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t),}$

- функция потенциальной энергии, теперь функция пространственной конфигурации системы и времени (конкретный набор пространственных положений в некоторый момент времени определяет конфигурацию) и;

${ displaystyle { hat {T}} _ {n} = { frac { mathbf {p} _ {n} cdot mathbf {p} _ {n}} {2m_ {n}}},}$

- оператор кинетической энергии частицы ${ displaystyle n}$, и ${ displaystyle nabla _ {n}}$ градиент для частицы ${ displaystyle n}$, ${ Displaystyle набла _ {п} ^ {2}}$ - лапласиан для частицы с использованием координат:

${ displaystyle nabla _ {n} ^ {2} = { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {n} ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial y_ {n} ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial z_ {n} ^ {2}}},}$

Комбинируя эти результаты, получаем гамильтониан Шредингера для ${ displaystyle N}$-частичный случай:

${ displaystyle { begin {align} { hat {H}} & = sum _ {n = 1} ^ {N} { hat {T}} _ {n} + { hat {V}} [6pt] & = sum _ {n = 1} ^ {N} { frac { mathbf { hat {p}} _ {n} cdot mathbf { hat {p}} _ {n} } {2m_ {n}}} + V ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t) [6pt ] & = - { frac { hbar ^ {2}} {2}} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {m_ {n}}} nabla _ {n} ^ {2} + V ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N}, t) end {выровнено}}}$

Однако могут возникнуть осложнения в проблема многих тел. Поскольку потенциальная энергия зависит от пространственного расположения частиц, кинетическая энергия также будет зависеть от пространственной конфигурации для сохранения энергии. Движение любой частицы будет изменяться из-за движения всех других частиц в системе. По этой причине в гамильтониане могут появиться перекрестные члены для кинетической энергии; смесь градиентов для двух частиц:

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2M}} nabla _ {i} cdot nabla _ {j}}$

куда ${ displaystyle M}$ обозначает массу совокупности частиц, приводящую к этой дополнительной кинетической энергии. Условия этой формы известны как условия массовой поляризации, и входят в гамильтониан многих электронных атомов (см. ниже).

За ${ displaystyle N}$ взаимодействующие частицы, то есть частицы, которые взаимодействуют друг с другом и образуют многочастичную ситуацию, функция потенциальной энергии ${ displaystyle V}$ является нет просто сумма отдельных потенциалов (и, конечно, не продукт, поскольку это неверно по размерам). Функцию потенциальной энергии можно записать только так, как указано выше: функцию всех пространственных положений каждой частицы.

Для невзаимодействующих частиц, то есть частиц, которые не взаимодействуют друг с другом и движутся независимо, потенциал системы представляет собой сумму отдельной потенциальной энергии для каждой частицы,^[1] то есть

${ displaystyle V = sum _ {i = 1} ^ {N} V ( mathbf {r} _ {i}, t) = V ( mathbf {r} _ {1}, t) + V ( mathbf {r} _ {2}, t) + cdots + V ( mathbf {r} _ {N}, t)}$

Общий вид гамильтониана в этом случае:

${ displaystyle { begin {align} { hat {H}} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2}} sum _ {i = 1} ^ {N} { frac { 1} {m_ {i}}} nabla _ {i} ^ {2} + sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i} [6pt] & = sum _ {i = 1 } ^ {N} left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {i}}} nabla _ {i} ^ {2} + V_ {i} right) [6pt] & = sum _ {i = 1} ^ {N} { hat {H}} _ {i} end {выравнивается}}}$

где сумма берется по всем частицам и их соответствующим потенциалам; в результате гамильтониан системы представляет собой сумму отдельных гамильтонианов для каждой частицы. Это идеализированная ситуация - на практике частицы почти всегда находятся под влиянием некоторого потенциала, и существуют взаимодействия многих тел. Один наглядный пример взаимодействия двух тел, в котором эта форма неприменима, - это электростатические потенциалы, обусловленные заряженными частицами, поскольку они взаимодействуют друг с другом посредством кулоновского взаимодействия (электростатическая сила), как показано ниже.

Уравнение Шредингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если ${ Displaystyle влево | psi (т) вправо rangle}$ состояние системы во время ${ displaystyle t}$, тогда

${ Displaystyle H left | psi (t) right rangle = i hbar { partial over partial t} left | psi (t) right rangle.}$

Это уравнение является Уравнение Шредингера. Он имеет ту же форму, что и Уравнение Гамильтона – Якоби, что является одной из причин ${ displaystyle H}$ также называется гамильтонианом. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени (${ displaystyle t = 0}$), мы можем решить его, чтобы получить состояние в любое время. В частности, если ${ displaystyle H}$ не зависит от времени, то

${ displaystyle left | psi (t) right rangle = e ^ {- iHt / hbar} left | psi (0) right rangle.}$

В экспоненциальный оператор в правой части уравнения Шредингера обычно определяется соответствующим степенной ряд в ${ displaystyle H}$. Можно заметить, что взяв многочлены или степенные ряды от неограниченные операторы которые не определены везде, могут не иметь математического смысла. Строго говоря, чтобы взять функции неограниченных операторов, a функциональное исчисление необходимо. В случае экспоненциальной функции непрерывный, или просто голоморфное функциональное исчисление достаточно. Заметим, однако, что для обычных расчетов формулы физиков вполне достаточно.

Посредством *-гомоморфизм свойство функционального исчисления, оператор

${ Displaystyle U = е ^ {- iHt / hbar}}$

это унитарный оператор. Это эволюция во времени оператор, или же пропагатор, замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависит от времени, ${ Displaystyle {U (т) }}$ сформировать унитарная группа с одним параметром (более чем полугруппа ); это приводит к физическому принципу подробный баланс.

Формализм Дирака

Однако в более общий формализм из Дирак, гамильтониан обычно реализуется как оператор на Гильбертово пространство следующим образом:

Собственные сети (собственные векторы ) из ${ displaystyle H}$, обозначенный ${ displaystyle left | a right rangle}$, предоставить ортонормированный базис для гильбертова пространства. Спектр разрешенных уровней энергии системы задается набором собственных значений, обозначаемых ${ displaystyle {E_ {a} }}$, решая уравнение:

${ Displaystyle H left | a right rangle = E_ {a} left | a right rangle.}$

С ${ displaystyle H}$ это Эрмитов оператор, энергия всегда настоящий номер.

С математически строгой точки зрения, следует соблюдать осторожность с приведенными выше предположениями. Операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах не обязательно должны иметь собственные значения (набор собственных значений не обязательно совпадает с спектр оператора ). Однако все рутинные квантово-механические расчеты можно выполнить с использованием физической формулировки.^{[требуется разъяснение ]}

Выражения для гамильтониана

Ниже приведены выражения для гамильтониана в ряде ситуаций.^[2] Типичные способы классификации выражений - это количество частиц, количество измерений и природа функции потенциальной энергии - что важно, пространственная и временная зависимость. Обозначаем массы ${ displaystyle m}$, и обвинения ${ displaystyle q}$.

Общие формы для одной частицы

Бесплатная частица

Частица не связана никакой потенциальной энергией, поэтому потенциал равен нулю, и этот гамильтониан является самым простым. Для одного измерения:

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}}}$

и в более высоких измерениях:

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2}}$

Постоянно-потенциальная яма

Для частицы в области постоянного потенциала ${ displaystyle V = V_ {0}}$ (без зависимости от пространства или времени), в одном измерении гамильтониан:

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + V_ {0}}$

в трех измерениях

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + V_ {0}}$

Это касается элементарного "частица в коробке "проблема, и ступенчатые потенциалы.

Простой гармонический осциллятор

Для простой гармонический осциллятор в одном измерении потенциал меняется в зависимости от положения (но не от времени) в соответствии с:

${ displaystyle V = { frac {k} {2}} x ^ {2} = { frac {m omega ^ {2}} {2}} x ^ {2}}$

где угловая частота ${ displaystyle omega}$, эффективный жесткость пружины ${ displaystyle k}$, а масса ${ displaystyle m}$ генератора удовлетворяют:

${ displaystyle omega ^ {2} = { frac {k} {m}}}$

так что гамильтониан:

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac {м omega ^ {2}} {2}} х ^ {2}}$

Для трех измерений это становится

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + { frac {m omega ^ {2}} {2}} г ^ {2}}$

где трехмерный вектор положения ${ displaystyle mathbf {r}}$ с использованием декартовых координат (${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle z}$), его величина

${ displaystyle r ^ {2} = mathbf {r} cdot mathbf {r} = | mathbf {r} | ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }}$

Полное описание гамильтониана показывает, что это просто сумма одномерных гамильтонианов в каждом направлении:

${ displaystyle { begin {align} { hat {H}} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} left ({ frac { partial ^ {2}} { частичный x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2} }} right) + { frac {m omega ^ {2}} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) [6pt] & = left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac {m omega ^ {2} } {2}} x ^ {2} right) + left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ { 2}}} + { frac {m omega ^ {2}} {2}} y ^ {2} right) + left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} + { frac {m omega ^ {2}} {2}} z ^ {2} right) end {выровнено} }}$

Жесткий ротор

Для жесткий ротор - то есть система частиц, которые могут свободно вращаться вокруг любых осей, не связанных никаким потенциалом (например, свободные молекулы с незначительными колебательными степени свободы скажем из-за двойной или же тройной химические связи ) гамильтониан:

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2I_ {xx}}} { hat {J}} _ {x} ^ {2} - { frac { hbar ^ {2}} {2I_ {yy}}} { hat {J}} _ {y} ^ {2} - { frac { hbar ^ {2}} {2I_ {zz}}} { шляпа {J}} _ {z} ^ {2}}$

куда ${ displaystyle I_ {xx}}$, ${ displaystyle I_ {yy}}$, и ${ displaystyle I_ {zz}}$ являются момент инерции компоненты (технически диагональные элементы тензор момента инерции ), и ${ displaystyle { hat {J}} _ {x} , !}$, ${ displaystyle { hat {J}} _ {y} , !}$ и ${ displaystyle { hat {J}} _ {z} , !}$ общие угловой момент операторы (компоненты), о ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, и ${ displaystyle z}$ оси соответственно.

Электростатический или кулоновский потенциал

В Кулоновская потенциальная энергия за двухточечные сборы ${ displaystyle q_ {1}}$ и ${ displaystyle q_ {2}}$ (т.е. заряженные частицы, поскольку частицы не имеют пространственной протяженности) в трех измерениях равно (в Единицы СИ -скорее, чем Гауссовы единицы которые часто используются в электромагнетизм ):

${ displaystyle V = { frac {q_ {1} q_ {2}} {4 pi varepsilon _ {0} | mathbf {r} |}}}$

Однако это только возможность для одного точечного заряда из-за другого. Если есть много заряженных частиц, каждый заряд имеет потенциальную энергию из-за любого другого точечного заряда (кроме самого себя). За ${ displaystyle N}$ зарядов, потенциальная энергия заряда ${ displaystyle q_ {j}}$ из-за всех других сборов (см. также Электростатическая потенциальная энергия, хранящаяся в конфигурации дискретных точечных зарядов ):^[3]

${ displaystyle V_ {j} = { frac {1} {2}} sum _ {i neq j} q_ {i} phi ( mathbf {r} _ {i}) = { frac {1 } {8 pi varepsilon _ {0}}} sum _ {i neq j} { frac {q_ {i} q_ {j}} {| mathbf {r} _ {i} - mathbf { r} _ {j} |}}}$

куда ${ displaystyle phi ( mathbf {r} _ {i})}$ это электростатический потенциал заряда ${ displaystyle q_ {j}}$ в ${ Displaystyle mathbf {r} _ {я}}$. Общий потенциал системы в этом случае равен сумме ${ displaystyle j}$:

${ displaystyle V = { frac {1} {8 pi varepsilon _ {0}}} sum _ {j = 1} ^ {N} sum _ {я neq j} { frac {q_ { i} q_ {j}} {| mathbf {r} _ {i} - mathbf {r} _ {j} |}}}$

так что гамильтониан:

${ displaystyle { begin {align} { hat {H}} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2}} sum _ {j = 1} ^ {N} { frac { 1} {m_ {j}}} nabla _ {j} ^ {2} + { frac {1} {8 pi varepsilon _ {0}}} sum _ {j = 1} ^ {N} sum _ {i neq j} { frac {q_ {i} q_ {j}} {| mathbf {r} _ {i} - mathbf {r} _ {j} |}} & = sum _ {j = 1} ^ {N} left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {j}}} nabla _ {j} ^ {2} + { frac {1 } {8 pi varepsilon _ {0}}} sum _ {i neq j} { frac {q_ {i} q_ {j}} {| mathbf {r} _ {i} - mathbf { r} _ {j} |}} right) конец {выровнено}}}$

Электрический диполь в электрическом поле

Для электрический дипольный момент ${ displaystyle mathbf {d}}$ составляющие заряды величины ${ displaystyle q}$, в форме, электростатическое поле (не зависящий от времени) ${ displaystyle mathbf {E}}$, размещенные в одном месте, потенциал:

${ Displaystyle V = - mathbf { hat {d}} cdot mathbf {E}}$

сам дипольный момент является оператором

${ displaystyle mathbf { hat {d}} = q mathbf { hat {r}}}$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя - это просто потенциальная энергия:

${ displaystyle { hat {H}} = - mathbf { hat {d}} cdot mathbf {E} = -q mathbf { hat {r}} cdot mathbf {E}}$

Магнитный диполь в магнитном поле

Для магнитного дипольного момента ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ в однородном магнитостатическом поле (не зависящем от времени) ${ displaystyle mathbf {B}}$, размещенные в одном месте, потенциал:

${ Displaystyle V = - { boldsymbol { mu}} cdot mathbf {B}}$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя - это просто потенциальная энергия:

${ displaystyle { hat {H}} = - { boldsymbol { mu}} cdot mathbf {B}}$

Для спин-½ частицы соответствующий спиновый магнитный момент равен:^[4]

${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {S} = { frac {g_ {s} e} {2m}} mathbf {S}}$

куда ${ displaystyle g_ {s}}$ это вращение гиромагнитное отношение (он же "спин" g-фактор "), ${ displaystyle e}$ - заряд электрона, ${ displaystyle mathbf {S}}$ это оператор вращения вектор, компонентами которого являются Матрицы Паули, следовательно

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {g_ {s} e} {2m}} mathbf {S} cdot mathbf {B}}$

Заряженная частица в электромагнитном поле

Для частицы с массой ${ displaystyle m}$ и зарядить ${ displaystyle q}$ в электромагнитном поле, описываемом скалярный потенциал ${ displaystyle phi}$ и векторный потенциал ${ displaystyle mathbf {A}}$, есть две части гамильтониана, которые нужно заменить.^[1] Канонический оператор импульса ${ displaystyle mathbf { hat { Pi}}}$, который включает вклад ${ displaystyle mathbf {A}}$ поле и выполняет каноническое коммутационное соотношение, необходимо квантовать;

${ displaystyle mathbf { hat { Pi}} = mathbf { hat {P}} + q mathbf {A}}$,

куда ${ displaystyle mathbf { hat {P}}}$ это кинетический импульс оператор. Рецепт квантования гласит

${ displaystyle mathbf { hat { Pi}} = -i hbar nabla}$,

так что соответствующий оператор кинетической энергии

${ displaystyle { hat {T}} = { frac { mathbf { hat {P}} cdot mathbf { hat {P}}} {2m}} = { frac {1} {2m} } left ( mathbf { hat { Pi}} -q mathbf {A} right) ^ {2}}$

и потенциальная энергия, связанная с ${ displaystyle phi}$ поле, задается

${ Displaystyle { шляпа {V}} = д фи}$.

Преобразование всего этого в гамильтониан дает

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {1} {2m}} left (-i hbar nabla -q mathbf {A} right) ^ {2} + q phi}$.

Вырождение собственных вычислений энергии, симметрия и законы сохранения

Во многих системах два или более собственных энергетических состояния имеют одинаковую энергию. Простым примером этого является свободная частица, чьи собственные энергетические состояния имеют волновые функции, которые являются распространением плоских волн. Энергия каждой из этих плоских волн обратно пропорциональна квадрату ее длина волны. Волна, распространяющаяся в ${ displaystyle x}$ направление - это состояние, отличное от состояния, распространяющегося в ${ displaystyle y}$ направление, но если они имеют одинаковую длину волны, то их энергии будут одинаковыми. Когда это происходит, состояния называются выродиться.

Оказывается, что вырождение возникает всякий раз, когда нетривиальный унитарный оператор ${ displaystyle U}$ ездит на работу с гамильтонианом. Чтобы увидеть это, предположим, что ${ Displaystyle | а rangle}$ является собственным энергетическим набором. потом ${ Displaystyle U | а rangle}$ является собственным набором энергии с тем же собственным значением, поскольку

${ displaystyle UH | a rangle = UE_ {a} | a rangle = E_ {a} (U | a rangle) = H ; (U | a rangle).}$

С ${ displaystyle U}$ нетривиально, хотя бы одна пара ${ Displaystyle | а rangle}$ и ${ Displaystyle U | а rangle}$ должны представлять различные состояния. Следовательно, ${ displaystyle H}$ имеет по крайней мере одну пару собственных вырожденных энергетических наборов. В случае свободной частицы унитарный оператор, создающий симметрию, - это оператор вращения, который поворачивает волновые функции на некоторый угол, сохраняя при этом их форму.

Из существования оператора симметрии следует существование консервированный наблюдаемый. Позволять ${ displaystyle G}$ быть эрмитовым генератором ${ displaystyle U}$:

${ Displaystyle U = I-я varepsilon G + O ( varepsilon ^ {2}) ,}$

Несложно показать, что если ${ displaystyle U}$ ездит с ${ displaystyle H}$, то так же ${ displaystyle G}$:

${ displaystyle [H, G] = 0 ,}$

Следовательно,

${ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} langle psi (t) | G | psi (t) rangle = { frac {1} {i hbar}} langle psi (t) | [G, H] | psi (t) rangle = 0.}$

При получении этого результата мы использовали уравнение Шредингера, а также его двойной,

${ Displaystyle langle psi (t) | H = -i hbar { partial over partial t} langle psi (t) |.}$

Таким образом ожидаемое значение наблюдаемых ${ displaystyle G}$ сохраняется для любого состояния системы. В случае свободной частицы сохраняющейся величиной является угловой момент.

Уравнения Гамильтона

Гамильтон уравнения в классических Гамильтонова механика имеют прямую аналогию в квантовой механике. Предположим, у нас есть набор базисных состояний ${ Displaystyle влево { влево | п вправо rangle вправо }}$, которые не обязательно должны быть собственными состояниями энергии. Для простоты мы предполагаем, что они дискретны, и что они ортонормированы, т. Е.

${ displaystyle langle n '| n rangle = delta _ {nn'}}$

Обратите внимание, что предполагается, что эти базовые состояния не зависят от времени. Предположим, что гамильтониан также не зависит от времени.

Мгновенное состояние системы во времени ${ displaystyle t}$, ${ Displaystyle влево | psi влево (т вправо) вправо rangle}$, может быть расширен с точки зрения этих базовых состояний:

${ displaystyle | psi (t) rangle = sum _ {n} a_ {n} (t) | n rangle}$

куда

${ displaystyle a_ {n} (t) = langle n | psi (t) rangle.}$

Коэффициенты ${ Displaystyle а_ {п} (т)}$ находятся сложный переменные. Мы можем рассматривать их как координаты, которые определяют состояние системы, например координаты положения и импульса, которые определяют классическую систему. Как и классические координаты, они обычно непостоянны во времени, и их зависимость от времени приводит к временной зависимости системы в целом.

Среднее значение гамильтониана этого состояния, которое также является средней энергией, равно

${ Displaystyle langle H (T) rangle { stackrel { mathrm {def}} {=}} langle psi (t) | H | psi (t) rangle = sum _ {nn '} a_ {n'} ^ {*} a_ {n} langle n '| H | n rangle}$

где последний шаг был получен разложением ${ Displaystyle влево | psi влево (т вправо) вправо rangle}$ с точки зрения базовых состояний.

Каждый ${ Displaystyle а_ {п} (т)}$ фактически соответствует два независимые степени свободы, так как переменная имеет действительную и мнимую части. Теперь мы выполняем следующий трюк: вместо использования действительной и мнимой частей в качестве независимых переменных мы используем ${ Displaystyle а_ {п} (т)}$ и это комплексно сопряженный ${ Displaystyle а_ {п} ^ {*} (т)}$. При таком выборе независимых переменных мы можем вычислить частная производная

${ displaystyle { frac { partial langle H rangle} { partial a_ {n '} ^ {*}}} = sum _ {n} a_ {n} langle n' | H | n rangle = langle n '| H | psi rangle}$

Применяя Уравнение Шредингера и, используя ортонормированность базисных состояний, это далее сводится к

${ displaystyle { frac { partial langle H rangle} { partial a_ {n '} ^ {*}}} = i hbar { frac { partial a_ {n'}} { partial t} }}$

Аналогично можно показать, что

${ displaystyle { frac { partial langle H rangle} { partial a_ {n}}} = - я hbar { frac { partial a_ {n} ^ {*}} { partial t}} }$

Если мы определим переменные "сопряженного импульса" ${ displaystyle pi _ {n}}$ к

${ displaystyle pi _ {n} (t) = i hbar a_ {n} ^ {*} (t)}$

тогда приведенные выше уравнения становятся

${ displaystyle { frac { partial langle H rangle} { partial pi _ {n}}} = { frac { partial a_ {n}} { partial t}}, quad { frac { partial langle H rangle} { partial a_ {n}}} = - { frac { partial pi _ {n}} { partial t}}}$

что и есть форма уравнений Гамильтона с ${ displaystyle a_ {n}}$s как обобщенные координаты, ${ displaystyle pi _ {n}}$s как сопряженные импульсы, а ${ displaystyle langle H rangle}$ заменяющий классический гамильтониан.

Смотрите также

Рекомендации