Картинка взаимодействия - Interaction picture

В квантовая механика, то картинка взаимодействия (также известный как Картина Дирака после Поль Дирак ) является промежуточным представлением между Картина Шредингера и Картинка Гейзенберга. Тогда как на двух других фотографиях вектор состояния или операторы имеют временную зависимость, в картине взаимодействия оба несут часть временной зависимости наблюдаемые.^[1] Картина взаимодействия полезна при работе с изменениями волновых функций и наблюдаемых из-за взаимодействий. Большинство теоретико-полевых расчетов^[2] используют представление взаимодействия, потому что они строят решение уравнения Шредингера для многих тел как решение проблемы свободных частиц плюс некоторые неизвестные части взаимодействия.

Уравнения, которые включают в себя операторы, действующие в разное время, которые выполняются в картине взаимодействия, не обязательно справедливы в картине Шредингера или Гейзенберга. Это связано с тем, что зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одном изображении с аналогичными операторами в другом.

Картина взаимодействия - это частный случай унитарное преобразование применительно к гамильтониану и векторам состояния.

Определение

Операторы и векторы состояния в картине взаимодействия связаны сменой базиса (унитарное преобразование ) к тем же операторам и векторам состояния в картине Шредингера.

Чтобы переключиться на картину взаимодействия, разделим картину Шредингера Гамильтониан на две части:

${ displaystyle H _ { text {S}} = H_ {0, { text {S}}} + H_ {1, { text {S}}}.}$

Любой возможный выбор частей даст действительную картину взаимодействия; но для того, чтобы изображение взаимодействия было полезным для упрощения анализа проблемы, части обычно выбираются таким образом, чтобы ЧАС_{0, S} хорошо изучен и точно решаем, в то время как ЧАС_{1, S} содержит некоторые трудные для анализа возмущения для этой системы.

Если гамильтониан имеет явная зависимость от времени (например, если квантовая система взаимодействует с приложенным внешним электрическим полем, которое изменяется во времени), обычно будет полезно включить явно зависящие от времени члены с ЧАС_{1, S}, уход ЧАС_{0, S} не зависящий от времени. Мы продолжаем предполагать, что это так. Если здесь является контекст, в котором имеет смысл иметь ЧАС_{0, S} быть зависящим от времени, то можно продолжить заменой ${ displaystyle e ^ { pm iH_ {0, { text {S}}} т / hbar}}$ соответствующими оператор эволюции во времени в определениях ниже.

Векторы состояний

Позволять ${ displaystyle | psi _ { text {S}} (t) rangle = { text {e}} ^ {- iH _ { text {S}} t / hbar} | psi (0) rangle}$ быть зависящим от времени вектором состояния в картине Шредингера. Вектор состояния в картине взаимодействия, ${ Displaystyle | psi _ { текст {I}} (т) rangle}$ , определяется с помощью дополнительного зависящего от времени унитарного преобразования.^[3]

${ displaystyle | psi _ { text {I}} (t) rangle = { text {e}} ^ {iH_ {0, { text {S}}} t / hbar} | psi _ { text {S}} (t) rangle.}$

Операторы

Оператор в картинке взаимодействия определяется как

${ displaystyle A _ { text {I}} (t) = e ^ {iH_ {0, { text {S}}} t / hbar} A _ { text {S}} (t) e ^ {- iH_ {0, { text {S}}} t / hbar}.}$

Обратите внимание, что А_S(т) обычно не зависит от $т$ и может быть переписан как просто А_S. Это зависит только от $т$ если оператор имеет «явную зависимость от времени», например, из-за его зависимости от приложенного внешнего переменного электрического поля.

Гамильтонов оператор

Для оператора ${ displaystyle H_ {0}}$ Сама картина взаимодействия и картина Шредингера совпадают:

{ displaystyle H_ {0, { text {I}}} (t) = e ^ {iH_ {0, { text {S}}} t / hbar} H_ {0, { text {S}} } e ^ {- iH_ {0, { text {S}}} t / hbar} = H_ {0, { text {S}}}.}

Это легко увидеть по тому факту, что операторы ездить с дифференцируемыми функциями самих себя. Затем этот конкретный оператор можно назвать ${ displaystyle H_ {0}}$ без двусмысленности.

Для гамильтониана возмущения ${ displaystyle H_ {1, { text {I}}}}$ , тем не мение,

{ displaystyle H_ {1, { text {I}}} (t) = e ^ {iH_ {0, { text {S}}} t / hbar} H_ {1, { text {S}} } e ^ {- iH_ {0, { text {S}}} t / hbar},}

где гамильтониан возмущения картины взаимодействия становится гамильтонианом, зависящим от времени, если [ЧАС_{1, S}, ЧАС_{0, S}] = 0.

Можно получить картину взаимодействия для гамильтониана, зависящего от времени ЧАС_{0, S}(т), но экспоненты необходимо заменить унитарным пропагатором для эволюции, порожденной ЧАС_{0, S}(т), или более явно с помощью экспоненциального интеграла с упорядоченным по времени.

Матрица плотности

В матрица плотности можно показать преобразование в картинку взаимодействия так же, как и любой другой оператор. В частности, пусть $ρ я$ и $ρ S$ - матрицы плотности в картине взаимодействия и картине Шредингера соответственно. Если есть вероятность $п п$ быть в физическом состоянии |ψ_п>, тогда

{ displaystyle rho _ { text {I}} (t) = sum _ {n} p_ {n} (t) | psi _ {n, { text {I}}} (t) rangle langle psi _ {n, { text {I}}} (t) | = sum _ {n} p_ {n} (t) e ^ {iH_ {0, { text {S}}} t / hbar} | psi _ {n, { text {S}}} (t) rangle langle psi _ {n, { text {S}}} (t) | e ^ {- iH_ { 0, { text {S}}} t / hbar} = e ^ {iH_ {0, { text {S}}} t / hbar} rho _ { text {S}} (t) e ^ {- iH_ {0, { text {S}}} t / hbar}.}

Временная эволюция

Временная эволюция состояний

Преобразование Уравнение Шредингера в картину взаимодействия дает

{ displaystyle i hbar { frac {d} {dt}} | psi _ { text {I}} (t) rangle = H_ {1, { text {I}}} (t) | psi _ { text {I}} (t) rangle,}

который гласит, что в картине взаимодействия квантовое состояние развивается в результате взаимодействия части гамильтониана, как выражено в картине взаимодействия.^[4]

Временная эволюция операторов

Если оператор А_S не зависит от времени (т.е. не имеет "явной зависимости от времени"; см. выше), то соответствующая временная эволюция для А_я(т) дан кем-то

{ displaystyle i hbar { frac {d} {dt}} A _ { text {I}} (t) = [A _ { text {I}} (t), H_ {0, { text {S }}}].}

В картине взаимодействия операторы эволюционируют во времени подобно операторам в Картинка Гейзенберга с гамильтонианом $ЧАС' = ЧАС 0$ .

Временная эволюция матрицы плотности

Эволюция матрица плотности в картине взаимодействия

{ displaystyle i hbar { frac {d} {dt}} rho _ { text {I}} (t) = [H_ {1, { text {I}}} (t), rho _ { text {I}} (t)],}

в соответствии с уравнением Шредингера в картине взаимодействия.

Ожидаемые ценности

Для обычного оператора ${ displaystyle A}$ , математическое ожидание в картинке взаимодействия равно

{ displaystyle langle A _ { text {I}} (t) rangle = langle psi _ { text {I}} (t) | A _ { text {I}} (t) | psi _ { text {I}} (t) rangle = langle psi _ { text {S}} (t) | e ^ {- iH_ {0, { text {S}}} t} e ^ { iH_ {0, { text {S}}} t} , A _ { text {S}} , e ^ {- iH_ {0, { text {S}}} t} e ^ {iH_ {0 , { text {S}}} t} | psi _ { text {S}} (t) rangle = langle A _ { text {S}} (t) rangle.}

Используя выражение матрицы плотности для математического ожидания, мы получим

{ displaystyle langle A _ { text {I}} (t) rangle = operatorname {Tr} { big (} rho _ { text {I}} (t) , A _ { text {I }} (t) { big)}.}

Использовать

Цель картины взаимодействия - шунтировать всю временную зависимость из-за ЧАС₀ на операторов, что позволяет им свободно развиваться, и оставляет только ЧАС_{1, я} для управления временной эволюцией векторов состояния.

Картина взаимодействия удобна при рассмотрении влияния малого члена взаимодействия, ЧАС_{1, S}, добавляемого к гамильтониану решаемой системы, ЧАС_{0, S}. Используя картинку взаимодействия, можно использовать теория возмущений, зависящая от времени найти эффект ЧАС_{1, я},^[5]^:355ff например, при выводе Золотое правило Ферми,^[5]^:359–363 или Серия Дайсон^[5]^:355–357 в квантовая теория поля: в 1947 г., Синъитиро Томонага и Джулиан Швингер понимал, что ковариантная теория возмущений может быть элегантно сформулирована в картине взаимодействия, поскольку полевые операторы могут развиваться во времени как свободные поля, даже при наличии взаимодействий, которые теперь рассматриваются пертурбативно в таком ряду Дайсона.

Сводное сравнение эволюции на всех картинках

Для независимого от времени гамильтониана ЧАС_S, где H0, S - свободный гамильтониан,

Эволюция	Рисунок
из:	Гейзенберг	Взаимодействие	Шредингер
Кетское государство	постоянный	${ displaystyle \| psi _ {I} (t) rangle = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} \| psi _ {S} (t) rangle}$	${ displaystyle \| psi _ {S} (t) rangle = e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar} \| psi _ {S} (0) rangle}$
Наблюдаемый	${ displaystyle A_ {H} (t) = e ^ {iH_ {S} ~ t / hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar}}$	${ displaystyle A_ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / hbar}}$	постоянный
Матрица плотности	постоянный	${ displaystyle rho _ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / hbar} rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / hbar}}$	${ displaystyle rho _ {S} (t) = e ^ {- iH_ {S} ~ t / hbar} rho _ {S} (0) e ^ {iH_ {S} ~ t / hbar}}$