Квантование Ландау - Landau quantization

Квантование Ландау в квантовая механика есть квантование циклотронных орбит заряженных частиц в магнитных полях. В результате заряженные частицы могут занимать только орбиты с дискретными значениями энергии, называемые уровнями Ландау. Уровни Ландау равны выродиться, где количество электронов на уровне прямо пропорционально силе приложенного магнитного поля. Квантование Ландау непосредственно отвечает за колебания электронных свойств материалов в зависимости от приложенного магнитного поля. Назван в честь советского физика. Лев Ландау^[1].

Вывод

Рассмотрим систему невзаимодействующих частиц с зарядом $q$ и вращать $S$ ограниченный областью $А = L Икс L у$ в $х-у$ самолет. Приложите однородное магнитное поле ${displaystyle mathbf {B} = {egin {pmatrix} 0 0 Bend {pmatrix}}}$ вдоль $z$ -ось. В CGS единиц, Гамильтониан этой системы (здесь не учитываются эффекты спина. Рассмотрение спина вводит дополнительный член в оператор гамильтониана)

{displaystyle {hat {H}} = {frac {1} {2m}} ({hat {mathbf {p}}} - q {hat {mathbf {A}}} / c) ^ {2}.}

Здесь, ${extstyle {шляпа {mathbf {p}}}}$ это канонический оператор импульса и ${extstyle {шляпа {mathbf {A}}}}$ это электромагнитный векторный потенциал, что связано с магнитное поле к

{displaystyle mathbf {B} = mathbf {abla} imes {hat {mathbf {A}}}.,}

Существует некоторая калибровочная свобода в выборе векторного потенциала для данного магнитного поля. Гамильтониан калибровочный инвариант, что означает, что добавление градиента скалярное поле к Â изменяет общую фазу волновая функция на величину, соответствующую скалярному полю. Но на физические свойства не влияет конкретный выбор калибра. Для простоты расчета выберите Датчик Ландау, который

{displaystyle {hat {mathbf {A}}} = {egin {pmatrix} 0 Bx 0end {pmatrix}}.}

куда $B$ =|B| и Икс это $Икс$ компонент оператора позиции.

В этой калибровке гамильтониан равен

{displaystyle {hat {H}} = {frac {{hat {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {frac {1} {2m}} left ({hat {p}} _ {y} - {frac {qB {hat {x}}} {c}} ight) ^ {2} + {frac {{hat {p}} _ {z} ^ {2}} {2m}}.}

Оператор ${displaystyle {hat {p}} _ {y}}$ коммутирует с этим гамильтонианом, поскольку оператор ŷ отсутствует выбором калибра. Таким образом, оператор ${displaystyle {hat {p}} _ {y}}$ можно заменить его собственным значением $ħk у$ . С ${displaystyle {hat {z}}}$ не появляется в гамильтониане, а в кинетической энергии появляется только z-импульс, это движение вдоль z-направления является свободным движением.

Гамильтониан также можно записать проще, если учесть, что циклотронная частота является $ω c = qB / mc$ , давая

{displaystyle {hat {H}} = {frac {{hat {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {frac {1} {2}} momega _ {c} ^ {2} left ({hat {x}} - {frac {hbar k_ {y}} {momega _ {c}}} ight) ^ {2} + {frac {{hat {p}} _ {z} ^ {2} } {2m}}.}

Это в точности гамильтониан для квантовый гармонический осциллятор, за исключением того, что минимум потенциала сдвинут в координатном пространстве на $Икс 0 = ħk у / mω c$ .

Чтобы найти энергии, обратите внимание, что перевод потенциала гармонического осциллятора не влияет на энергии. Таким образом, энергии этой системы идентичны энергии стандартной квантовый гармонический осциллятор^[2],

{displaystyle E_ {n} = hbar omega _ {c} left (n + {frac {1} {2}} ight) + {frac {p_ {z} ^ {2}} {2m}}, quad ngeq 0 ~. }

Энергия не зависит от квантового числа $k у$ , поэтому будет конечное число вырождений (если частицу поместить в неограниченное пространство, это вырождение будет соответствовать непрерывной последовательности ${displaystyle p_ {y}}$ ). Значение ${displaystyle p_ {z}}$ является непрерывным, если частица не ограничена в z-направлении, и дискретным, если частица также ограничена в z-направлении.

Напомним, что для волновых функций ${displaystyle {hat {p}} _ {y}}$ коммутирует с гамильтонианом. Затем волновая функция множится в произведение собственных состояний импульса в $у$ направление и собственные состояния гармонического осциллятора ${displaystyle | phi _ {n} angle}$ сдвинут на сумму $Икс$ ₀ в $Икс$ направление:

{displaystyle Psi (x, y, z) = e ^ {i (k_ {y} y + k_ {z} z)} phi _ {n} (x-x_ {0})}

куда ${displaystyle k_ {z} = p_ {z} / hbar}$ . Таким образом, состояние электрона характеризуется квантовыми числами, $п$ , $k у$ и $k z$ .

Уровни Ландау

Каждый набор волновых функций с одинаковым значением $п$ называется уровнем Ландау. Эффекты уровней Ландау наблюдаются только тогда, когда средняя тепловая энергия меньше, чем расстояние между уровнями, $kT ≪ ħω c$ , что означает низкие температуры и сильные магнитные поля.

Каждый уровень Ландау вырожден из-за второго квантового числа $k у$ , который может принимать значения

{displaystyle k_ {y} = {frac {2pi N} {L_ {y}}}}

,

куда $N$ целое число. Допустимые значения $N$ дополнительно ограничены условием, что центр силы осциллятора, $Икс 0$ , должен физически находиться в системе, $0 \leq Икс 0 Икс$ . Это дает следующий диапазон для $N$ ,

{displaystyle 0leq N <{frac {momega _ {c} L_ {x} L_ {y}} {2pi hbar}}.}

Для заряженных частиц $q = Ze$ , верхняя граница $N$ можно просто записать как отношение потоки,

{displaystyle {frac {ZBL_ {x} L_ {y}} {(hc / e)}} = Z {frac {Phi} {Phi _ {0}}},}

куда $Φ 0 = hc / e$ фундаментальный квант потока и $Φ = BA$ поток через систему (с площадью $А = L Икс L у$ ).

Таким образом, для частиц со спином $S$ , максимальное количество $D$ частиц на уровень Ландау составляет

{displaystyle D = Z (2S + 1) {frac {Phi} {Phi _ {0}}} ~,}

которое для электронов (где $Z$ = 1 и $S$ = 1/2) дает $D = 2Φ / Φ 0$ , два доступных состояния для каждого кванта потока, проникающего в систему.

Вышесказанное дает лишь приблизительное представление о влиянии геометрии конечных размеров. Строго говоря, использование стандартного решения гармонического осциллятора справедливо только для систем, неограниченных в $Икс$ -направление (бесконечные полосы). Если размер $L Икс$ конечна, граничные условия в этом направлении порождают нестандартные условия квантования магнитного поля, включающие (в принципе) оба решения уравнения Эрмита. Заполнение этих уровней множеством электронов все еще продолжается.^[3] активная область исследований.

В целом уровни Ландау наблюдаются в электронных системах. По мере увеличения магнитного поля все больше и больше электронов могут поместиться на данный уровень Ландау. Уровень заполнения самого высокого уровня Ландау варьируется от полностью полного до полностью пустого, что приводит к колебаниям различных электронных свойств (см. эффект де Хааса – ван Альфена и Эффект Шубникова – де Гааза ).

Если Зеемановское расщепление Каждый уровень Ландау разбивается на пару, один для электронов со спином вверх, а другой для электронов со спином вниз. Тогда заполнение каждого спинового уровня Ландау есть не что иное, как отношение потоков $D$ = $Φ / Φ 0$ . Зеемановское расщепление оказывает существенное влияние на уровни Ландау, поскольку их энергетические масштабы одинаковы, $2 μ B B = ħω$ . Однако энергия Ферми и энергия основного состояния остаются примерно одинаковыми в системе со многими заполненными уровнями, поскольку пары разделенных уровней энергии уравновешивают друг друга при суммировании.

Обсуждение

Этот вывод рассматривает $Икс$ и у как слегка асимметричный. Однако из-за симметрии системы не существует физической величины, которая различает эти координаты. Тот же результат мог быть получен при соответствующей замене $Икс$ и $у$ .

Более того, вышеприведенный вывод предполагал, что электрон удерживается в $z$ -направление, что является актуальной экспериментальной ситуацией - например, в двумерных электронных газах. Тем не менее, это предположение не является существенным для результатов. Если электроны могут свободно перемещаться по $z$ направлении волновая функция приобретает дополнительный мультипликативный член exp ( $ik z z$ ); энергия, соответствующая этому свободному движению, $(ħ к z) 2 /(2м)$ , добавляется в $E$ обсуждали. Этот член затем заполняет разделение по энергии различных уровней Ландау, размывая эффект квантования. Тем не менее движение в $Икс$ - $у$ -плоскость, перпендикулярная магнитному полю, по-прежнему квантуется.

Уровни Ландау в симметричной калибровке

Симметричная калибровка относится к выбору

{displaystyle {hat {mathbf {A}}} = {frac {1} {2}} mathbf {B} imes {hat {mathbf {r}}} = {frac {1} {2}} {egin {pmatrix} -By Bx 0end {pmatrix}}}

В терминах безразмерных длин и энергий гамильтониан можно выразить как

{displaystyle {hat {H}} = {frac {1} {2}} left [left (-i {frac {partial} {partial x}} - {frac {y} {2}} ight) ^ {2}] + left (-i {frac {partial} {partial y}} + {frac {x} {2}} ight) ^ {2} ight]}

Правильные единицы могут быть восстановлены путем введения факторов ${displaystyle q, c, hbar, mathbf {B}}$ и ${displaystyle m}$

Рассмотрим операторов

{displaystyle {hat {a}} = {frac {1} {sqrt {2}}} left [left ({frac {x} {2}} + {frac {partial} {partial x}} ight) -left ( {frac {y} {2}} + {frac {partial} {partial y}} ight) ight]}

{displaystyle {hat {a}} ^ {dagger} = {frac {1} {sqrt {2}}} left [left ({frac {x} {2}} - {frac {partial} {partial x}} ight ) + ileft ({frac {y} {2}} - {frac {partial} {partial y}} ight) ight]}

{displaystyle {hat {b}} = {frac {1} {sqrt {2}}} left [left ({frac {x} {2}} + {frac {partial} {partial x}} ight) + ileft ( {frac {y} {2}} + {frac {partial} {partial y}} ight) ight]}

{displaystyle {hat {b}} ^ {dagger} = {frac {1} {sqrt {2}}} left [left ({frac {x} {2}} - {frac {partial} {partial x}} полет ) -ileft ({frac {y} {2}} - {frac {partial} {partial y}} ight) ight]}

Эти операторы подчиняются определенным коммутационным соотношениям

{displaystyle [{шляпа {a}}, {шляпа {a}} ^ {кинжал}] = [{шляпа {b}}, {шляпа {b}} ^ {dagger}] = 1}

.

В терминах указанных выше операторов гамильтониан можно записать как

{displaystyle {hat {H}} = {hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}} + {frac {1} {2}}}

Индекс уровня Ландау ${displaystyle n}$ собственное значение ${displaystyle {hat {a}} ^ {dagger} {hat {a}}}$

Компонент z углового момента равен

{displaystyle {hat {L}} _ {z} = - ihbar {frac {partial} {partial heta}} = - hbar ({hat {b}} ^ {dagger} {hat {b}} - {hat {a }} ^ {кинжал} {шляпа {а}})}

Эксплуатация собственности ${displaystyle [{шляпа {H}}, {шляпа {L}} _ {z}] = 0}$ мы выбрали собственные функции, которые диагонализируют ${displaystyle {hat {H}}}$ и ${displaystyle {hat {L}} _ {z}}$ , Собственное значение ${displaystyle {hat {L}} _ {z}}$ обозначается ${displaystyle -mhbar}$ , где ясно, что ${displaystyle mgeq -n}$ в ${displaystyle n}$ й уровень Ландау. Однако он может быть сколь угодно большим, что необходимо для получения бесконечного вырождения (или конечного вырождения на единицу площади), проявляемого системой.

Применение ${displaystyle {hat {b}} ^ {dagger}}$ увеличивается ${displaystyle m}$ на одну единицу при сохранении ${displaystyle n}$ , в то время как ${displaystyle {hat {a}} ^ {dagger}}$ приложение одновременно увеличить ${displaystyle n}$ и уменьшается ${displaystyle m}$ на одну единицу. Аналогия с квантовый гармонический осциллятор предлагает решения

{displaystyle {hat {H}} | n, mangle = E_ {n} | n, mangle}

{displaystyle E_ {n} = hbar omega _ {c} left (n + {frac {1} {2}} ight)}

{displaystyle | n, mangle = {frac {({hat {b}} ^ {dagger}) ^ {m + n}} {sqrt {(m + n)!}}} {frac {({hat {a} } ^ {кинжал}) ^ {n}} {sqrt {n!}}} | 0,0angle}

Каждый уровень Ландау имеет вырожденные орбитали, помеченные квантовыми числами $k у$ и ${displaystyle m}$ в калибровке Ландау и симметричной калибровке соответственно. Вырождение на единицу площади одинаково на каждом уровне Ландау.

Можно убедиться, что указанные состояния соответствуют выбору волновых функций, пропорциональных

{displaystyle psi _ {n, m} (x, y) = left ({frac {partial} {partial w}} - {frac {ar {w}} {4}} ight) ^ {n} w ^ {n + m} e ^ {- | w | ^ {2} / 4}}

куда ${displaystyle w = x + iy}$ .

В частности, самый низкий уровень Ландау ${displaystyle n = 0}$ состоит из произвольных аналитических функций, умножающих гауссиан, ${displaystyle psi (x, y) = f (w) e ^ {- | w | ^ {2} / 4}}$ .

Эффекты калибровочного преобразования

{displaystyle mathbf {A} o mathbf {A} '= mathbf {A} + {oldsymbol {abla}} lambda (mathbf {x})}

Определение кинематических импульсов:

{displaystyle {hat {oldsymbol {pi}}} = {hat {mathbf {p}}} - q {hat {mathbf {A}}} / c}

куда ${displaystyle {шляпа {mathbf {p}}}}$ - канонические импульсы. Гамильтониан является калибровочным инвариантом, поэтому ${displaystyle langle {hat {oldsymbol {pi}}} angle}$ и ${displaystyle langle {hat {mathbf {x}}} angle}$ останется инвариантным относительно калибровочных преобразований, но ${displaystyle langle {hat {mathbf {p}}} angle}$ будет зависеть от калибровки. Чтобы наблюдать эффект калибровочного преобразования на квантовое состояние частицы, рассмотрим состояние с А и А' в качестве вектор потенциал, с состояниями ${displaystyle | альфа-угол}$ и ${displaystyle | alpha 'angle}$ .

В качестве ${displaystyle langle {hat {mathbf {x}}} angle}$ и ${displaystyle langle {hat {oldsymbol {pi}}} angle}$ инвариантна относительно калибровочного преобразования, получаем

{displaystyle langle alpha | {hat {mathbf {x}}} | alpha angle = langle alpha '| {hat {mathbf {x}}} | alpha' angle}

{displaystyle langle alpha | {hat {oldsymbol {pi}}} | alpha angle = langle alpha '| {hat {oldsymbol {pi}}}' | alpha 'angle}

{displaystyle langle alpha | alpha angle = langle alpha '| alpha' angle}

Рассмотрим оператора ${displaystyle {mathcal {G}}}$ такой, что ${displaystyle | alpha 'angle = {mathcal {G}} | alpha angle}$

из приведенного выше соотношения выводим, что

{displaystyle {mathcal {G}} ^ {dagger} {hat {mathbf {x}}} {mathcal {G}} = {hat {mathbf {x}}}}

{displaystyle {mathcal {G}} ^ {dagger} left ({hat {mathbf {p}}} - {frac {e {hat {mathbf {A}}}} {c}} - {frac {e {oldsymbol { abla}} лямбда (mathbf {x})} {c}} ight) {mathcal {G}} = {hat {p}} - {frac {e {hat {mathbf {A}}}} {c}}}

{displaystyle {mathcal {G}} ^ {dagger} {mathcal {G}} = 1}

из этого делаем вывод

{displaystyle {mathcal {G}} = exp left ({frac {ielambda (mathbf {x})} {hbar c}} ight)}

Магнитная восприимчивость ферми-газа.

Самый важный пример Ферми газ электронов. Такие ферми-газы являются частью основы для понимания физических свойств металлов. В 1939 г. Ландау получил оценку магнитная восприимчивость ферми-газа, известного как Восприимчивость к Ландау, которая постоянна для малых магнитных полей. Ландау также заметил, что восприимчивость колеблется с высокой частотой для больших магнитных полей,^[4], это физическое явление известно как эффект де Хааса – ван Альфена.

Двумерная решетка

В плотный переплет энергетический спектр заряженных частиц в двумерной бесконечной решетке известен как самоподобный и фрактал, как показано в Бабочка Хофштадтера. Для целого отношения квант магнитного потока и магнитный поток через ячейку решетки, восстанавливаются уровни Ландау для больших целых чисел.^[5]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Ландау, Л. Д .; и Лифшиц, Э. М .; (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Курс теоретической физики. Vol. 3 (3-е изд. Лондон: Pergamon Press). ISBN 0750635398.

[1] Ландау, Л. Д. (1930). Диамагнетизм металлов. Zeitschrift für Physik, 64 (9-10), 629-637.

[2] Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. (1981). Квантовая механика; Нерелятивистская теория. 3-е издание. Баттерворт-Хайнеманн. С. 424-426.

[3] Михайлов, С. А. (2001). «Новый подход к основному состоянию квантовых холловских систем. Основные принципы». Physica B: конденсированное вещество. 299: 6. arXiv:cond-mat / 0008227. Bibcode:2001PhyB..299 .... 6M. Дои:10.1016 / S0921-4526 (00) 00769-9.

[LandauLifshitz2013-4] Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (22 октября 2013 г.). Статистическая физика: Том 5. Эльзевир. п. 177. ISBN 978-0-08-057046-4.

[5] Аналитис, Джеймс Дж .; Blundell, Стивен Дж .; Ардаван, Аржанг (май 2004 г.). «Уровни Ландау, молекулярные орбитали и бабочка Хофштадтера в конечных системах». Американский журнал физики. 72 (5): 613–618. Дои:10.1119/1.1615568. ISSN 0002-9505.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]