Статические силы и обмен виртуальными частицами - Static forces and virtual-particle exchange

Статические силовые поля поля, такие как простой электрический, магнитный или же гравитационные поля, которые существуют без возбуждений. В наиболее распространенный метод аппроксимации что физики используют для расчеты рассеяния можно интерпретировать как статические силы, возникающие в результате взаимодействия двух тел, опосредованных виртуальные частицы, частицы, которые существуют только короткое время, определяемое принцип неопределенности.^[1] Виртуальные частицы, также известные как силовые носители, находятся бозоны, с разными бозонами, связанными с каждой силой.^[2]

Описание статических сил виртуальными частицами способно идентифицировать пространственную форму сил, такую ​​как поведение обратных квадратов в Закон всемирного тяготения Ньютона И в Закон Кулона. Он также может предсказать, являются ли силы притягивающими или отталкивающими для подобных тел.

В формулировка интеграла по путям естественный язык для описания носителей силы. В этой статье используется формулировка интеграла по путям для описания носителей силы для вращение 0, 1 и 2 поля. Пионы, фотоны, и гравитоны попадают в эти категории.

Есть пределы достоверности изображения виртуальной частицы. Формулировка виртуальной частицы получена из метода, известного как теория возмущений это приближение, предполагающее, что взаимодействия не слишком сильные, и предназначалось для задач рассеяния, а не для связанных состояний, таких как атомы. Для прочного силового связывания кварки в нуклоны при низких энергиях никогда не было доказано, что теория возмущений дает результаты, соответствующие экспериментам,^[3] таким образом, достоверность картины "частицы, опосредующей силу" сомнительна. Аналогично для связанные состояния метод не работает.^[4] В этих случаях физическая интерпретация должна быть пересмотрена. Например, расчеты атомной структуры в атомной физике или молекулярной структуры в квантовой химии не могут быть легко повторены, если вообще могут быть повторены, используя картину «частицы-посредника».^{[нужна цитата ]}

Использование изображения "частицы, опосредующей силу" (FMPP) не требуется в нерелятивистская квантовая механика, а закон Кулона используется в атомной физике и квантовой химии для вычисления связанных состояний и состояний рассеяния. Непертурбативный релятивистская квантовая теория, В котором сохраняются Лоренц-инвариантность, достижимо посредством оценки закона Кулона как 4-пространства взаимодействия с использованием вектора положения 3-пространства опорного электрона, подчиняющимся уравнению Дирака и квантовой траекторию второго электрона, которая зависит только от масштабированного времени. Квантовая траектория каждого электрона в ансамбле выводится из тока Дирака для каждого электрона, устанавливая его равным полю скорости, умноженному на квантовую плотность, вычисляя поле положения из интеграла по времени от поля скорости и, наконец, вычисляя квантовую траекторию из ожидаемого значения поля позиции. Квантовые траектории, конечно, зависят от спина, и теорию можно проверить, проверив, что Принцип исключения Паули соблюдается для сбора фермионы.

Классические силы

Сила, прилагаемая одной массой к другой, и сила, действующая одним зарядом на другую, поразительно похожи. Оба отваливаются как квадрат расстояния между телами. Оба они пропорциональны произведению свойств тел: массы в случае гравитации и заряда в случае электростатики.

У них также есть разительная разница. Две массы притягиваются друг к другу, а два одинаковых заряда отталкиваются.

В обоих случаях кажется, что тела действуют друг на друга на расстоянии. Концепция чего-либо поле был изобретен для взаимодействия между телами, что устраняет необходимость в действие на расстоянии. Гравитационная сила опосредована гравитационное поле а кулоновская сила опосредована электромагнитное поле.

Сила гравитации

В сила гравитации на массе ${ displaystyle m}$ вызванный другой массой ${ displaystyle M}$ является

${ displaystyle mathbf {F} = -G {mM over {r} ^ {2}} , mathbf { hat {r}} = m mathbf {g} left ( mathbf {r} верно),}$

куда грамм это гравитационная постоянная, r - расстояние между массами, а ${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ это единичный вектор из массы ${ displaystyle M}$ массировать ${ displaystyle m}$.

Силу также можно записать

${ Displaystyle mathbf {F} = м mathbf {g} left ( mathbf {r} right),}$

куда ${ Displaystyle mathbf {г} влево ( mathbf {г} вправо)}$ это гравитационное поле описывается уравнением поля

${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = -4 pi G rho _ {m},}$

куда ${ displaystyle rho _ {m}}$ это плотность вещества в каждой точке пространства.

Кулоновская сила

Электростатический Кулоновская сила на зарядке ${ displaystyle q}$ вызванный зарядом ${ displaystyle Q}$ является (Единицы СИ )

${ displaystyle mathbf {F} = {1 over 4 pi varepsilon _ {0}} {qQ over r ^ {2}} mathbf { hat {r}},}$

куда ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ это диэлектрическая проницаемость вакуума, ${ displaystyle r}$ - разделение двух зарядов, и ${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ это единичный вектор в направлении от заряда ${ displaystyle Q}$ заряжать ${ displaystyle q}$.

Кулоновскую силу также можно записать через электростатическое поле:

${ displaystyle mathbf {F} = q mathbf {E} left ( mathbf {r} right),}$

куда

${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = { frac { rho _ {q}} { varepsilon _ {0}}};}$

${ displaystyle rho _ {q}}$ будучи плотность заряда в каждой точке пространства.

Обмен виртуальными частицами

В теории возмущений силы порождаются обменом виртуальные частицы. Механику обмена виртуальными частицами лучше всего описать с помощью формулировка интеграла по путям квантовой механики. Однако есть понимание, которое можно получить, не вдаваясь в механизм интегралов по траекториям, например, почему классические гравитационные и электростатические силы уменьшаются как обратный квадрат расстояния между телами.

Интегральная формулировка обмена виртуальными частицами

Виртуальная частица создается возмущением состояние вакуума, а виртуальная частица разрушается, когда она снова поглощается в вакуумное состояние другим возмущением. Предполагается, что возмущения вызваны телами, которые взаимодействуют с полем виртуальных частиц.

Амплитуда вероятности

С помощью натуральные единицы, ${ displaystyle hbar = c = 1}$, амплитуда вероятности рождения, распространения и разрушения виртуальной частицы дана в формулировка интеграла по путям к

${ Displaystyle Z Equiv langle 0 | ехр влево (-i { шляпа {H}} T вправо) | 0 rangle = ехр влево (-iET right) = int D varphi ; exp left (i { mathcal {S}} [ varphi] right) ; = exp left (iW right)}$

куда ${ displaystyle { hat {H}}}$ это Гамильтонов оператор, ${ displaystyle T}$ истекшее время, ${ displaystyle E}$ изменение энергии из-за возмущения, ${ Displaystyle W = -ET}$ изменение действия из-за возмущения, ${ displaystyle varphi}$ поле виртуальной частицы, интеграл по всем траекториям, а классический действие дан кем-то

${ Displaystyle { mathcal {S}} [ varphi] = int mathrm {d} ^ {4} x ; {{ mathcal {L}} [ varphi (x)] ,}}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {L}} [ varphi (x)]}$ это Лагранжиан плотность.

Здесь пространство-время метрика дается

${ displaystyle eta _ { mu nu} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {pmatrix}}.}$

Интеграл по путям часто можно преобразовать к виду

${ displaystyle Z = int exp left [я int d ^ {4} x left ({ frac {1} {2}} varphi { hat {O}} varphi + J varphi right) right] D varphi}$

куда ${ displaystyle { hat {O}}}$ является дифференциальным оператором с ${ displaystyle varphi}$ и ${ displaystyle J}$ функции пространство-время. Первый член в аргументе представляет собой свободную частицу, а второй член представляет возмущение поля от внешнего источника, такого как заряд или масса.

Интеграл можно записать (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${ Displaystyle Z propto ехр влево (iW влево (J вправо) вправо)}$

куда

${ displaystyle W left (J right) = - {1 over 2} iint d ^ {4} x ; d ^ {4} y ; J left (x right) D left (xy right) J left (y right)}$

изменение действия из-за возмущений и пропагатор ${ Displaystyle D влево (х-у вправо)}$ это решение

${ displaystyle { hat {O}} D left (x-y right) = delta ^ {4} left (x-y right)}$.

Энергия взаимодействия

Мы предполагаем, что есть два точечных возмущения, представляющие два тела, и что возмущения неподвижны и постоянны во времени. Нарушения можно записать

${ Displaystyle J влево (х вправо) = влево (J_ {1} + J_ {2}, 0,0,0 вправо)}$

${ displaystyle J_ {1} = a_ {1} delta ^ {3} left ({ vec {x}} - { vec {x}} _ {1} right)}$

${ displaystyle J_ {2} = a_ {2} delta ^ {3} left ({ vec {x}} - { vec {x}} _ {2} right)}$

где дельта-функции находятся в пространстве, возмущения расположены в ${ displaystyle { vec {x}} _ {1}}$ и ${ displaystyle { vec {x}} _ {2}}$, а коэффициенты ${ displaystyle a_ {1}}$ и ${ displaystyle a_ {2}}$ сильные стороны беспорядков.

Если пренебречь самовзаимодействием возмущений, то W становится

${ Displaystyle W left (J right) = - iint d ^ {4} x ; d ^ {4} y ; J_ {1} left (x right) {1 over 2} left [D left (xy right) + D left (yx right) right] J_ {2} left (y right)}$,

что можно написать

${ Displaystyle W left (J right) = - Ta_ {1} a_ {2} int {d ^ {3} k over (2 pi) ^ {3}} ; ; D left ( k right) mid _ {k_ {0} = 0} ; exp left (i { vec {k}} cdot left ({ vec {x}} _ {1} - { vec {x}} _ {2} right) right)}$.

Здесь ${ Displaystyle D влево (к вправо)}$ - преобразование Фурье

${ Displaystyle {1 более 2} влево [D влево (х-у вправо) + D влево (у-х вправо) вправо]}$.

Наконец, изменение энергии из-за статических возмущений вакуума равно

${ displaystyle E = - {W over T} = a_ {1} a_ {2} int {d ^ {3} k over (2 pi) ^ {3}} ; ; D left ( k right) mid _ {k_ {0} = 0} ; exp left (i { vec {k}} cdot left ({ vec {x}} _ {1} - { vec {x}} _ {2} right) right)}$.

Если это количество отрицательно, сила притягивает. Если он положительный, сила отталкивающая.

Примеры статических, неподвижных, взаимодействующих токов: Юкава потенциал, Кулоновский потенциал в вакууме, и Кулоновский потенциал в простой плазме или электронном газе.

Выражение для энергии взаимодействия можно обобщить на ситуацию, когда точечные частицы движутся, но движение медленное по сравнению со скоростью света. Примеры Дарвиновское взаимодействие в вакууме и Дарвиновское взаимодействие в плазме.

Наконец, выражение для энергии взаимодействия можно обобщить на ситуации, в которых возмущения являются не точечными частицами, а, возможно, линейными зарядами, трубками зарядов или токовыми вихрями. Примеры Два линейных заряда, заключенные в плазму или электронный газ, Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле, и Магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе. Как видно из примера кулоновского взаимодействия между зарядными трубками, показанного ниже, эти более сложные геометрические формы могут привести к таким экзотическим явлениям, как дробные квантовые числа.

Избранные примеры

Потенциал Юкавы: сила между двумя нуклонами в атомном ядре

Рассмотрим вращение -0 плотность лагранжиана^[5]

${ Displaystyle { mathcal {L}} [ varphi (x)] = {1 более 2} left [ left ( partial varphi right) ^ {2} -m ^ {2} varphi ^ {2} right]}$.

Уравнение движения для этого лагранжиана есть Уравнение Клейна – Гордона

${ Displaystyle partial ^ {2} varphi + m ^ {2} varphi = 0}$.

Если мы добавим возмущение, амплитуда вероятности станет

${ displaystyle Z = int D varphi ; exp left {i int d ^ {4} x ; left [{1 over 2} left ( left ( partial varphi right ) ^ {2} -m ^ {2} varphi ^ {2} right) + J varphi right] right }}$.

Если интегрировать по частям и пренебречь граничными членами на бесконечности, амплитуда вероятности станет

${ displaystyle Z = int D varphi ; exp left {i int d ^ {4} x ; left [- {1 over 2} varphi left ( partial ^ {2} + m ^ {2} right) varphi + J varphi right] right }}$.

При такой форме амплитуды видно, что пропагатор является решением

${ displaystyle - left ( partial ^ {2} + m ^ {2} right) D left (x-y right) = delta ^ {4} left (x-y right)}$.

Из этого видно, что

${ displaystyle D left (k right) mid _ {k_ {0} = 0} ; = ; - {1 over { vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}} }$.

Энергия из-за статических возмущений становится (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${ displaystyle E = - {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r} exp left (-mr right)}$

с

${ displaystyle r ^ {2} = left ({ vec {x}} _ {1} - { vec {x}} _ {2} right) ^ {2}}$

который привлекателен и имеет ряд

${ displaystyle {1 over m}}$.

Юкава предположил, что это поле описывает силу между двумя нуклоны в атомном ядре. Это позволило ему предсказать как расстояние, так и массу частицы, теперь известной как пион, связанный с этим полем.

Электростатика

Кулоновский потенциал в вакууме

Рассмотрим вращение -1 Прока лагранжиан с беспокойством^[6]

${ displaystyle { mathcal {L}} [ varphi (x)] = - {1 over 4} F _ { mu nu} F ^ { mu nu} + {1 over 2} m ^ { 2} A _ { mu} A ^ { mu} + A _ { mu} J ^ { mu}}$

куда

${ Displaystyle F _ { mu nu} = partial _ { mu} A _ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu}}$,

заряд сохраняется

${ Displaystyle partial _ { mu} J ^ { mu} = 0}$,

и мы выбираем Датчик Лоренца

${ Displaystyle partial _ { mu} A ^ { mu} = 0}$.

Более того, мы предполагаем, что существует только временная составляющая ${ displaystyle J ^ {0}}$ к беспокойству. На обычном языке это означает, что в точках возмущения есть заряд, но нет электрических токов.

Если мы будем следовать той же процедуре, что и с потенциалом Юкавы, мы обнаружим, что

${ displaystyle - {1 over 4} int d ^ {4} xF _ { mu nu} F ^ { mu nu} = - {1 over 4} int d ^ {4} x left ( partial _ { mu} A _ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu} right) left ( partial ^ { mu} A ^ { nu} - partial ^ { nu} A ^ { mu} right)}$

${ displaystyle = {1 over 2} int d ^ {4} x ; A _ { nu} left ( partial ^ {2} A ^ { nu} - partial ^ { nu} partial _ { mu} A ^ { mu} right) = {1 over 2} int d ^ {4} x ; A ^ { mu} left ( eta _ { mu nu} частичный ^ {2} right) A ^ { nu},}$

что подразумевает

${ displaystyle eta _ { mu alpha} left ( partial ^ {2} + m ^ {2} right) D ^ { alpha nu} left (xy right) = delta _ { mu} ^ { nu} delta ^ {4} left (xy right)}$

и

${ displaystyle D _ { mu nu} left (k right) mid _ {k_ {0} = 0} ; = ; eta _ { mu nu} {1 over -k ^ { 2} + m ^ {2}}.}$

Это дает

${ displaystyle D left (k right) mid _ {k_ {0} = 0} ; = ; {1 over { vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}}}$

для подобный времени пропагатор и

${ displaystyle E = + {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r} exp left (-mr right)}$

что имеет знак, противоположный случаю Юкавы.

В пределе нуля фотон массы лагранжиан сводится к лагранжиану при электромагнетизм

${ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r}.}$

Следовательно, энергия сводится к потенциальной энергии кулоновской силы и коэффициентов ${ displaystyle a_ {1}}$ и ${ displaystyle a_ {2}}$ пропорциональны электрическому заряду. В отличие от случая с Юкавой, в этом электростатическом случае подобные тела отталкиваются друг от друга.

Кулоновский потенциал в простой плазме или электронном газе

Плазменные волны

В соотношение дисперсии за плазменные волны является^[7]

${ displaystyle omega ^ {2} = omega _ {p} ^ {2} + gamma left ( omega right) {T_ {e} over m} { vec {k}} ^ {2 }.}$

куда ${ displaystyle omega}$ - угловая частота волны,

${ displaystyle omega _ {p} ^ {2} = {4 pi ne ^ {2} over m}}$

это плазменная частота, ${ displaystyle e}$ это величина заряд электрона, ${ displaystyle m}$ это масса электрона, ${ displaystyle T_ {e}}$ электрон температура (Постоянная Больцмана равный единице), и ${ Displaystyle гамма влево ( омега вправо)}$ - коэффициент, который изменяется с частотой от одного до трех. На высоких частотах, порядка плазменной, сжатие электронной жидкости представляет собой адиабатический процесс и ${ Displaystyle гамма влево ( омега вправо)}$ равно трем. На низких частотах компрессия изотермический процесс и ${ Displaystyle гамма влево ( омега вправо)}$ равно единице. Замедление эффекты не учитывались при получении дисперсионного соотношения плазменных волн.

Для низких частот дисперсионное соотношение принимает вид

${ displaystyle { vec {k}} ^ {2} + { vec {k}} _ {D} ^ {2} = 0}$

куда

${ displaystyle k_ {D} ^ {2} = {4 pi ne ^ {2} over T_ {e}}}$

это число Дебая, которое является обратным Длина Дебая. Это говорит о том, что пропагатор

${ Displaystyle D влево (к вправо) mid _ {k_ {0} = 0} ; = ; {1 over { vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2 }}}$.

Фактически, если не пренебрегать эффектами запаздывания, то дисперсионное соотношение имеет вид

${ displaystyle -k_ {0} ^ {2} + { vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2} - {m over T_ {e}} k_ {0} ^ {2 } = 0,}$

что действительно дает предполагаемый пропагатор. Этот пропагатор совпадает с массивным кулоновским пропагатором с массой, равной обратной длине Дебая. Таким образом, энергия взаимодействия равна

${ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r} exp left (-k_ {D} r right).}$

Кулоновский потенциал экранирован на масштабах длины Дебая.

Плазмоны

В квантовой электронный газ плазменные волны известны как плазмоны. Дебайский скрининг заменен на Скрининг Томаса – Ферми уступить^[8]

${ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r} exp left (-k_ {s} r right)}$

где величина, обратная длине экранирования Томаса – Ферми, равна

${ displaystyle k_ {s} ^ {2} = {6 pi ne ^ {2} over epsilon _ {F}}}$

и ${ displaystyle epsilon _ {F}}$ это Энергия Ферми

${ displaystyle epsilon _ {F} = { frac { hbar ^ {2}} {2m}} left ({3 pi ^ {2} n} right) ^ {2/3} ,. }$

Это выражение может быть получено из химический потенциал для электронного газа и от Уравнение Пуассона. Химический потенциал электронного газа вблизи равновесия постоянен и определяется выражением

${ displaystyle mu = -e varphi + epsilon _ {F}}$

куда ${ displaystyle varphi}$ это электрический потенциал. Линеаризация энергии Ферми до первого порядка по флуктуации плотности и комбинирование с уравнением Пуассона дает длину экранирования. Носитель силы - это квантовая версия плазменная волна.

Два линейных заряда, заключенные в плазму или электронный газ

Рассмотрим линию заряда с осью в направлении z, погруженную в электронный газ

${ Displaystyle J_ {1} left (x right) = {a_ {1} over L_ {B}} {1 over 2 pi r} delta ^ {2} left (r right)}$

куда ${ displaystyle r}$ - расстояние в плоскости xy от линии заряда, ${ displaystyle L_ {B}}$ ширина материала по оси z. Верхний индекс 2 означает, что Дельта-функция Дирака находится в двух измерениях. Пропагатор

${ Displaystyle D влево (к вправо) mid _ {k_ {0} = 0} ; = ; {1 over { vec {k}} ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2 }}}$

куда ${ displaystyle k_ {Ds}}$ либо обратное Длина экрана Дебая-Хюккеля или наоборот Скрининг Томаса – Ферми длина.

Энергия взаимодействия равна

${ displaystyle E = left ({a_ {1} , a_ {2} over 2 pi L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} over k ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2}} { mathcal {J}} _ {0} left (kr_ {12} right) = left ({a_ {1} , a_ {2} более 2 pi L_ {B}} right) K_ {0} left (k_ {Ds} r_ {12} right)}$

куда

${ Displaystyle { mathcal {J}} _ {п} влево (х вправо)}$

и

${ Displaystyle К_ {0} влево (х вправо)}$

находятся Функции Бесселя и ${ displaystyle r_ {12}}$ расстояние между двумя линейными зарядами. Для получения энергии взаимодействия использовались интегралы (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} {d varphi over 2 pi} exp left (ip cos left ( varphi right) right) = { mathcal {J }} _ {0} left (p right)}$

и

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} над k ^ {2} + m ^ {2}} { mathcal {J}} _ {0} left (kr right) = K_ {0} left (mr right).}$

За ${ displaystyle k_ {DS} r_ {12} ll 1}$, у нас есть

${ displaystyle K_ {0} left (k_ {Ds} r_ {12} right) rightarrow - ln left ({k_ {Ds} r_ {12} over 2} right) +0,5772.}$

Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, погруженными в магнитное поле

Энергия взаимодействия для вихрей

Рассмотрим плотность заряда в трубке с осью вдоль магнитного поля, заключенного в электронный газ

${ displaystyle J_ {1} left (x right) = {a_ {1} over L_ {b}} {1 over 2 pi r} delta ^ {2} left (r-r_ {B1 }верно)}$

куда ${ displaystyle r}$ это расстояние от руководящий центр, ${ displaystyle L_ {B}}$ ширина материала в направлении магнитного поля

${ displaystyle r_ {B1} = {{ sqrt {4 pi}} m_ {1} v_ {1} over a_ {1} B} = { sqrt {2 hbar over m_ {1} omega _ {c}}}}$

где циклотронная частота является (Гауссовы единицы )

${ displaystyle omega _ {c} = {a_ {1} B over { sqrt {4 pi}} m_ {1} c}}$

и

${ displaystyle v_ {1} = { sqrt {2 hbar omega _ {c} over m_ {1}}}}$

- скорость частицы относительно магнитного поля, а B - величина магнитного поля. Формула скорости основана на установке классической кинетической энергии, равной расстоянию между Уровни Ландау в квантовой трактовке заряженной частицы в магнитном поле.

В этой геометрии энергию взаимодействия можно записать

${ displaystyle E = left ({a_ {1} , a_ {2} over 2 pi L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {k ; dk ; } D left (k right) mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} { mathcal {J}} _ {0} left (kr_ {B1} right) { mathcal { J}} _ {0} left (kr_ {B2} right) { mathcal {J}} _ {0} left (kr_ {12} right)}$

куда ${ displaystyle r_ {12}}$ - расстояние между центрами токовых петель и

${ Displaystyle { mathcal {J}} _ {п} влево (х вправо)}$

это Функция Бесселя первого вида. Для получения энергии взаимодействия мы использовали интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} {d varphi over 2 pi} exp left (ip cos left ( varphi right) right) = { mathcal {J }} _ {0} left (p right).}$

Электрическое поле из-за возмущения плотности

В химический потенциал около равновесия, определяется выражением

${ displaystyle mu = -e varphi + N hbar omega _ {c} = N_ {0} hbar omega _ {c}}$

куда ${ displaystyle -e varphi}$ это потенциальная энергия электрона в электрический потенциал и ${ displaystyle N_ {0}}$ и ${ displaystyle N}$ - количество частиц в электронном газе в отсутствие и при наличии электростатического потенциала соответственно.

Тогда флуктуация плотности равна

${ displaystyle delta n = {е varphi over hbar omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}}$

куда ${ displaystyle A_ {M}}$ - площадь материала в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

Уравнение Пуассона дает

${ displaystyle left (k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} right) varphi = 0}$

куда

${ displaystyle k_ {B} ^ {2} = {4 pi e ^ {2} over hbar omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}.}$

Тогда пропагатор

${ displaystyle D left (k right) mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} = {1 over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}}}$

и энергия взаимодействия становится

${ displaystyle E = left ({a_ {1} , a_ {2} over 2 pi L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}} { mathcal {J}} _ {0} left (kr_ {B1} right) { mathcal {J}} _ {0 } left (kr_ {B2} right) { mathcal {J}} _ {0} left (kr_ {12} right) = left ({2e ^ {2} over L_ {B}} справа) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} над k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} { mathcal {J}} _ {0} ^ {2} left (k right) { mathcal {J}} _ {0} left (k {r_ {12} over r_ {B}} right)}$

где во втором равенстве (Гауссовы единицы ) считаем, что вихри имеют одинаковую энергию и заряд электрона.

По аналогии с плазмоны, то носитель силы квантовая версия верхнегибридное колебание который является продольным плазменная волна который распространяется перпендикулярно магнитному полю.

Токи с угловым моментом

Токи функции дельты

Рис. 1. Зависимость энергии взаимодействия от r для состояний с угловым моментом со значением один. Кривые идентичны этим для любых значений ${ Displaystyle { mathit {l}} = {{ mathit {l}} ^ { prime}}}$. Длина в единицах измерения ${ displaystyle r _ { mathit {l}}}$, а энергия выражена в единицах ${ Displaystyle влево ({е ^ {2} над L_ {B}} вправо)}$. Здесь ${ displaystyle r = r_ {12}}$. Отметим, что для больших значений существуют локальные минимумы ${ displaystyle k_ {B}}$.

Рис. 2. Зависимость энергии взаимодействия от r для состояний с угловым моментом со значениями один и пять.

Рисунок 3. Зависимость энергии взаимодействия от r для различных значений тета. Самая низкая энергия для ${ displaystyle theta = { pi over 4}}$ или же ${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ { prime}} = 1}$. Наибольшая энергия показана для ${ Displaystyle theta = 0,90 { пи более 4}}$. Длины указаны в единицах измерения ${ Displaystyle г _ {{ mathit {l}} { mathit {l}} ^ { prime}}}$.

Рис. 4. Энергии основного состояния для четных и нечетных значений угловых моментов. Энергия откладывается по вертикальной оси, а r - по горизонтали. Когда полный угловой момент четный, минимум энергии возникает, когда ${ Displaystyle {{ mathit {l}} = { mathit {l}} ^ { prime}}}$ или же ${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ {*}} = {1 over 2}}$. Когда полный угловой момент нечетный, нет целых значений угловых моментов, которые будут лежать в минимуме энергии. Следовательно, есть два состояния, лежащих по обе стороны от минимума. Потому что ${ Displaystyle {{ mathit {l}} neq { mathit {l}} ^ { prime}}}$полная энергия больше, чем в случае, когда ${ Displaystyle {{ mathit {l}} = { mathit {l}} ^ { prime}}}$ для данного значения ${ displaystyle {{ mathit {l}} ^ {*}}}$.

В отличие от классических токов, квантовые токовые петли могут иметь различные значения Ларморовский радиус для заданной энергии.^[9] Уровни Ландау, энергетические состояния заряженной частицы в присутствии магнитного поля кратно выродиться. Токовые петли соответствуют угловой момент состояния заряженной частицы, которые могут иметь одинаковую энергию. В частности, плотность заряда достигает максимума около радиусов

${ displaystyle r _ { mathit {l}} = { sqrt { mathit {l}}} ; r_ {B} ; ; ; { mathit {l}} = 0,1,2, ldots}$

куда ${ displaystyle { mathit {l}}}$ это угловой момент квантовое число. Когда ${ displaystyle { mathit {l}} = 1}$ мы восстанавливаем классическую ситуацию, когда электрон вращается вокруг магнитного поля в Ларморовский радиус. Если токи двух угловых моментов ${ displaystyle { mathit {l}} _ {} ^ {}> 0}$ и ${ Displaystyle { mathit {l}} ^ { prime} geq { mathit {l}} _ {} ^ {}}$ взаимодействуют, и мы предполагаем, что плотности заряда являются дельта-функциями на радиусе ${ displaystyle r _ { mathit {l}}}$, то энергия взаимодействия равна

${ displaystyle E = left ({2e ^ {2} over L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r _ { mathit {l}} ^ {2}} ; { mathcal {J}} _ {0} left (k right) ; { mathcal {J }} _ {0} left ({ sqrt {{{ mathit {l}} ^ { prime}} over { mathit {l}}}} ; k right) ; { mathcal { J}} _ {0} left (k {r_ {12} over r _ { mathit {l}}} right).}$

Энергия взаимодействия для ${ Displaystyle { mathit {l}} = { mathit {l}} ^ { prime}}$ приведено на рисунке 1 для различных значений ${ displaystyle k_ {B} r _ { mathit {l}}}$. Энергия для двух разных значений представлена ​​на рисунке 2.

Квазичастицы

При больших значениях углового момента энергия может иметь локальные минимумы на расстояниях, отличных от нуля и бесконечности. Численно можно проверить, что минимумы возникают при

${ Displaystyle r_ {12} = r _ {{ mathit {l}} { mathit {l}} ^ { prime}} = { sqrt {{ mathit {l}} + { mathit {l}} ^ { prime}}} ; r_ {B}.}$

Это говорит о том, что пара частиц, которые связаны и разделены расстоянием ${ Displaystyle г _ {{ mathit {l}} { mathit {l}} ^ { prime}}}$ действовать как один квазичастица с угловым моментом ${ Displaystyle { mathit {l}} + { mathit {l}} ^ { prime}}$.

Если мы масштабируем длины как ${ Displaystyle г _ {{ mathit {l}} { mathit {l}} ^ { prime}}}$, то энергия взаимодействия принимает вид

${ displaystyle E = left ({2e ^ {2} over L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r _ {{ mathit {l}} { mathit {l}} ^ { prime}} ^ {2}} ; { mathcal {J}} _ {0} left ( cos theta ; k right) ; { mathcal {J}} _ {0} left ( sin theta ; k right) ; { mathcal {J}} _ { 0} left (k {r_ {12} over r _ {{ mathit {l}} { mathit {l}} ^ { prime}}} right)}$

куда

${ displaystyle tan theta = { sqrt {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ { prime}}}.}$

Ценность ${ displaystyle r_ {12}}$ при которой энергия минимальна, ${ displaystyle r_ {12} = r _ {{ mathit {l}} { mathit {l}} ^ { prime}}}$, не зависит от отношения ${ displaystyle tan theta = { sqrt {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ { prime}}}}}$. Однако минимальное значение энергии зависит от соотношения. Самый низкий минимум энергии возникает, когда

${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ { prime}} = 1.}$

Когда соотношение отличается от 1, то минимум энергии выше (Рисунок 3). Следовательно, для четных значений полного импульса наименьшая энергия имеет место, когда (рисунок 4)

${ Displaystyle { mathit {l}} = { mathit {l}} ^ { prime} = 1}$

или же

${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ {*}} = {1 over 2}}$

где полный угловой момент записывается как

${ displaystyle {{ mathit {l}} ^ {*}} = { mathit {l}} + {{ mathit {l}} ^ { prime}}.}$

Когда полный угловой момент нечетный, минимумы не могут иметь место для ${ displaystyle {{ mathit {l}} = { mathit {l}} ^ { prime}}.}$ Наинизшие энергетические состояния для нечетного полного углового момента возникают, когда

${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ {*}} = ; {{ mathit {l}} ^ {*} pm 1 over 2 { mathit { l}} ^ {*}}}$

или же

${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ {*}} = {1 over 3}, {2 over 5}, {3 over 7}, { mbox {так далее.,}}}$

и

${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ {*}} = {2 over 3}, {3 over 5}, {4 over 7}, { mbox {так далее.,}}}$

которые также отображаются как ряды для коэффициента заполнения в дробный квантовый эффект Холла.

Распределение плотности заряда по волновой функции

Плотность заряда на самом деле не сосредоточена в дельта-функции. Заряд распределен по волновой функции. В этом случае электронная плотность равна^[10]

${ displaystyle {1 over pi r_ {B} ^ {2} L_ {B}} {1 over n!} left ({r over r_ {B}} right) ^ {2 { mathit {l}}} exp left (- {r ^ {2} over r_ {B} ^ {2}} right).}$

Энергия взаимодействия становится

${ displaystyle E = left ({2e ^ {2} over L_ {B}} right) int _ {0} ^ { infty} {{k ; dk ;} over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} ; M left ({ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} over 4} right ) ; M left ({ mathit {l}} ^ { prime} +1,1, - {k ^ {2} over 4} right) ; { mathcal {J}} _ {0 } left (k {r_ {12} over r_ {B}} right)}$

куда ${ displaystyle M}$ это конфлюэнтная гипергеометрическая функция или же Функция Куммера. Для получения энергии взаимодействия использовался интеграл (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${ Displaystyle {2 над п!} int _ {0} ^ { infty} {dr} ; r ^ {2n + 1} exp left (-r ^ {2} right) J_ {0 } left (kr right) = M left (n + 1,1, - {k ^ {2} over 4} right).}$

Как и в случае зарядов дельта-функции, значение ${ displaystyle r_ {12}}$ в котором энергия является локальным минимумом, зависит только от полного углового момента, а не от угловых моментов отдельных токов. Кроме того, как и в случае зарядов с дельта-функцией, энергия в минимуме увеличивается при изменении отношения угловых моментов от единицы. Следовательно, серия

${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ {*}} = {1 over 3}, {2 over 5}, {3 over 7}, { mbox {так далее.,}}}$

и

${ displaystyle {{ mathit {l}} over { mathit {l}} ^ {*}} = {2 over 3}, {3 over 5}, {4 over 7}, { mbox {так далее.,}}}$

появляются и в случае разнесения зарядов волновой функцией.

В Волновая функция Лафлина является анзац для квазичастичной волновой функции. Если взять математическое ожидание энергии взаимодействия за Волновая функция Лафлина, эти серии также сохранились.

Магнитостатика

Дарвиновское взаимодействие в вакууме

Заряженная движущаяся частица может создавать магнитное поле, которое влияет на движение другой заряженной частицы. Статическая версия этого эффекта называется Дарвиновское взаимодействие. Чтобы вычислить это, рассмотрим электрические токи в пространстве, создаваемые движущимся зарядом.

${ displaystyle { vec {J}} _ {1} left ({ vec {x}} right) = a_ {1} { vec {v}} _ {1} delta ^ {3} слева ({ vec {x}} - { vec {x}} _ {1} right)}$

с сопоставимым выражением для ${ displaystyle { vec {J}} _ {2}}$.

Преобразование Фурье этого тока есть

${ displaystyle { vec {J}} _ {1} left ({ vec {k}} right) = a_ {1} { vec {v}} _ {1} exp left (i { vec {k}} cdot { vec {x}} _ {1} right).}$

Ток можно разделить на поперечную и продольную части (см. Разложение Гельмгольца ).

${ displaystyle { vec {J}} _ {1} left ({ vec {k}} right) = a_ {1} left [1 - { hat {k}} { hat {k} } right] cdot { vec {v}} _ {1} exp left (i { vec {k}} cdot { vec {x}} _ {1} right) + a_ {1 } left [{ hat {k}} { hat {k}} right] cdot { vec {v}} _ {1} exp left (i { vec {k}} cdot { vec {x}} _ {1} right).}$

Шляпа указывает на единичный вектор. Последний термин исчезает, потому что

${ displaystyle { vec {k}} cdot { vec {J}} = - k_ {0} J ^ {0} rightarrow 0,}$

что является результатом сохранения заряда. Здесь ${ displaystyle k_ {0}}$ исчезает, потому что мы рассматриваем статические силы.

С током в таком виде энергию взаимодействия можно записать

${ displaystyle E = a_ {1} a_ {2} int {d ^ {3} k over (2 pi) ^ {3}} ; ; D left (k right) mid _ { k_ {0} = 0} ; { vec {v}} _ {1} cdot left [1 - { hat {k}} { hat {k}} right] cdot { vec { v}} _ {2} ; exp left (i { vec {k}} cdot left (x_ {1} -x_ {2} right) right)}$.

Уравнение пропагатора для лагранжиана Прока имеет вид

${ displaystyle eta _ { mu alpha} left ( partial ^ {2} + m ^ {2} right) D ^ { alpha nu} left (xy right) = delta _ { mu} ^ { nu} delta ^ {4} left (xy right).}$

В космический решение

${ displaystyle D left (k right) mid _ {k_ {0} = 0} ; = ; - {1 over { vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}} ,}$

что дает

${ displaystyle E = -a_ {1} a_ {2} int {d ^ {3} k over (2 pi) ^ {3}} ; ; {{ vec {v}} _ {1 } cdot left [1 - { hat {k}} { hat {k}} right] cdot { vec {v}} _ {2} over { vec {k}} ^ {2 } + m ^ {2}} ; exp left (i { vec {k}} cdot left (x_ {1} -x_ {2} right) right)}$

который оценивается как (см. Общие интегралы в квантовой теории поля )

${ displaystyle E = - {1 over 2} {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r} e ^ {- mr} left {{2 over left (mr right) ^ {2}} left (e ^ {mr} -1 right) - {2 over mr} right } { vec {v}} _ {1} cdot left [1 + { hat { r}} { hat {r}} right] cdot { vec {v}} _ {2}}$

что сводится к

${ displaystyle E = - {1 over 2} {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r} { vec {v}} _ {1} cdot left [1 + { hat { r}} { hat {r}} right] cdot { vec {v}} _ {2}}$

в пределе малых м. Энергия взаимодействия является отрицательной по отношению к лагранжиану взаимодействия. Для двух одинаковых частиц, движущихся в одном направлении, взаимодействие является притягивающим, что противоположно кулоновскому взаимодействию.

Дарвиновское взаимодействие в плазме

В плазме соотношение дисперсии для электромагнитная волна является^[11] (${ displaystyle c = 1}$)

${ displaystyle k_ {0} ^ {2} = omega _ {p} ^ {2} + { vec {k}} ^ {2},}$

что подразумевает

${ displaystyle D left (k right) mid _ {k_ {0} = 0} ; = ; - {1 over { vec {k}} ^ {2} + omega _ {p} ^ {2}}.}$

Здесь ${ displaystyle omega _ {p}}$ это плазменная частота. Таким образом, энергия взаимодействия равна

${ displaystyle E = - {1 over 2} {a_ {1} a_ {2} over 4 pi r} { vec {v}} _ {1} cdot left [1 + { hat { r}} { hat {r}} right] cdot { vec {v}} _ {2} ; e ^ {- omega _ {p} r} left {{2 over left ( omega _ {p} r right) ^ {2}} left (e ^ { omega _ {p} r} -1 right) - {2 over omega _ {p} r} right }.}$

Магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе

Энергия взаимодействия

Рассмотрим трубку тока, вращающуюся в магнитном поле, встроенную в простой плазма или электронный газ. The current, which lies in the plane perpendicular to the magnetic field, is defined as

${displaystyle {vec {J}}_{1}left({vec {x}} ight)=a_{1}v_{1}{1 over 2pi rL_{B}};delta ^{2}left(r-r_{B1} ight);left({{hat {b}} imes {hat {r}}} ight)}$

куда

${displaystyle r_{B1}={{sqrt {4pi }}m_{1}v_{1} over a_{1}B}}$

и ${ displaystyle { hat {b}}}$ is the unit vector in the direction of the magnetic field. Здесь ${displaystyle L_{B}}$ indicates the dimension of the material in the direction of the magnetic field. The transverse current, perpendicular to the wave vector, движет поперечная волна.

The energy of interaction is

${displaystyle E=left({a_{1},a_{2} over 2pi L_{B}} ight)v_{1},v_{2},int _{0}^{infty }{k;dk;}Dleft(k ight)mid _{k_{0}=k_{B}=0}{mathcal {J}}_{1}left(kr_{B1} ight){mathcal {J}}_{1}left(kr_{B2} ight){mathcal {J}}_{0}left(kr_{12} ight)}$

куда ${ displaystyle r_ {12}}$ is the distance between the centers of the current loops and

${displaystyle {mathcal {J}}_{n}left(x ight)}$

это Функция Бесселя первого вида. In obtaining the interaction energy we made use of the integrals

${displaystyle int _{0}^{2pi }{dvarphi over 2pi }exp left(ipcos left(varphi ight) ight)={mathcal {J}}_{0}left(p ight)}$

и

${displaystyle int _{0}^{2pi }{dvarphi over 2pi }cos left(varphi ight)exp left(ipcos left(varphi ight) ight)=i{mathcal {J}}_{1}left(p ight).}$

Видеть Общие интегралы в квантовой теории поля.

A current in a plasma confined to the plane perpendicular to the magnetic field generates an extraordinary wave.^[12] This wave generates Hall currents that interact and modify the electromagnetic field. В соотношение дисперсии for extraordinary waves is^[13]

${displaystyle -k_{0}^{2}+{vec {k}}^{2}+omega _{p}^{2}{left(k_{0}^{2}-omega _{p}^{2} ight) over left(k_{0}^{2}-omega _{H}^{2} ight)}=0,}$

which gives for the propagator

${displaystyle Dleft(k ight)mid _{k_{0}=k_{B}=0};=;-left({1 over {vec {k}}^{2}+k_{X}^{2}} ight)}$

куда

${displaystyle k_{X}equiv {omega _{p}^{2} over omega _{H}}}$

in analogy with the Darwin propagator. Here, the upper hybrid frequency is given by

${displaystyle omega _{H}^{2}=omega _{p}^{2}+omega _{c}^{2},}$

в циклотронная частота дан кем-то (Гауссовы единицы )

${displaystyle omega _{c}={eB over mc},}$

и плазменная частота (Гауссовы единицы )

${displaystyle omega _{p}^{2}={4pi ne^{2} over m}.}$

Here n is the electron density, e is the magnitude of the electron charge, and m is the electron mass.

The interaction energy becomes, for like currents,

${displaystyle E=-left({a^{2} over 2pi L_{B}} ight)v^{2},int _{0}^{infty }{k;dk over {vec {k}}^{2}+k_{X}^{2}}{mathcal {J}}_{1}^{2}left(kr_{B} ight){mathcal {J}}_{0}left(kr_{12} ight)}$

Limit of small distance between current loops

In the limit that the distance between current loops is small,

${displaystyle E=-E_{0};I_{1}left(mu ight)K_{1}left(mu ight)}$

куда

${displaystyle E_{0}=left({a^{2} over 2pi L_{B}} ight)v^{2}}$

и

${displaystyle mu ={omega _{p}^{2}r_{B} over omega _{H}}=k_{X};r_{B}}$

and I and K are modified Bessel functions. we have assumed that the two currents have the same charge and speed.

We have made use of the integral (see Общие интегралы в квантовой теории поля )

${displaystyle int _{o}^{infty }{k;dk over k^{2}+m^{2}}{mathcal {J}}_{1}^{2}left(kr ight)=I_{1}left(mr ight)K_{1}left(mr ight).}$

For small mr the integral becomes

${displaystyle I_{1}left(mr ight)K_{1}left(mr ight) ightarrow {1 over 2}left[1-{1 over 8}left(mr ight)^{2} ight].}$

For large mr the integral becomes

${displaystyle I_{1}left(mr ight)K_{1}left(mr ight) ightarrow {1 over 2};left({1 over mr} ight).}$