Лагранжиан Дарвина - Darwin Lagrangian

В Лагранжиан Дарвина (названный в честь Чарльз Гальтон Дарвин, внук натуралист ) описывает взаимодействие на заказ ${ displaystyle { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}$ между двумя заряженными частицами в вакууме и определяется выражением^[1]

{ displaystyle L = L _ { text {f}} + L _ { text {int}},}

где свободная частица Лагранжиан является

{ displaystyle L _ { text {f}} = { frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + { frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {1} v_ {1} ^ {4} + { frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} + { frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {2} v_ {2} ^ {4},}

а лагранжиан взаимодействия равен

{ displaystyle L _ { text {int}} = L _ { text {C}} + L _ { text {D}},}

где Кулоновское взаимодействие является

{ displaystyle L _ { text {C}} = - { frac {q_ {1} q_ {2}} {r}},}

и Дарвин взаимодействие

{ displaystyle L _ { text {D}} = { frac {q_ {1} q_ {2}} {r}} { frac {1} {2c ^ {2}}} mathbf {v} _ { 1} cdot left [ mathbf {1} + mathbf { hat {r}} mathbf { hat {r}} right] cdot mathbf {v} _ {2}.}

Вот q₁ и q₂ - заряды на частицах 1 и 2 соответственно, м₁ и м₂ - массы частиц, v₁ и v₂ - скорости частиц, c это скорость света, р - вектор между двумя частицами, а ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ это единичный вектор в направлении р.

Свободный лагранжиан - это Расширение Тейлора свободного лагранжиана двух релятивистских частиц до второго порядка по v. Член дарвиновского взаимодействия обусловлен реакцией одной частицы на магнитное поле генерируется другой частицей. Если условия высшего порядка в v/c сохраняются, то необходимо учитывать степени свободы поля, и взаимодействие между частицами больше нельзя считать мгновенным. В этом случае задержка эффекты необходимо учитывать.

Получение в вакууме

Лагранжиан релятивистского взаимодействия для частицы с зарядом q, взаимодействующей с электромагнитным полем, имеет вид^[2]

{ displaystyle L _ { text {int}} = - q Phi + {q over c} mathbf {u} cdot mathbf {A},}

где ты - релятивистская скорость частицы. Первый член справа порождает кулоновское взаимодействие. Второй член порождает дарвиновское взаимодействие.

В векторный потенциал в Кулоновский калибр описывается^[3] (Гауссовы единицы )

{ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {A} - {1 over c ^ {2}} { partial ^ {2} mathbf {A} over partial t ^ {2}} = - { 4 pi over c} mathbf {J} _ {t}}

где поперечный ток J_т это соленоидный ток (увидеть Разложение Гельмгольца ), порожденный второй частицей. В расхождение поперечного тока равен нулю.

Ток, создаваемый второй частицей, равен

{ displaystyle mathbf {J} = q_ {2} mathbf {v} _ {2} delta left ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {2} right),}

который имеет преобразование Фурье

{ Displaystyle mathbf {J} влево ( mathbf {k} right) эквив int d ^ {3} r exp left (-i mathbf {k} cdot mathbf {r} right ) mathbf {J} left ( mathbf {r} right) = q_ {2} mathbf {v} _ {2} exp left (-i mathbf {k} cdot mathbf {r} _ {2} right).}

Поперечная составляющая тока равна

{ displaystyle mathbf {J} _ {t} left ( mathbf {k} right) = q_ {2} left [ mathbf {1} - mathbf { hat {k}} mathbf { hat {k}} right] cdot mathbf {v} _ {2} exp left (-i mathbf {k} cdot mathbf {r} _ {2} right).}

Легко проверить, что

{ displaystyle mathbf {k} cdot mathbf {J} _ {t} left ( mathbf {k} right) = 0,}

что должно быть истинным, если расходимость поперечного тока равна нулю. Мы видим, что

{ displaystyle mathbf {J} _ {t} left ( mathbf {k} right)}

- составляющая тока, преобразованного Фурье, перпендикулярная k.

Из уравнения для векторного потенциала преобразование Фурье векторного потенциала имеет вид

{ Displaystyle mathbf {A} left ( mathbf {k} right) = {4 pi over c} {q_ {2} over k ^ {2}} left [ mathbf {1} - mathbf { hat {k}} mathbf { hat {k}} right] cdot mathbf {v} _ {2} exp left (-i mathbf {k} cdot mathbf {r } _ {2} right)}

где мы сохранили только член самого низкого порядка в v / c.

Обратное преобразование Фурье векторного потенциала имеет вид

{ Displaystyle mathbf {A} left ( mathbf {r} right) = int {d ^ {3} k over left (2 pi right) ^ {3}} ; mathbf { A} left ( mathbf {k} right) ; { exp left (i mathbf {k} cdot mathbf {r} _ {1} right)} = {q_ {2} over 2c} {1 over r} left [ mathbf {1} + mathbf { hat {r}} mathbf { hat {r}} right] cdot mathbf {v} _ {2}}

где

{ Displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} _ {1} - mathbf {r} _ {2}}

(увидеть Общие интегралы в квантовой теории поля ).

Член дарвиновского взаимодействия в лагранжиане тогда

${ displaystyle L _ { rm {D}} = {q_ {1} q_ {2} over r} {1 over 2c ^ {2}} mathbf {v} _ {1} cdot left [ mathbf {1} + mathbf { hat {r}} mathbf { hat {r}} right] cdot mathbf {v} _ {2}}$

где снова мы оставили только член самого низкого порядка в v / c.

Лагранжевы уравнения движения

В уравнение движения для одной из частиц

{ displaystyle {d over dt} { partial over partial mathbf {v} _ {1}} L left ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {v} _ {1} right) = nabla _ {1} L left ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {v} _ {1} right)}

{ displaystyle {d mathbf {p} _ {1} over dt} = nabla _ {1} L left ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {v} _ {1} right )}

где п₁ это импульс частицы.

Бесплатная частица

Уравнение движения свободной частицы без учета взаимодействия между двумя частицами имеет вид

{ displaystyle {d over dt} left [ left (1+ {1 over 2} {v_ {1} ^ {2} over c ^ {2}} right) m_ {1} mathbf { v} _ {1} right] = 0}

{ displaystyle mathbf {p} _ {1} = left (1+ {1 over 2} {v_ {1} ^ {2} over c ^ {2}} right) m_ {1} mathbf {v} _ {1}}

Взаимодействующие частицы

Для взаимодействующих частиц уравнение движения принимает вид

{ displaystyle {d over dt} left [ left (1+ {1 over 2} {v_ {1} ^ {2} over c ^ {2}} right) m_ {1} mathbf { v} _ {1} + {q_ {1} over c} mathbf {A} left ( mathbf {r} _ {1} right) right] = - nabla {q_ {1} q_ { 2} over r} + nabla left [{q_ {1} q_ {2} over r} {1 over 2c ^ {2}} mathbf {v} _ {1} cdot left [ mathbf {1} + mathbf { hat {r}} mathbf { hat {r}} right] cdot mathbf {v} _ {2} right]}

${ displaystyle {d mathbf {p} _ {1} over dt} = {q_ {1} q_ {2} over r ^ {2}} { hat { mathbf {r}}} + {q_ {1} q_ {2} over r ^ {2}} {1 over 2c ^ {2}} left { mathbf {v} _ {1} left ({{ hat { mathbf {r }}} cdot mathbf {v} _ {2}} right) + mathbf {v} _ {2} left ({{ hat { mathbf {r}}} cdot mathbf {v} _ {1}} right) - { hat { mathbf {r}}} left [ mathbf {v} _ {1} cdot left ( mathbf {1} +3 { hat { mathbf {r}}} { hat { mathbf {r}}} right) cdot mathbf {v} _ {2} right] right }}$

{ displaystyle mathbf {p} _ {1} = left (1+ {1 over 2} {v_ {1} ^ {2} over c ^ {2}} right) m_ {1} mathbf {v} _ {1} + {q_ {1} over c} mathbf {A} left ( mathbf {r} _ {1} right)}

{ Displaystyle mathbf {A} left ( mathbf {r} _ {1} right) = {q_ {2} over 2c} {1 over r} left [ mathbf {1} + mathbf { hat {r}} mathbf { hat {r}} right] cdot mathbf {v} _ {2}}

{ Displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} _ {1} - mathbf {r} _ {2}}

Гамильтониан для двух частиц в вакууме

Дарвин Гамильтониан для двух частиц в вакууме связано с лагранжианом соотношением Превращение Лежандра

{ displaystyle H = mathbf {p} _ {1} cdot mathbf {v} _ {1} + mathbf {p} _ {2} cdot mathbf {v} _ {2} -L.}

Гамильтониан становится

${ displaystyle H left ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {p} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, mathbf {p} _ {2} right) = left (1- {1 over 4} {p_ {1} ^ {2} over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} right) {p_ {1} ^ {2} over 2m_ {1}} ; + ; left (1- {1 over 4} {p_ {2} ^ {2} over m_ {2} ^ {2} c ^ {2}} right) { p_ {2} ^ {2} over 2m_ {2}} ; + ; {q_ {1} q_ {2} over r} ; - ; {q_ {1} q_ {2} over r } {1 более 2 м_ {1} м_ {2} c ^ {2}} mathbf {p} _ {1} cdot left [ mathbf {1} + mathbf { hat {r}} mathbf { hat {r}} right] cdot mathbf {p} _ {2}.}$

Гамильтоновы уравнения движения

Гамильтоновы уравнения движения:

{ displaystyle mathbf {v} _ {1} = { partial H over partial mathbf {p} _ {1}}}

и

{ displaystyle {d mathbf {p} _ {1} over dt} = - nabla _ {1} H}

которые дают

{ displaystyle mathbf {v} _ {1} = left (1- {1 over 2} {p_ {1} ^ {2} over m_ {1} ^ {2} c ^ {2}} справа) { mathbf {p} _ {1} over m_ {1}} - {q_ {1} q_ {2} over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} {1 over r } left [ mathbf {1} + mathbf { hat {r}} mathbf { hat {r}} right] cdot mathbf {p} _ {2}}

и

${ displaystyle {d mathbf {p} _ {1} over dt} = {q_ {1} q_ {2} over r ^ {2}} { hat { mathbf {r}}} ; + ; {q_ {1} q_ {2} over r ^ {2}} {1 over 2m_ {1} m_ {2} c ^ {2}} left { mathbf {p} _ {1} left ({{ hat { mathbf {r}}} cdot mathbf {p} _ {2}} right) + mathbf {p} _ {2} left ({{ hat { mathbf {r}}} cdot mathbf {p} _ {1}} right) - { hat { mathbf {r}}} left [ mathbf {p} _ {1} cdot left ( mathbf {1} +3 { hat { mathbf {r}}} { hat { mathbf {r}}} right) cdot mathbf {p} _ {2} right] right }}$

Обратите внимание, что квантово-механический Уравнение Брейта первоначально использовался лагранжиан Дарвина с гамильтонианом Дарвина в качестве классической отправной точки, хотя уравнение Брейта было бы лучше подтверждено Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана и еще лучше квантовая электродинамика.

Смотрите также

использованная литература

^ Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN 047130932X. стр. 596-598
^ Джексон, стр. 580-581.
^ Джексон, стр. 242.

[1] Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN 047130932X. стр. 596-598

[2] Джексон, стр. 580-581.

[3] Джексон, стр. 242.

[1]

[2]

[3]