Уравнения движения - Equations of motion

Часть серии по
Классическая механика
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Второй закон движения
История Лента новостей Учебники
ветви Применено Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование  (соотношение ) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный  / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  (линейный ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика

${ displaystyle v}$ против ${ displaystyle t}$ график движущейся частицы при неравномерном ускорении ${ displaystyle a}$.

В физика, уравнения движения находятся уравнения которые описывают поведение физическая система с точки зрения его движение как функция времени.^[1] Более конкретно, уравнения движения описывают поведение физической системы как набор математических функций в терминах динамических переменных. Эти переменные обычно являются пространственными координатами и временем, но могут включать импульс компоненты. Самый общий выбор: обобщенные координаты которыми могут быть любые удобные переменные, характерные для физической системы.^[2] Функции определены в Евклидово пространство в классическая механика, но заменены на искривленные пространства в относительность. Если динамика системы, уравнения являются решениями дифференциальные уравнения описывающий движение динамики.

Есть два основных описания движения: динамика и кинематика. Динамика общая, поскольку импульсы, силы и энергия из частицы принимаются во внимание. В этом случае иногда термин динамика относится к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяет система (например, Второй закон Ньютона или Уравнения Эйлера – Лагранжа. ), а иногда и решения этих уравнений.

Однако кинематика проще. Это касается только переменных, полученных из положения предметов и времени. В условиях постоянного ускорения эти более простые уравнения движения обычно называют Уравнения СУВАТ, возникающие из определения кинематических величин: перемещение (s), Начальная скорость (ты), конечная скорость (v), ускорение (а), и время (т).

Поэтому уравнения движения можно сгруппировать по этим основным классификаторам движения. Во всех случаях основными типами движения являются переводы, вращения, колебания, или любые их комбинации.

Дифференциальное уравнение движения, обычно обозначаемое как физический закон и применяя определения из физические величины, используется для составления уравнения для задачи.^{[требуется разъяснение ]} Решение дифференциального уравнения приведет к общему решению с произвольными постоянными, произвольность которого соответствует семейству решений. Конкретное решение можно получить, задав начальные значения, который фиксирует значения констант.

Чтобы сформулировать это формально, в общем уравнение движения M это функция из должность р объекта, его скорость (первый раз производная из р, v = dр/dt), и его ускорение (второй производная из р, а = d²р/dt²), и время т. Евклидовы векторы в 3D обозначены жирным шрифтом. Это эквивалентно выражению уравнения движения в р второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) в р,

${ displaystyle M left [ mathbf {r} (t), mathbf { dot {r}} (t), mathbf { ddot {r}} (t), t right] = 0 , ,}$

где т время, и каждая точка обозначает одну производная по времени. В первоначальные условия даны постоянный значения на т = 0,

${ Displaystyle mathbf {r} (0) ,, quad mathbf { dot {r}} (0) ,.}$

Решение р(т) к уравнению движения, с заданными начальными значениями, описывает систему на все времена т после т = 0. Другие динамические переменные, такие как импульс п объекта, или количества, полученные из р и п любить угловой момент, может использоваться вместо р как величина, которую нужно найти из некоторого уравнения движения, хотя положение объекта во времени т это, безусловно, самое востребованное количество.

Иногда уравнение будет линейный и, скорее всего, будет решаемо точно. В общем, уравнение будет нелинейный, и не может быть решена точно, поэтому необходимо использовать различные приближения. Решения нелинейных уравнений могут показать хаотичный поведение в зависимости от того, как чувствительный система к начальным условиям.

История

Кинематика, динамика и математические модели Вселенной постепенно развивались на протяжении трех тысячелетий благодаря многим мыслителям, имена некоторых из которых мы знаем. В древности священники, астрологи и астрономы предсказал солнечный и лунный затмения, солнцестояние и равноденствия солнце и период Луна. Но у них не было ничего, кроме набора алгоритмов, которыми они руководствовались. Уравнения движения не записывались еще тысячу лет.

Средневековые ученые в тринадцатом веке - например, в относительно новых университетах в Оксфорде и Париже - опирались на древних математиков (Евклид и Архимед) и философов (Аристотель) для разработки новой совокупности знаний, которая теперь называется физикой.

В Оксфорде Мертон Колледж приютил группу ученых, посвятивших себя естественным наукам, в основном физики, астрономии и математики, которые были не хуже интеллектуалов Парижского университета. Томас Брэдвардин расширенные аристотелевские величины, такие как расстояние и скорость, и приписывание им интенсивности и протяженности. Брэдвардин предложил экспоненциальный закон, включающий силу, сопротивление, расстояние, скорость и время. Николас Орем далее расширил аргументы Брэдуардина. В Школа Мертона доказал, что количество движения тела, совершающего равноускоренное движение, равно количеству равномерного движения со скоростью, достигаемой на полпути через ускоренное движение.

Для писателей по кинематике до Галилео, поскольку малые интервалы времени невозможно было измерить, связь между временем и движением была неясной. Они использовали время как функцию от расстояния, а при свободном падении - большую скорость в результате большего подъема. Только Доминго де Сото, испанский теолог, в своем комментарии к Аристотель с Физика опубликованный в 1545 году, после определения «равномерного дифформного» движения (которое является равномерно ускоренным движением) - слово скорость не использовалось - как пропорционального времени, правильно заявил, что этот вид движения можно отождествить со свободно падающими телами и снарядами, без его доказывая эти утверждения или предлагая формулу, связывающую время, скорость и расстояние. Комментарии Де Сото в высшей степени верны в отношении определений ускорения (ускорение - это скорость изменения движения (скорости) во времени) и наблюдения, что ускорение будет отрицательным во время подъема.

Подобные дискурсы распространились по Европе, определяя работу Галилео Галилей и другие, и помог заложить основы кинематики.^[3] Галилей вывел уравнение s = 1/2gt² в своей работе геометрически,^[4] с использованием Правило Мертона, ныне известный как частный случай одного из уравнений кинематики.

Галилей первым показал, что путь снаряда - это парабола. Галилей понимал центробежная сила и дал правильное определение импульс. Этот упор на импульс как на фундаментальную величину динамики имеет первостепенное значение. Он измерил импульс как произведение скорости и веса; Масса - это более поздняя концепция, разработанная Гюйгенсом и Ньютоном. В качании простого маятника, как говорит Галилей, Дискурсы^[5] что «каждый импульс, приобретаемый при спуске по дуге, равен тому, который заставляет одно и то же движущееся тело подниматься по той же дуге». Его анализ снарядов показывает, что Галилей понял первый закон и второй закон движения. Он не обобщал и не делал их применимыми к телам, не подверженным земному притяжению. Этот шаг был вкладом Ньютона.

Термин «инерция» использовал Кеплер, применив его к телам в состоянии покоя. (Первый закон движения теперь часто называют законом инерции.)

Галилей не полностью понимал третий закон движения, закон равенства действия и противодействия, хотя он исправил некоторые ошибки Аристотеля. С участием Стевин и другие Галилей также писал о статике. Он сформулировал принцип параллелограмма сил, но не полностью осознал его возможности.

Галилей также интересовался законами маятника, первые его наблюдения за ним были в молодости. В 1583 году, когда он молился в соборе в Пизе, его внимание привлекло движение зажженной лампы, которая оставалась раскачивающейся, чтобы отсчитывать время от его собственного пульса. Для него период казался тем же самым, даже после того, как движение сильно уменьшилось, обнаружив изохронизм маятника.

Более тщательные эксперименты, проведенные им позже и описанные в его «Рассуждениях», показали, что период колебаний зависит от квадратного корня из длины, но не зависит от массы маятника.

Таким образом, мы приходим к Рене Декарт, Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, и другие.; и развитые формы уравнений движения, которые начинают признаваться современными.

Позже уравнения движения появились и в электродинамика, при описании движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях Сила Лоренца это общее уравнение, которое служит определением того, что подразумевается под электрическое поле и магнитное поле. С появлением специальная теория относительности и общая теория относительности, теоретические модификации пространство-время означало, что классические уравнения движения также были изменены с учетом конечного скорость света, и искривление пространства-времени. Во всех этих случаях дифференциальные уравнения были в терминах функции, описывающей траекторию частицы в терминах пространственных и временных координат, под влиянием сил или преобразований энергии.^[6]

Однако уравнения квантовая механика также могут рассматриваться как «уравнения движения», поскольку они являются дифференциальными уравнениями волновая функция, который описывает, как квантовое состояние ведет себя аналогично, используя пространственные и временные координаты частиц. Существуют аналоги уравнений движения в других областях физики для совокупностей физических явлений, которые можно рассматривать как волны, жидкости или поля.

Кинематические уравнения для одной частицы

Кинематические величины

Кинематические величины классической частицы массы м: должность р, скорость v, ускорение а.

От мгновенный должность р = р(т), мгновенное значение при мгновенном значении времени т, мгновенная скорость v = v(т) и ускорение а = а(т) имеют общие, не зависящие от координат определения;^[7]

${ Displaystyle mathbf {v} = { frac {d mathbf {r}} {dt}} ,, quad mathbf {a} = { frac {d mathbf {v}} {dt}} = { frac {d ^ {2} mathbf {r}} {dt ^ {2}}} , !}$

Обратите внимание, что скорость всегда указывает направление движения, другими словами, для криволинейной траектории это касательный вектор. Грубо говоря, производные первого порядка связаны с касательными кривых. По-прежнему для криволинейных траекторий ускорение направлено в сторону центр кривизны пути. Опять же, грубо говоря, производные второго порядка связаны с кривизной.

Аналогами вращения являются «угловой вектор» (угол, на который частица вращается вокруг некоторой оси). θ = θ(т), угловая скорость ω = ω(т), и угловое ускорение α = α(т):

${ Displaystyle { boldsymbol { theta}} = theta { hat { mathbf {n}}} ,, quad { boldsymbol { omega}} = { frac {d { boldsymbol { theta }}} {dt}} ,, quad { boldsymbol { alpha}} = { frac {d { boldsymbol { omega}}} {dt}} ,,}$

где n это единичный вектор в направлении оси вращения, и θ - угол, на который объект поворачивает вокруг оси.

Следующее соотношение выполняется для точечной частицы, вращающейся вокруг некоторой оси с угловой скоростью ω:^[8]

${ displaystyle mathbf {v} = { boldsymbol { omega}} times mathbf {r} , !}$

где р - вектор положения частицы (радиально от оси вращения) и v тангенциальная скорость частицы. Для вращающегося континуума жесткое тело, эти соотношения выполняются для каждой точки твердого тела.

Равномерное ускорение

Дифференциальное уравнение движения для частицы с постоянным или равномерным ускорением по прямой простое: ускорение постоянно, поэтому вторая производная положения объекта постоянна. Результаты этого дела кратко изложены ниже.

Постоянное поступательное ускорение по прямой

Эти уравнения применяются к частице, движущейся линейно в трех измерениях по прямой линии с постоянным ускорение.^[9] Поскольку положение, скорость и ускорение коллинеарны (параллельны и лежат на одной линии) - необходимы только величины этих векторов, а поскольку движение происходит по прямой линии, проблема эффективно сокращается с трех измерений до одного.

${ Displaystyle { begin {выровнено} v & = at + v_ {0} quad [1] конец {выровнено}}}$

${ displaystyle { begin {align} r & = r_ {0} + v_ {0} t + { tfrac {1} {2}} {a} t ^ {2} quad [2] end {выровнено }}}$

${ displaystyle { begin {align} r & = r_ {0} + { tfrac {1} {2}} left (v + v_ {0} right) t quad [3] v ^ {2 } & = v_ {0} ^ {2} + 2a left (r-r_ {0} right) quad [4] r & = r_ {0} + vt - { tfrac {1} {2} } {a} t ^ {2} quad [5] конец {выровнено}}}$

где:

• р₀ - начальная должность
• р конечное положение частицы
• v₀ - начальная скорость
• v конечная скорость частицы
• а это частица ускорение
• т это интервал времени

Вот а является постоянный ускорение, или в случае тел, движущихся под действием сила тяжести, то стандартная сила тяжести г используется. Обратите внимание, что каждое из уравнений содержит четыре из пяти переменных, поэтому в этой ситуации достаточно знать три из пяти переменных, чтобы вычислить оставшиеся две.

В элементарной физике одни и те же формулы часто записываются в разных обозначениях как:

${ displaystyle { begin {align} v & = u + at quad [1] s & = ut + { tfrac {1} {2}} at ^ {2} quad [2] s & = { tfrac {1} {2}} (u + v) t quad [3] v ^ {2} & = u ^ {2} + 2as quad [4] s & = vt - { tfrac { 1} {2}} в ^ {2} quad [5] конец {выровнено}}}$

где ты заменил v₀, s заменяет р - р₀. Их часто называют Уравнения СУВАТ, где «СУВАТ» - акроним из переменных: s = смещение, ты = начальная скорость, v = конечная скорость, а = ускорение, т = время.^[10][11]

Постоянное линейное ускорение в любом направлении

Траектория частицы с начальным вектором положения р₀ и скорость v₀при постоянном ускорении а, все три величины в любом направлении, а положение р(т) и скорость v(т) по истечении времени т.

Векторы начального положения, начальной скорости и ускорения не обязательно должны быть коллинеарными и принимать почти идентичную форму. Единственное отличие состоит в том, что квадратные величины скоростей требуют скалярное произведение. Выводы по существу такие же, как и в коллинеарном случае,

${ displaystyle { begin {align} mathbf {v} & = mathbf {a} t + mathbf {v} _ {0} quad [1] mathbf {r} & = mathbf {r} _ {0} + mathbf {v} _ {0} t + { tfrac {1} {2}} mathbf {a} t ^ {2} quad [2] mathbf {r} & = mathbf {r} _ {0} + { tfrac {1} {2}} left ( mathbf {v} + mathbf {v} _ {0} right) t quad [3] v ^ {2} & = v_ {0} ^ {2} +2 mathbf {a} cdot left ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {0} right) quad [4] mathbf {r} & = mathbf {r} _ {0} + mathbf {v} t - { tfrac {1} {2}} mathbf {a} t ^ {2} quad [5] конец {выровнено}}}$

Хотя Уравнение Торричелли [4] можно получить, используя распределительное свойство скалярного произведения следующим образом:

${ Displaystyle v ^ {2} = mathbf {v} cdot mathbf {v} = ( mathbf {v} _ {0} + mathbf {a} t) cdot ( mathbf {v} _ { 0} + mathbf {a} t) = v_ {0} ^ {2} + 2t ( mathbf {a} cdot mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} }$

${ displaystyle (2 mathbf {a}) cdot ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {0}) = (2 mathbf {a}) cdot left ( mathbf {v} _ {0} t + { tfrac {1} {2}} mathbf {a} t ^ {2} right) = 2t ( mathbf {a} cdot mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}}$

${ Displaystyle , следовательно, v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} +2 ( mathbf {a} cdot ( mathbf {r} - mathbf {r} _ {0}))}$

Приложения

Элементарные и частые примеры в кинематике включают снаряды, например, мяч, брошенный вверх в воздух. Учитывая начальную скорость ты, можно рассчитать, как высоко пройдет мяч, прежде чем он начнет падать. Ускорение - это местное ускорение свободного падения. г. Здесь следует помнить, что, хотя эти величины кажутся равными скаляры важно направление перемещения, скорость и ускорение. Фактически их можно было бы рассматривать как однонаправленные векторы. Выбор s измерять с земли, ускорение а должно быть на самом деле −g, поскольку сила сила тяжести действует вниз и, следовательно, ускоряет мяч за счет этого.

В самой высокой точке мяч будет в покое: поэтому v = 0. Используя уравнение [4] в приведенном выше наборе, мы имеем:

${ displaystyle s = { frac {v ^ {2} -u ^ {2}} {- 2g}}.}$

Подстановка и удаление знаков минус дает:

${ displaystyle s = { frac {u ^ {2}} {2g}}.}$

Постоянное круговое ускорение

Аналоги приведенных выше уравнений можно записать для вращение. И снова эти аксиальные векторы должны быть параллельны оси вращения, поэтому необходимы только величины векторов,

${ displaystyle { begin {align} omega & = omega _ {0} + alpha t theta & = theta _ {0} + omega _ {0} t + { tfrac {1} { 2}} alpha t ^ {2} theta & = theta _ {0} + { tfrac {1} {2}} ( omega _ {0} + omega) t omega ^ {2} & = omega _ {0} ^ {2} +2 alpha ( theta - theta _ {0}) theta & = theta _ {0} + omega t - { tfrac {1} {2}} alpha t ^ {2} конец {выровнено}}}$

где α постоянная угловое ускорение, ω это угловая скорость, ω₀ - начальная угловая скорость, θ угол поворота на (угловое смещение ), θ₀ - начальный угол, а т время, необходимое для поворота из начального состояния в конечное состояние.

Общее плоское движение

Вектор положения р, всегда указывает радиально от начала координат.

Вектор скорости v, всегда по касательной к траектории движения.

Вектор ускорения а, не параллельному радиальному движению, а смещенному угловым и кориолисовым ускорениями, не касательному пути, а смещенному центростремительным и радиальным ускорениями.

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что установка не ограничивается 2D-пространством, а является плоскостью в любом более высоком измерении.

Это кинематические уравнения для частицы, проходящей путь в плоскости, описываемой положением р = р(т).^[12] Это просто производные по времени вектора положения в плоскости. полярные координаты используя определения физических величин выше для угловой скорости ω и угловое ускорение α. Это мгновенные величины, которые меняются со временем.

Положение частицы

${ Displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} left (r (t), theta (t) right) = r mathbf { hat {e}} _ {r}}$

где ê_р и ê_θ являются полярный единичные векторы. Дифференцирование по времени дает скорость

${ displaystyle mathbf {v} = mathbf { hat {e}} _ {r} { frac {dr} {dt}} + r omega mathbf { hat {e}} _ { theta} }$

с радиальной составляющей доктор/dt и дополнительный компонент rω из-за вращения. Дифференцирование по времени снова дает ускорение

${ displaystyle mathbf {a} = left ({ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - r omega ^ {2} right) mathbf { hat {e} } _ {r} + left (r alpha +2 omega { frac {dr} {dt}} right) mathbf { hat {e}} _ { theta}}$

который прерывается в радиальном ускорении d²р/dt², центростремительное ускорение –rω², Кориолисовое ускорение 2ωдоктор/dt, и угловое ускорение rα.

Частные случаи движения, описываемые этими уравнениями, качественно резюмированы в таблице ниже. Два уже обсуждались выше в случаях, когда либо радиальные компоненты, либо угловые компоненты равны нулю, а ненулевой компонент движения описывает равномерное ускорение.

Общие 3D-движения

В трехмерном пространстве уравнения в сферических координатах (р, θ, φ) с соответствующими единичными векторами ê_р, ê_θ и ê_φ, положение, скорость и ускорение обобщаются соответственно на

${ Displaystyle { begin {align} mathbf {r} & = mathbf {r} left (t right) = r mathbf { hat {e}} _ {r} mathbf {v} & = v mathbf { hat {e}} _ {r} + r , { frac {d theta} {dt}} mathbf { hat {e}} _ { theta} + r , { frac {d varphi} {dt}} , sin theta mathbf { hat {e}} _ { varphi} mathbf {a} & = left (ar left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2} -r left ({ frac {d varphi} {dt}} right) ^ {2} sin ^ {2} theta справа) mathbf { hat {e}} _ {r} & + left (r { frac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}}} + 2v { frac {d theta} {dt}} - r left ({ frac {d varphi} {dt}} right) ^ {2} sin theta cos theta right) mathbf { hat {e} } _ { theta} & + left (r { frac {d ^ {2} varphi} {dt ^ {2}}} , sin theta + 2v , { frac {d varphi} {dt}} , sin theta + 2r , { frac {d theta} {dt}} , { frac {d varphi} {dt}} , cos theta right ) mathbf { hat {e}} _ { varphi} end {align}} , !}$

В случае постоянного φ это сводится к описанным выше плоским уравнениям.

Динамические уравнения движения

Ньютоновская механика

Первое разработанное общее уравнение движения было Второй закон Ньютона движения. В самом общем виде он устанавливает скорость изменения количества движения. п = п(т) = мv(т) объекта равна силе F = F(Икс(т), v(т), т) действуя на это,^[13]

${ displaystyle mathbf {F} = { frac {d mathbf {p}} {dt}}}$

Сила в уравнении не сила, которую оказывает объект. Заменяя импульс на массу, умноженную на скорость, закон также имеет более известную форму:

${ Displaystyle mathbf {F} = м mathbf {а}}$

поскольку м константа в Ньютоновская механика.

Второй закон Ньютона применяется к точечным частицам и ко всем точкам в жесткое тело. Они также применимы к каждой точке в континууме масс, например, к деформируемым твердым телам или жидкостям, но движение системы необходимо учитывать; увидеть материальная производная. В случае, если масса непостоянна, недостаточно использовать правило продукта для производной по времени от массы и скорости, а второй закон Ньютона требует некоторой модификации в соответствии с сохранение импульса; увидеть система переменной массы.

Записать уравнения движения в векторной форме с использованием законов движения Ньютона может быть просто, но компоненты могут изменяться сложным образом в зависимости от пространственных координат и времени, и решить их непросто. Часто для полного решения проблемы требуется избыток переменных, поэтому законы Ньютона не всегда являются наиболее эффективным способом определения движения системы. В простых случаях прямоугольной геометрии законы Ньютона отлично работают в декартовых координатах, но в других системах координат могут стать чрезвычайно сложными.

Форма импульса предпочтительна, поскольку ее легко обобщить на более сложные системы, такие как особый и общая теория относительности (увидеть четырехмерный ).^[13] Его также можно использовать с сохранением импульса. Однако законы Ньютона не более фундаментальны, чем сохранение импульса, потому что законы Ньютона просто согласуются с тем фактом, что нулевая результирующая сила, действующая на объект, подразумевает постоянный импульс, в то время как результирующая сила подразумевает, что импульс непостоянен. Сохранение импульса всегда верно для изолированной системы, не подверженной действию равнодействующих сил.

Для ряда частиц (см. многие проблемы с телом ) уравнение движения одной частицы я под влиянием других частиц^[7][14]

${ displaystyle { frac {d mathbf {p} _ {i}} {dt}} = mathbf {F} _ {E} + sum _ {я neq j} mathbf {F} _ {ij } , !}$

где п_я это импульс частицы я, F_ij сила на частицу я частичкой j, и F_E это результирующая внешняя сила, создаваемая любым агентом, не являющимся частью системы. Частицы я не оказывает на себя силы.

Законы движения Эйлера похожи на законы Ньютона, но они применяются конкретно к движению твердые тела. В Уравнения Ньютона – Эйлера объединить силы и моменты, действующие на твердое тело, в одно уравнение.

Второй закон Ньютона для вращения принимает форму, аналогичную поступательному случаю,^[15]

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = { frac {d mathbf {L}} {dt}} ,,}$

приравнивая крутящий момент воздействуя на организм со скоростью изменения его угловой момент L. Аналогично ускорению, умноженному на массу, момент инерции тензор я зависит от распределения массы вокруг оси вращения, а угловое ускорение - это скорость изменения угловой скорости,

${ displaystyle { boldsymbol { tau}} = mathbf {I} cdot { boldsymbol { alpha}}.}$

Опять же, эти уравнения применимы к точечным частицам или к каждой точке твердого тела.

Аналогично, для ряда частиц уравнение движения для одной частицы я является^[16]

${ displaystyle { frac {d mathbf {L} _ {i}} {dt}} = { boldsymbol { tau}} _ {E} + sum _ {i neq j} { boldsymbol { тау}} _ {ij} ,,}$

где L_я угловой момент частицы я, τ_ij крутящий момент на частицу я частичкой j, и τ_E результирующий внешний крутящий момент (из-за любого агента, не являющегося частью системы). Частицы я не оказывает на себя крутящего момента.

Приложения

Несколько примеров^[17] закона Ньютона включают описание движения простой маятник,

${ displaystyle -mg sin theta = m { frac {d ^ {2} (l theta)} {dt ^ {2}}} quad Rightarrow quad { frac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}}} = - { frac {g} {l}} sin theta ,,}$

и затухающий гармонический генератор с синусоидальным возбуждением,

${ displaystyle F_ {0} sin ( omega t) = m left ({ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 zeta omega _ {0} { frac {dx} {dt}} + omega _ {0} ^ {2} x right) ,.}$

Для описания движения масс под действием силы тяжести Закон всемирного тяготения Ньютона можно совместить со вторым законом Ньютона. В двух примерах шар массы м брошенный в воздух, в потоках воздуха (например, ветра), описываемых векторным полем сил сопротивления р = р(р, т),

${ displaystyle - { frac {GmM} {| mathbf {r} | ^ {2}}} mathbf { hat {e}} _ {r} + mathbf {R} = m { frac {d ^ {2} mathbf {r}} {dt ^ {2}}} + 0 quad Rightarrow quad { frac {d ^ {2} mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = - { frac {GM} {| mathbf {r} | ^ {2}}} mathbf { hat {e}} _ {r} + mathbf {A} , !}$

где г это гравитационная постоянная, M масса Земли, и А = р/м - ускорение снаряда из-за воздушных потоков в положении р и время т.

Классический Nпроблема тела для N частицы, каждая из которых взаимодействует друг с другом под действием силы тяжести, представляет собой набор N нелинейные связанные ОДУ второго порядка,

${ displaystyle { frac {d ^ {2} mathbf {r} _ {i}} {dt ^ {2}}} = G sum _ {i neq j} { frac {m_ {i} m_ {j}} {| mathbf {r} _ {j} - mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} ( mathbf {r} _ {j} - mathbf {r} _ { я})}$

где я = 1, 2, …, N обозначает количества (масса, положение и т. д.), связанные с каждой частицей.

Аналитическая механика

По мере развития системы q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие (δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δq).^[18]

В использовании всех трех координат трехмерного пространства нет необходимости, если в системе есть ограничения. Если в системе N степени свободы, то можно использовать набор N обобщенные координаты q(т) = [q₁(т), q₂(т) ... q_N(т)], чтобы определить конфигурацию системы. Они могут быть в виде длина дуги или углы. Они значительно упрощают описание движения, поскольку используют внутренние ограничения, которые ограничивают движение системы, а количество координат сокращено до минимума. В производные по времени обобщенных координат являются обобщенные скорости

${ displaystyle mathbf { dot {q}} = { frac {d mathbf {q}} {dt}} ,.}$

В Уравнения Эйлера – Лагранжа. находятся^[2][19]

${ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac { partial L} { partial mathbf { dot {q}}}}} right) = { frac { partial L} { partial mathbf {q}}} ,,}$

где Лагранжиан является функцией конфигурации q и скорость его изменения dq/dt (и, возможно, время т)

${ Displaystyle L = L влево [ mathbf {q} (t), mathbf { dot {q}} (t), t right] ,.}$

Установив лагранжиан системы, затем подставив в уравнения и оценив частные производные и упростив, набор связанных N второго порядка ODE в координатах.

Уравнения Гамильтона находятся^[2][19]

${ displaystyle mathbf { dot {p}} = - { frac { partial H} { partial mathbf {q}}} ,, quad mathbf { dot {q}} = + { гидроразрыв { partial H} { partial mathbf {p}}} ,,}$

где гамильтониан

${ Displaystyle Н = ЧАС влево [ mathbf {q} (t), mathbf {p} (t), t right] ,,}$

является функцией конфигурации q и сопрягать «обобщенные» импульсы

${ Displaystyle mathbf {p} = { frac { partial L} { partial mathbf { dot {q}}}} ,,}$

в котором ∂/∂q = (∂/∂q₁, ∂/∂q₂, …, ∂/∂q_N) сокращенное обозначение вектора частные производные по указанным переменным (см. например матричное исчисление для этого обозначения знаменателя), и, возможно, время т,

Установив гамильтониан системы, затем подставив в уравнения и оценив частные производные и упростив, набор связанных 2N ОДУ первого порядка по координатам q_я и импульсы п_я получены.

В Уравнение Гамильтона – Якоби является^[2]

${ displaystyle - { frac { partial S ( mathbf {q}, t)} { partial t}} = H left ( mathbf {q}, mathbf {p}, t right) , .}$

где

${ Displaystyle S [ mathbf {q}, t] = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L ( mathbf {q}, mathbf { dot {q}}, t) , dt ,,}$

является Основная функция Гамильтона, также называемый классическое действие это функциональный из L. В этом случае импульсы определяются выражением

${ displaystyle mathbf {p} = { frac { partial S} { partial mathbf {q}}} ,.}$

Хотя уравнение имеет простой общий вид, для данного гамильтониана на самом деле это единственный первый порядок нелинейный PDE, в N + 1 переменные. Действие S позволяет идентифицировать сохраняемые величины для механических систем, даже если сама механическая проблема не может быть решена полностью, поскольку любые дифференцируемый симметрия из действие физической системы имеет соответствующий закон сохранения, теорема из Эмми Нётер.

Все классические уравнения движения могут быть получены из вариационный принцип известный как Принцип наименьшего действия Гамильтона

${ Displaystyle дельта S = 0 ,,}$

указание пути, по которому система проходит через конфигурационное пространство тот, у кого меньше всего действий S.

Электродинамика

Сила Лоренца F на заряженная частица (из плата q) в движении (мгновенная скорость v). В E поле и B поле различаются в пространстве и времени.

В электродинамике сила, действующая на заряженную частицу заряда q это Сила Лоренца:^[20]

${ Displaystyle mathbf {F} = д влево ( mathbf {E} + mathbf {v} times mathbf {B} right) , !}$

В сочетании со вторым законом Ньютона получается дифференциальное уравнение движения первого порядка с точки зрения положения частицы:

${ displaystyle m { frac {d ^ {2} mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = q left ( mathbf {E} + { frac {d mathbf {r}} { dt}} times mathbf {B} right) , !}$

или его импульс:

${ displaystyle { frac {d mathbf {p}} {dt}} = q left ( mathbf {E} + { frac { mathbf {p} times mathbf {B}} {m}}) правильно),!}$

Такое же уравнение можно получить, используя Лагранжиан (и применяя приведенные выше уравнения Лагранжа) для заряженной частицы массы м и зарядить q:^[21]

${ Displaystyle L = { tfrac {1} {2}} m mathbf { dot {r}} cdot mathbf { dot {r}} + q mathbf {A} cdot { dot { mathbf {r}}} - q phi}$

где А и ϕ электромагнитные скаляр и вектор потенциальные поля. Лагранжиан указывает на дополнительную деталь: канонический импульс в лагранжевой механике задается:

${ displaystyle mathbf {P} = { frac { partial L} { partial { dot { mathbf {r}}}}} = m { dot { mathbf {r}}} + q mathbf {A}}$

вместо просто мv, подразумевая, что движение заряженной частицы в основном определяется массой и зарядом частицы. Выражение Лагранжа было впервые использовано для вывода уравнения силы.

В качестве альтернативы гамильтониан (и подставив в уравнения):^[19]

${ displaystyle H = { frac { left ( mathbf {P} -q mathbf {A} right) ^ {2}} {2m}} + q phi , !}$

можно вывести уравнение силы Лоренца.

Общая теория относительности

Геодезическое уравнение движения

Геодезические на сфера дуги большие круги (желтая кривая). На 2D –многообразие (например, показанная сфера), направление ускоряющей геодезической однозначно фиксируется, если вектор разделения ξ является ортогональный к «реперной геодезической» (зеленая кривая). Как вектор разделения ξ₀ изменения к ξ на расстоянии s, геодезические не параллельны (геодезическое отклонение).^[22]

Приведенные выше уравнения справедливы в плоском пространстве-времени. В искривленное пространство пространство-время математически все становится сложнее, поскольку прямой линии нет; это обобщается и заменяется геодезический искривленного пространства-времени (кратчайшая длина кривой между двумя точками). Для изогнутых коллекторы с метрический тензор г, метрика дает понятие длины дуги (см. линейный элемент подробнее). В дифференциал длина дуги определяется как:^[23]

${ displaystyle ds = { sqrt {g _ { alpha beta} dx ^ { alpha} dx ^ { beta}}}}$

а уравнение геодезической - это дифференциальное уравнение второго порядка по координатам. Общее решение - семейство геодезических:^[24]

${ displaystyle { frac {d ^ {2} x ^ { mu}} {ds ^ {2}}} = - Gamma ^ { mu} {} _ { alpha beta} { frac {dx ^ { alpha}} {ds}} { frac {dx ^ { beta}} {ds}}}$

где Γ^μ_αβ это Символ Кристоффеля второго рода, который содержит метрику (относительно системы координат).

Учитывая масса-энергия распространение обеспечивается тензор энергии-импульса Т^αβ, то Уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в метрике и подразумевают, что кривизна пространства-времени эквивалентна гравитационному полю (см. принцип эквивалентности ). Падение массы в искривленном пространстве-времени эквивалентно падению массы в гравитационном поле - потому что гравитация - это фиктивная сила. В относительное ускорение одной геодезической на другую в искривленном пространстве-времени задается уравнение геодезического отклонения:

${ displaystyle { frac {D ^ {2} xi ^ { alpha}} {ds ^ {2}}} = - R ^ { alpha} {} _ { beta gamma delta} { frac {dx ^ { alpha}} {ds}} xi ^ { gamma} { frac {dx ^ { delta}} {ds}}}$

где ξ^α = Икс₂^α − Икс₁^α вектор разделения между двумя геодезическими, D/ds (не только d/ds) это ковариантная производная, и р^α_βγδ это Тензор кривизны Римана, содержащий символы Кристоффеля. Другими словами, уравнение геодезического отклонения - это уравнение движения масс в искривленном пространстве-времени, аналогичное уравнению силы Лоренца для зарядов в электромагнитном поле.^[25]

Для плоского пространства-времени метрика является постоянным тензором, поэтому символы Кристоффеля обращаются в нуль, а уравнение геодезических имеет решения прямых линий. Это также предельный случай, когда массы движутся согласно Закон всемирного тяготения Ньютона.

Вращающиеся объекты

В общей теории относительности вращательное движение описывается релятивистский угловой момент тензор, включая спиновый тензор, которые входят в уравнения движения при ковариантные производные относительно подходящее время. В Уравнения Матиссона – Папапетру – Диксона описывают движение вращающихся объектов, движущихся в гравитационное поле.

Аналоги для волн и полей

В отличие от уравнений движения для описания механики частиц, которые представляют собой системы связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичные уравнения, описывающие динамику волны и поля всегда уравнения в частных производных, поскольку волны или поля являются функциями пространства и времени. Для конкретного решения граничные условия вместе с начальными условиями необходимо указать.

Иногда в следующих контекстах уравнения волны или поля также называют «уравнениями движения».

Полевые уравнения

Уравнения, описывающие пространственную зависимость и эволюция во времени полей называются уравнения поля. Они включают

• Уравнения Максвелла для электромагнитное поле,
• Уравнение Пуассона для Ньютоновский гравитационный или электростатический потенциалы поля,
• то Уравнение поля Эйнштейна для гравитация (Закон всемирного тяготения Ньютона частный случай для слабых гравитационных полей и малых скоростей частиц).

Эта терминология не универсальна: например, хотя Уравнения Навье – Стокса управлять поле скорости из жидкость, их обычно не называют «уравнениями поля», поскольку в этом контексте они представляют импульс жидкости и вместо этого называются «уравнениями импульса».

Волновые уравнения

Уравнения волнового движения называются волновые уравнения. Решения волнового уравнения дают временную и пространственную зависимость амплитуда. Граничные условия определяют, описывают ли решения бегущие волны или стоячие волны.

Из классических уравнений движения и уравнений поля; механический гравитационная волна, и электромагнитная волна уравнения могут быть выведены. Общее линейное волновое уравнение в 3D:

${ displaystyle { frac {1} {v ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} X} { partial t ^ {2}}} = nabla ^ {2} X}$

где Икс = Икс(р, т) любая амплитуда механического или электромагнитного поля, скажем:^[26]

• то поперечный или продольный смещение вибрирующего стержня, проволоки, кабеля, мембраны и т. д.,
• колеблющиеся давление среды, звуковое давление,
• то электрические поля E или D, или магнитные поля B или ЧАС,
• то Напряжение V или текущий я в переменный ток цепь

и v это фазовая скорость. Нелинейные уравнения моделируют зависимость фазовой скорости от амплитуды, заменяя v от v(Икс). Существуют и другие линейные и нелинейные волновые уравнения для очень специфических приложений, см., Например, Уравнение Кортевега – де Фриза.

Квантовая теория

В квантовой теории появляются концепции как волны, так и поля.

В квантовая механика, в котором частицы также обладают волнообразными свойствами согласно дуальность волна-частица аналогом классических уравнений движения (закона Ньютона, уравнения Эйлера – Лагранжа, уравнения Гамильтона – Якоби и др.) является Уравнение Шредингера в самом общем виде:

${ Displaystyle я hbar { гидроразрыва { partial Psi} { partial t}} = { hat {H}} Psi ,,}$

где Ψ это волновая функция системы, ЧАС квантовый Гамильтонов оператор, а не функция, как в классической механике, и час это Постоянная Планка делится на 2π. Установка гамильтониана и вставка его в уравнение приводит к волновому уравнению, решением которого является волновая функция как функция пространства и времени. Само уравнение Шредингера сводится к уравнению Гамильтона – Якоби, если рассматривать принцип соответствия, в пределе час становится равным нулю.

Во всех аспектах квантовой теории, релятивистской или нерелятивистской, есть различные составы альтернатива уравнению Шредингера, которое управляет временной эволюцией и поведением квантовой системы, например:

• то Уравнение движения Гейзенберга напоминает эволюцию классических наблюдаемых во времени как функции положения, импульса и времени, если заменить динамические наблюдаемые их квантовые операторы и классический Скобка Пуассона посредством коммутатор,
• то формулировка фазового пространства строго следует классической гамильтоновой механике, приравнивая положение и импульс,
• Фейнман формулировка интеграла по путям расширяет принцип наименьшего действия квантовой механике и теории поля, делая упор на использование лагранжианов, а не гамильтонианов.

Смотрите также

использованная литература