Рутианская механика - Routhian mechanics

Эдвард Джон Раут, 1831–1907.

Часть серии по
Классическая механика
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (м { textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование  (соотношение ) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный  / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  (линейный ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика

В классической механике Процедура Рауса или же Рутианская механика представляет собой гибридную формулировку Лагранжева механика и Гамильтонова механика разработан Эдвардом Джоном Раутом. Соответственно, Рутианский это функция который заменяет оба Лагранжиан и Гамильтониан функции. Как и остальная часть аналитической механики, механика Рута полностью эквивалентна механике Ньютона, всем другим формулировкам классической механики и не вводит никакой новой физики. Он предлагает альтернативный способ решения механических проблем.

Определения

Рутиан, как и гамильтониан, может быть получен из Преобразование Лежандра лагранжиана и имеет математическую форму, аналогичную гамильтониану, но не совсем то же самое. Разница между функциями Лагранжа, Гамильтона и Рута заключается в их переменных. Для данного набора обобщенные координаты представляющий степени свободы в системе лагранжиан является функцией координат и скоростей, а гамильтониан является функцией координат и импульсов.

Рутиан отличается от этих функций тем, что некоторые координаты выбираются так, чтобы иметь соответствующие обобщенные скорости, а остальные - иметь соответствующие обобщенные импульсы. Этот выбор произвольный и может быть сделан для упрощения проблемы. Это также приводит к тому, что Уравнения Рута являются в точности уравнениями Гамильтона для некоторых координат и соответствующих импульсов, а уравнения Лагранжа для остальных координат и их скоростей. В каждом случае функции Лагранжа и Гамильтона заменяются одной функцией - Рутианом. Таким образом, полный набор имеет преимущества обеих систем уравнений с удобством разделения одного набора координат на уравнения Гамильтона, а остальных - на уравнения Лагранжа.

В случае лагранжевой механики обобщенные координаты q₁, q₂, ... и соответствующие скорости dq₁/dt, dq₂/dt, ..., и, возможно, время^{[nb 1]} т, введите лагранжиан,

${ Displaystyle L (q_ {1}, q_ {2}, ldots, { dot {q}} _ {1}, { dot {q}} _ {2}, ldots, t) ,, quad { dot {q}} _ {i} = { frac {dq_ {i}} {dt}} ,,}$

где точки обозначают производные по времени.

В гамильтоновой механике обобщенные координаты q₁, q₂, ... и соответствующие обобщенные импульсы п₁, п₂, ..., и, возможно, время, введите гамильтониан,

${ displaystyle H (q_ {1}, q_ {2}, ldots, p_ {1}, p_ {2}, ldots, t) = sum _ {i} { dot {q}} _ {i } p_ {i} -L (q_ {1}, q_ {2}, ldots, { dot {q}} _ {1} (p_ {1}), { dot {q}} _ {2} (p_ {2}), ldots, t) ,, quad p_ {i} = { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {i}}} ,,}$

где второе уравнение - это определение обобщенного импульса п_я соответствующая координате q_я (частные производные обозначаются с помощью ∂). Скорости dq_я/dt выражаются как функции соответствующих им импульсов путем обращения их определяющего соотношения. В контексте, п_я называется импульсом, канонически сопряженным с q_я.

Рутианский язык занимает промежуточное положение между L и ЧАС; некоторые координаты q₁, q₂, ..., q_п выбраны с соответствующими обобщенными импульсами п₁, п₂, ..., п_п, остальные координаты ζ₁, ζ₂, ..., ζ_s иметь обобщенные скорости dζ₁/dt, dζ₂/dt, ..., dζ_s/dt, и время может отображаться явно;^[1][2]

где снова обобщенная скорость dq_я/dt выражается как функция от обобщенного импульса п_я через его определяющее отношение. Выбор какой п координаты должны иметь соответствующие импульсы вне п + s координаты, произвольны.

Вышеуказанное используется Ландау и Лифшиц, и Гольдштейн. Некоторые авторы могут определить рутианство как отрицание приведенного выше определения.^[3]

Учитывая длину общего определения, более компактным обозначением будет использование жирного шрифта для кортежи (или векторы) переменных, таким образом q = (q₁, q₂, ..., q_п), ζ = (ζ₁, ζ₂, ..., ζ_s), п = (п₁, п₂, ..., п_п), и d ζ/dt = (dζ₁/dt, dζ₂/dt, ..., dζ_s/dt), так что

${ Displaystyle R ( mathbf {q}, { boldsymbol { zeta}}, mathbf {p}, { dot { boldsymbol { zeta}}}, т) = mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}} - L ( mathbf {q}, { boldsymbol { zeta}}, { dot { mathbf {q}}}, { dot { boldsymbol { zeta}) }}, t) ,,}$

где скалярное произведение определены в кортежах, для конкретного примера, представленного здесь:

${ displaystyle mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} { dot {q}} _ {i} ,.}$

Уравнения движения

Для справки: Лагранжевые уравнения за s степени свободы - это набор s связанный второй порядок обыкновенные дифференциальные уравнения в координатах

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {j}}} = { frac { partial L} { partial q_ {j}}} ,,}$

куда j = 1, 2, ..., s, а Гамильтоновы уравнения за п степени свободы - это набор 2п связанных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по координатам и импульсам

${ displaystyle { dot {q}} _ {i} = { frac { partial H} { partial p_ {i}}} ,, quad { dot {p}} _ {i} = - { frac { partial H} { partial q_ {i}}} ,.}$

Ниже уравнения движения Рууса получаются двумя способами, при этом обнаруживаются другие полезные производные, которые можно использовать в других местах.

Две степени свободы

Рассмотрим случай системы с двумя степени свободы, q и ζ, с обобщенными скоростями dq/dt и dζ/dt, а лагранжиан зависит от времени. (Обобщение на любое количество степеней свободы происходит точно так же, как и с двумя).^[4] Лагранжиан системы будет иметь вид

${ Displaystyle L (д, zeta, { точка {q}}, { точка { zeta}}, т)}$

В дифференциал из L является

${ displaystyle dL = { frac { partial L} { partial q}} dq + { frac { partial L} { partial zeta}} d zeta + { frac { partial L} { partial { dot {q}}}} d { dot {q}} + { frac { partial L} { partial { dot { zeta}}}} d { dot { zeta}} + { frac { partial L} { partial t}} dt ,.}$

Теперь заменим переменные из набора (q, ζ, dq/dt, dζ/dt) к (q, ζ, п, dζ/dt), просто переключая скорость dq/dt к импульсу п. Эта замена переменных в дифференциалах и есть Превращение Лежандра. Дифференциал новой функции на замену L будет суммой дифференциалов в dq, dζ, дп, d(dζ/dt), и dt. Используя определение обобщенного импульса и уравнение Лагранжа для координаты q:

${ displaystyle p = { frac { partial L} { partial { dot {q}}}} ,, quad { dot {p}} = { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {q}}}} = { frac { partial L} { partial q}}}$

у нас есть

${ displaystyle dL = { dot {p}} dq + { frac { partial L} { partial zeta}} d zeta + pd { dot {q}} + { frac { partial L} { partial { dot { zeta}}}} d { dot { zeta}} + { frac { partial L} { partial t}} dt}$

и заменить pd(dq/dt) к (dq/dt)дпнапомним правило продукта для дифференциалов,^{[nb 2]} и заменить

${ displaystyle pd { dot {q}} = d ({ dot {q}} p) - { dot {q}} dp}$

чтобы получить дифференциал новой функции в терминах нового набора переменных:

${ displaystyle d (Lp { dot {q}}) = { dot {p}} dq + { frac { partial L} { partial zeta}} d zeta - { dot {q}} dp + { frac { partial L} { partial { dot { zeta}}}} d { dot { zeta}} + { frac { partial L} { partial t}} dt ,.}$

Представляем рутианскую

${ Displaystyle R (д, zeta, p, { dot { zeta}}, t) = p { dot {q}} (p) -L}$

где снова скорость dq/dt является функцией импульса п, у нас есть

${ displaystyle dR = - { dot {p}} dq - { frac { partial L} { partial zeta}} d zeta + { dot {q}} dp - { frac { partial L } { partial { dot { zeta}}}} d { dot { zeta}} - { frac { partial L} { partial t}} dt ,,}$

но из вышеприведенного определения дифференциал Рауса равен

${ displaystyle dR = { frac { partial R} { partial q}} dq + { frac { partial R} { partial zeta}} d zeta + { frac { partial R} { partial p}} dp + { frac { partial R} { partial { dot { zeta}}}} d { dot { zeta}} + { frac { partial R} { partial t}} dt ,.}$

Сравнение коэффициентов дифференциалов dq, dζ, дп, d(dζ/dt), и dt, результаты Уравнения Гамильтона для координаты q,

${ displaystyle { dot {q}} = { frac { partial R} { partial p}} ,, quad { dot {p}} = - { frac { partial R} { partial q}} ,,}$

и Уравнение Лагранжа для координаты ζ

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial R} { partial { dot { zeta}}}} = { frac { partial R} { partial zeta}} }$

которые следуют из

${ Displaystyle { frac { partial L} { partial zeta}} = - { frac { partial R} { partial zeta}} ,, quad { frac { partial L} { partial { dot { zeta}}}} = - { frac { partial R} { partial { dot { zeta}}}} ,,}$

и взятие полной производной по времени второго уравнения и приравнивание к первому. Обратите внимание, что Рутиан заменяет функции Гамильтона и Лагранжа во всех уравнениях движения.

Остающееся уравнение устанавливает частные производные по времени от L и р отрицательные

${ displaystyle { frac { partial L} { partial t}} = - { frac { partial R} { partial t}} ,.}$

Любое количество степеней свободы

За п + s координаты, как определено выше, с рутовскими

${ Displaystyle R (q_ {1}, ldots, q_ {n}, zeta _ {1}, ldots, zeta _ {s}, p_ {1}, ldots, p_ {n}, { точка { zeta}} _ {1}, ldots, { dot { zeta}} _ {s}, t) = sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} { dot { q}} _ {i} (p_ {i}) - L}$

уравнения движения могут быть получены с помощью преобразования Лежандра этого рутиана, как в предыдущем разделе, но другой способ - просто взять частные производные от р по координатам q_я и ζ_j, импульсы п_я, и скорости dζ_j/dt, куда я = 1, 2, ..., п, и j = 1, 2, ..., s. Производные:

${ displaystyle { frac { partial R} { partial q_ {i}}} = - { frac { partial L} { partial q_ {i}}} = - { frac {d} {dt} } { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {i}}} = - { dot {p}} _ {i}}$

${ displaystyle { frac { partial R} { partial p_ {i}}} = { dot {q}} _ {i}}$

${ displaystyle { frac { partial R} { partial zeta _ {j}}} = - { frac { partial L} { partial zeta _ {j}}} ,,}$

${ displaystyle { frac { partial R} { partial { dot { zeta}} _ {j}}} = - { frac { partial L} { partial { dot { zeta}} _ {j}}} ,,}$

${ displaystyle { frac { partial R} { partial t}} = - { frac { partial L} { partial t}} ,.}$

Первые два тождественно гамильтоновы уравнения. Приравнивая полную производную по времени четвертой системы уравнений к третьей (для каждого значения j) дает уравнения Лагранжа. Пятое - это точно такое же соотношение между частными производными по времени, что и раньше. Подвести итоги^[5]

Общее количество уравнений 2п + s, Существуют 2п Гамильтоновы уравнения плюс s Уравнения Лагранжа.

Энергия

Поскольку лагранжиан имеет те же единицы, что и энергия, единицы Рута также являются энергией. В Единицы СИ это Джоуль.

Взяв полную производную по времени от лагранжиана, мы получаем общий результат

${ displaystyle { frac { partial L} { partial t}} = { frac {d} {dt}} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { dot {q}} _ {i} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {i}}} + sum _ {j = 1} ^ {s} { dot { zeta}} _ {j} { frac { partial L} { partial { dot { zeta}} _ {j}}} - L right) ,.}$

Если лагранжиан не зависит от времени, частная производная лагранжиана по времени равна нулю, ∂L/∂т = 0, поэтому величина под полной производной по времени в скобках должна быть постоянной, это полная энергия системы^[6]

${ displaystyle E = sum _ {i = 1} ^ {n} { dot {q}} _ {i} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {i} }} + sum _ {j = 1} ^ {s} { dot { zeta}} _ {j} { frac { partial L} { partial { dot { zeta}} _ {j} }} - L ,.}$

(Если есть внешние поля, взаимодействующие с составляющими системы, они могут изменяться в пространстве, но не во времени). Это выражение требует частных производных от L относительно все скорости dq_я/dt и dζ_j/dt. При том же условии р будучи независимой от времени, энергия в терминах Рута немного проще, заменяя определение р и частные производные от р по скоростям dζ_j/dt,

${ displaystyle E = R- sum _ {j = 1} ^ {s} { dot { zeta}} _ {j} { frac { partial R} { partial { dot { zeta}} _ {j}}} ,.}$

Обратите внимание только на частные производные от р по скоростям dζ_j/dt необходимы. В случае, если s = 0 и Routhian явно не зависит от времени, то E = р, то есть Рутиан равен энергии системы. То же выражение для р когда s = 0 также является гамильтонианом, поэтому во всех E = р = ЧАС.

Если Routhian имеет явную зависимость от времени, полная энергия системы непостоянна. Общий результат

${ displaystyle { frac { partial R} { partial t}} = { dfrac {d} {dt}} left (R- sum _ {j = 1} ^ {s} { dot { zeta}} _ {j} { frac { partial R} { partial { dot { zeta}} _ {j}}} right) ,,}$

которое может быть получено из полной производной по времени от р так же, как и для L.

Циклические координаты

Часто рутовский подход может не дать никаких преимуществ, но один примечательный случай, когда он полезен, - это когда система циклические координаты (также называемые «игнорируемыми координатами»), по определению те координаты, которые не появляются в исходном лагранжиане. Уравнения Лагранжа - мощные результаты, часто используемые в теории и на практике, поскольку уравнения движения в координатах легко составить. Однако, если возникают циклические координаты, все равно придется решать уравнения для всех координат, включая циклические координаты, несмотря на их отсутствие в лагранжиане. Уравнения Гамильтона являются полезными теоретическими результатами, но менее полезными на практике, потому что координаты и импульсы связаны вместе в решениях - после решения уравнений координаты и импульсы должны быть удалены друг от друга. Тем не менее, гамильтоновы уравнения идеально подходят для циклических координат, поскольку уравнения в циклических координатах тривиально исчезают, оставляя только уравнения в нециклических координатах.

Подход Рууса имеет лучшее из обоих подходов, потому что циклические координаты могут быть разделены на гамильтоновы уравнения и исключены, оставив после себя нециклические координаты, которые нужно решить из уравнений Лагранжа. В целом необходимо решать меньше уравнений по сравнению с лагранжевым подходом.

Формулировка Рута полезна для систем с циклические координаты, потому что по определению эти координаты не входят L, и поэтому р. Соответствующие частные производные от L и р относительно этих координат равны нулю, что приравнивается к соответствующим обобщенным импульсам, сводящимся к константам. Сделать это конкретным, если q_я все циклические координаты, а ζ_j все нециклические, то

${ displaystyle { frac { partial L} { partial q_ {i}}} = { dot {p}} _ {i} = - { frac { partial R} { partial q_ {i}} } = 0 quad Rightarrow quad p_ {i} = alpha _ {i} ,,}$

где α_я являются константами. Подставив эти константы в рутовскую, р является функцией только нециклических координат и скоростей (а также времени в целом)

${ Displaystyle R ( zeta _ {1}, ldots, zeta _ {s}, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}, { dot { zeta}} _ {1 }, ldots, { dot { zeta}} _ {s}, t) = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} { dot {q}} _ {i} ( alpha _ {i}) - L ( zeta _ {1}, ldots, zeta _ {s}, { dot {q}} _ {1} ( alpha _ {1}), ldots , { dot {q}} _ {n} ( alpha _ {n}), { dot { zeta}} _ {1}, ldots, { dot { zeta}} _ {s}, t) ,,}$

В 2п Гамильтоново уравнение в циклических координатах автоматически обращается в нуль,

${ displaystyle { dot {q}} _ {i} = { frac { partial R} { partial alpha _ {i}}} = f_ {i} ( zeta _ {1} (t), ldots, zeta _ {s} (t), { dot { zeta}} _ {1} (t), ldots, { dot { zeta}} _ {s} (t), alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}, t) ,, quad { dot {p}} _ {i} = - { frac { partial R} { partial q_ {i} }} = 0 ,,}$

и s Уравнения Лагранжа находятся в нециклических координатах

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial R} { partial { dot { zeta}} _ {j}}} = { frac { partial R} { partial zeta _ {j}}} ,.}$

Таким образом, проблема свелась к решению уравнений Лагранжа в нециклических координатах с преимуществом гамильтоновых уравнений, полностью удаляющих циклические координаты. Используя эти решения, уравнения для ${ displaystyle { dot {q}} _ {i}}$может быть интегрирован для вычисления ${ Displaystyle q_ {я} (т)}$.

Если нас интересует, как циклические координаты меняются со временем, уравнения для обобщенных скоростей, соответствующих циклическим координатам, могут быть интегрированы.

Примеры

Процедура Рауса не гарантирует, что уравнения движения будут простыми, однако она приведет к меньшему количеству уравнений.

Центральный потенциал в сферических координатах

Один общий класс механических систем с циклическими координатами - это системы с центральные потенциалы, поскольку потенциалы такой формы зависят только от радиальных расстояний и не зависят от углов.

Рассмотрим частицу массы м под влиянием центрального потенциала V(р) в сферические полярные координаты (р, θ, φ)

${ displaystyle L (r, { dot {r}}, theta, { dot { theta}}, { dot { phi}}) = { frac {m} {2}} ({ точка {r}} ^ {2} + {r} ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi} } ^ {2}) - V (r) ,.}$

Уведомление φ является циклическим, поскольку не входит в лагранжиан. Импульс, сопряженный с φ постоянная

${ displaystyle p _ { phi} = { frac { partial L} { partial { dot { phi}}}} = mr ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi }} ,,}$

в котором р и dφ/dt может меняться со временем, но угловой момент п_φ постоянно. Рутианец можно считать

${ displaystyle { begin {align} R (r, { dot {r}}, theta, { dot { theta}}) & = p _ { phi} { dot { phi}} - L & = p _ { phi} { dot { phi}} - { frac {m} {2}} { dot {r}} ^ {2} - { frac {m} {2}} r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} - { frac {p _ { phi} { dot { phi}}} {2}} + V (r) & = { frac {p _ { phi} { dot { phi}}} {2}} - { frac {m} {2}} { dot {r}} ^ {2} - { frac {m} {2}} r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + V (r) & = { frac {p _ { phi} ^ {2}} {2mr ^ {2} sin ^ {2} theta}} - { frac {m} {2}} { dot {r}} ^ {2} - { frac {m} {2}} r ^ {2} { точка { theta}} ^ {2} + V (r) ,. end {align}}}$

Мы можем решить р и θ используя уравнения Лагранжа, и не нужно решать для φ поскольку он устраняется уравнениями Гамильтона. В р уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial R} { partial { dot {r}}}} = { frac { partial R} { partial r}} quad Rightarrow quad -m { ddot {r}} = - { frac {p _ { phi} ^ {2}} {mr ^ {3} sin ^ {2} theta}} - mr { dot { theta}} ^ {2} + { frac { partial V} { partial r}} ,,}$

и θ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial R} { partial { dot { theta}}}} = { frac { partial R} { partial theta}} quad Rightarrow quad -m (2r { dot {r}} { dot { theta}} + r ^ {2} { ddot { theta}}) = - { frac {p _ { phi } ^ {2} cos theta} {mr ^ {2} sin ^ {3} theta}} ,.}$

В рамках рутовского подхода получены два связанных нелинейных уравнения. Напротив, лагранжев подход приводит к три нелинейные связанные уравнения, смешивание в первой и второй производных по времени от φ во всех из них, несмотря на его отсутствие в лагранжиане.

В р уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {r}}}} = { frac { partial L} { partial r}} quad Rightarrow quad m { ddot {r}} = mr { dot { theta}} ^ {2} + mr sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} - { frac { partial V} { partial r}} ,,}$

в θ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { theta}}}} = { frac { partial L} { partial theta}} quad Rightarrow quad 2r { dot {r}} { dot { theta}} + r ^ {2} { ddot { theta}} = r ^ {2} sin theta cos theta { dot { phi}} ^ {2} ,,}$

в φ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { phi}}}} = { frac { partial L} { partial phi}} quad Rightarrow quad 2r { dot {r}} sin ^ {2} theta { dot { phi}} + 2r ^ {2} sin theta cos theta { dot { theta }} { dot { phi}} + r ^ {2} sin ^ {2} theta { ddot { phi}} = 0 ,.}$

Симметричные механические системы

Сферический маятник

Сферический маятник: углы и скорости.

Рассмотрим сферический маятник, масса м (известный как "маятник"), прикрепленный к жесткому стержню длиной л пренебрежимо малой массы, подверженной действию местного гравитационного поля грамм. Система вращается с угловой скоростью. dφ/dt который нет постоянный. Угол между стержнем и вертикалью составляет θ и является нет постоянный.

Лагранжиан равен^{[№ 3]}

${ displaystyle L ( theta, { dot { theta}}, { dot { phi}}) = { frac {m ell ^ {2}} {2}} ({ dot { theta }} ^ {2} + sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2}) + mg ell cos theta ,,}$

и φ - циклическая координата для системы с постоянным импульсом

${ displaystyle p _ { phi} = { frac { partial L} { partial { dot { phi}}}} = m ell ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ,.}$

который снова физически является угловым моментом системы относительно вертикали. Угол θ и угловая скорость dφ/dt меняются со временем, но угловой момент постоянен. Рутианец - это

${ displaystyle { begin {align} R ( theta, { dot { theta}}) & = p _ { phi} { dot { phi}} - L & = p _ { phi} { dot { phi}} - { frac {m ell ^ {2}} {2}} { dot { theta}} ^ {2} - { frac {p _ { phi} { dot { phi}}} {2}} - mg ell cos theta & = { frac {p _ { phi} { dot { phi}}} {2}} - { frac {m ell ^ {2}} {2}} { dot { theta}} ^ {2} -mg ell cos theta & = { frac {p _ { phi} ^ {2}} {2m ell ^ {2} sin ^ {2} theta}} - { frac {m ell ^ {2}} {2}} { dot { theta}} ^ {2} -mg ell соз тета конец {выровнено}}}$

В θ уравнение находится из уравнений Лагранжа

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial R} { partial { dot { theta}}}} = { frac { partial R} { partial theta}} quad Rightarrow quad -m ell ^ {2} { ddot { theta}} = - { frac {p _ { phi} ^ {2} cos theta} {m ell ^ {2} sin ^ {3} theta}} + mg ell sin theta ,,}$

или упрощение путем введения констант

${ displaystyle a = { frac {p _ { phi} ^ {2}} {m ^ {2} ell ^ {4}}} ,, quad b = { frac {g} { ell} } ,,}$

дает

${ displaystyle { ddot { theta}} = a { frac { cos theta} { sin ^ {3} theta}} - b sin theta ,.}$

Это уравнение напоминает простую нелинейную уравнение маятника, поскольку он может вращаться по вертикальной оси, с дополнительным членом для учета вращения вокруг вертикальной оси (постоянная а связан с угловым моментом п_φ).

Применяя лагранжев подход, необходимо решить два нелинейных связанных уравнения.

В θ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { theta}}}} = { frac { partial L} { partial theta}} quad Rightarrow quad m ell ^ {2} { ddot { theta}} = m ell ^ {2} sin theta cos theta { dot { phi}} ^ {2} - mg ell sin theta ,,}$

и φ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { phi}}}} = { frac { partial L} { partial phi}} quad Rightarrow quad 2 sin theta cos theta { dot { theta}} { dot { phi}} + sin ^ {2} theta { ddot { phi}} = 0 ,.}$

Тяжелый симметричный верх

Тяжелый симметричный волчок по углам Эйлера.

Тяжелый симметричный верх массы M имеет лагранжиан^[7][8]

${ displaystyle L ( theta, { dot { theta}}, { dot { psi}}, { dot { phi}}) = { frac {I_ {1}} {2}} ( { dot { theta}} ^ {2} + { dot { phi}} ^ {2} sin ^ {2} theta) + { frac {I_ {3}} {2}} ({ dot { psi}} ^ {2} + { dot { phi}} ^ {2} cos ^ {2} theta) + I_ {3} { dot { psi}} { dot { phi}} cos theta -Mg ell cos theta}$

куда ψ, φ, θ являются Углы Эйлера, θ угол между вертикалью z-оси и вершины z′-ось, ψ это вращение волчка вокруг себя z′-ось и φ азимутальный верх z′- ось по вертикали z-ось. Главный моменты инерции находятся я₁ о собственном топе Икс′ ось, я₂ о собственном топе у′ топоры и я₃ о собственном топе z′-ось. Поскольку вершина симметрична относительно своего z′-ось, я₁ = я₂. Здесь простое соотношение для локальных гравитационно потенциальная энергия V = Mglпотому чтоθ используется там, где грамм - ускорение свободного падения, а центр масс волчка - расстояние л от его кончика вдоль его z′-ось.

Углы ψ, φ цикличны. Постоянные импульсы - это угловые моменты волчка вокруг своей оси и его прецессия относительно вертикали соответственно:

${ displaystyle p _ { psi} = { frac { partial L} { partial { dot { psi}}}} = I_ {3} { dot { psi}} + I_ {3} { точка { phi}} cos theta}$

${ displaystyle p _ { phi} = { frac { partial L} { partial { dot { phi}}}} = { dot { phi}} (I_ {1} sin ^ {2} theta + I_ {3} cos ^ {2} theta) + I_ {3} { dot { psi}} cos theta}$

Из них, исключив dψ/dt:

${ displaystyle p _ { phi} -p _ { psi} cos theta = I_ {1} { dot { phi}} sin ^ {2} theta}$

у нас есть

${ displaystyle { dot { phi}} = { frac {p _ { phi} -p _ { psi} cos theta} {I_ {1} sin ^ {2} theta}} ,, }$

и устранить dφ/dt, подставим этот результат в п_ψ и решить для dψ/dt найти

${ displaystyle { dot { psi}} = { frac {p _ { psi}} {I_ {3}}} - cos theta left ({ frac {p _ { phi} -p _ { psi} cos theta} {I_ {1} sin ^ {2} theta}} right) ,.}$

Рутианец можно считать

${ Displaystyle R ( theta, { dot { theta}}) = p _ { psi} { dot { psi}} + p _ { phi} { dot { phi}} - L = { frac {1} {2}} (p _ { psi} { dot { psi}} + p _ { phi} { dot { phi}}) - { frac {I_ {1} { dot { theta}} ^ {2}} {2}} + Mg ell cos theta}$

и с тех пор

${ displaystyle { frac {p _ { phi} { dot { phi}}} {2}} = { frac {p _ { phi} ^ {2}} {2I_ {1} sin ^ {2 } theta}} - { frac {p _ { psi} p _ { phi} cos theta} {2I_ {1} sin ^ {2} theta}} ,,}$

${ displaystyle { frac {p _ { psi} { dot { psi}}} {2}} = { frac {p _ { psi} ^ {2}} {2I_ {3}}} - { frac {p _ { psi} p _ { phi} cos theta} {2I_ {1} sin ^ {2} theta}} + { frac {p _ { psi} ^ {2} cos ^ { 2} theta} {2I_ {1} sin ^ {2} theta}}}$

у нас есть

${ displaystyle R = { frac {p _ { psi} ^ {2}} {2I_ {3}}} + { frac {p _ { psi} ^ {2} cos ^ {2} theta} { 2I_ {1} sin ^ {2} theta}} + { frac {p _ { phi} ^ {2}} {2I_ {1} sin ^ {2} theta}} - { frac {p_ { psi} p _ { phi} cos theta} {I_ {1} sin ^ {2} theta}} - { frac {I_ {1} { dot { theta}} ^ {2} } {2}} + Mg ell cos theta ,.}$

Первый член постоянен, и его можно игнорировать, поскольку только производные от р войдет в уравнения движения. Таким образом, упрощенный рутовский язык без потери информации

${ Displaystyle R = { frac {1} {2I_ {1} sin ^ {2} theta}} left [p _ { psi} ^ {2} cos ^ {2} theta + p _ { phi} ^ {2} - { frac {p _ { psi} p _ { phi}} {2}} cos theta right] - { frac {I_ {1} { dot { theta}} ^ {2}} {2}} + Mg ell cos theta}$

Уравнение движения для θ является прямым вычислением

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial R} { partial { dot { theta}}}} = { frac { partial R} { partial theta}} quad Rightarrow quad}$

${ displaystyle -I_ {1} { ddot { theta}} = - { frac { cos theta} {I_ {1} sin ^ {3} theta}} left [p _ { psi} ^ {2} cos ^ {2} theta + p _ { phi} ^ {2} - { frac {p _ { psi} p _ { phi}} {2}} cos theta right] + { frac {1} {2I_ {1} sin ^ {2} theta}} left [-2p _ { psi} ^ {2} cos theta sin theta + { frac {p _ { psi} p _ { phi}} {2}} sin theta right] -Mg ell sin theta ,,}$

или введя константы

${ displaystyle a = { frac {p _ { psi} ^ {2}} {I_ {1} ^ {2}}} ,, quad b = { frac {p _ { phi} ^ {2} } {I_ {1} ^ {2}}} ,, quad c = { frac {p _ { psi} p _ { phi}} {2I_ {1} ^ {2}}} ,, quad k = { frac {Mg ell} {I_ {1}}} ,,}$

получается более простая форма уравнения

${ displaystyle { ddot { theta}} = { frac { cos theta} { sin ^ {3} theta}} (a cos ^ {2} theta + bc cos theta) + { frac {1} {2 sin theta}} (2a cos theta -c) + k sin theta ,.}$

Хотя уравнение сильно нелинейно, необходимо решить только одно уравнение, оно было получено напрямую, и циклические координаты не задействованы.

Напротив, лагранжев подход приводит к три нелинейные связанные уравнения, которые необходимо решить, несмотря на отсутствие координат ψ и φ в лагранжиане.

В θ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { theta}}}} = { frac { partial L} { partial theta}} quad Rightarrow quad I_ {1} { ddot { theta}} = (I_ {1} -I_ {3}) { dot { phi}} ^ {2} sin theta cos theta -I_ {3} { dot { psi}} { dot { phi}} sin theta + Mg ell sin theta ,,}$

в ψ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { psi}}}} = { frac { partial L} { partial psi}} quad Rightarrow quad { ddot { psi}} + { ddot { phi}} cos theta - { dot { phi}} { dot { theta}} sin theta = 0 ,,}$

и φ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { phi}}}} = { frac { partial L} { partial phi}} quad Rightarrow quad { ddot { phi}} (I_ {1} sin ^ {2} theta + I_ {3} cos ^ {2} theta) + { dot { phi}} (I_ {1} -I_ {3}) 2 sin theta cos theta { dot { theta}} + I_ {3} { ddot { psi}} cos theta -I_ {3} { dot { psi}} sin theta { dot { theta}} = 0 ,,}$

Потенциалы, зависящие от скорости

Классическая заряженная частица в однородном магнитном поле

Классическая заряженная частица в униформе B поле в цилиндрических координатах. Вершина: Если радиальная координата р и угловая скорость dθ/dt изменяются, траектория представляет собой геликоид с переменным радиусом, но равномерное движение в z направление. Нижний: Постоянный р и dθ/dt означает геликоид с постоянным радиусом.

Рассмотрим классический заряженная частица массы м и электрический заряд q в статической (не зависящей от времени) униформе (постоянной во всем пространстве) магнитное поле B.^[9] Лагранжиан заряженной частицы в общем случае электромагнитное поле предоставленный магнитный потенциал А и электрический потенциал φ является

${ displaystyle L = { frac {m} {2}} { dot { mathbf {r}}} ^ {2} -q phi + q { dot { mathbf {r}}} cdot mathbf {A} ,,}$

Удобно использовать цилиндрические координаты (р, θ, z), так что

${ displaystyle { dot { mathbf {r}}} = mathbf {v} = (v_ {r}, v _ { theta}, v_ {z}) = ({ dot {r}}, r { dot { theta}}, { dot {z}}) ,,}$

${ Displaystyle mathbf {B} = (B_ {r}, B _ { theta}, B_ {z}) = (0,0, B) ,.}$

В этом случае электрический потенциал равен нулю, φ = 0, и мы можем выбрать осевой датчик для магнитного потенциала

${ displaystyle mathbf {A} = { frac {1} {2}} mathbf {B} times mathbf {r} quad Rightarrow quad mathbf {A} = (A_ {r}, A_ { theta}, A_ {z}) = (0, Br / 2,0) ,,}$

а лагранжиан равен

${ displaystyle L (r, { dot {r}}, { dot { theta}}, { dot {z}}) = { frac {m} {2}} ({ dot {r} } ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { dot {z}} ^ {2}) + { frac {qBr ^ {2} { dot { theta}}} {2}} ,.}$

Обратите внимание, что этот потенциал имеет эффективно цилиндрическую симметрию (хотя он также имеет зависимость от угловой скорости), поскольку единственная пространственная зависимость зависит от радиальной длины от оси воображаемого цилиндра.

Есть две циклические координаты, θ и z. Канонические импульсы, сопряженные с θ и z константы

${ displaystyle p _ { theta} = { frac { partial L} { partial { dot { theta}}}} = mr ^ {2} { dot { theta}} + { frac {qBr ^ {2}} {2}} ,, quad p_ {z} = { frac { partial L} { partial { dot {z}}}} = m { dot {z}} , ,}$

поэтому скорости

${ displaystyle { dot { theta}} = { frac {1} {mr ^ {2}}} left (p _ { theta} - { frac {qBr ^ {2}} {2}} right) ,, quad { dot {z}} = { frac {p_ {z}} {m}} ,.}$

Угловой момент около z ось нет п_θ, но количество Мистер²dθ/dt, который не сохраняется из-за вклада магнитного поля. Канонический импульс п_θ - это сохраняющаяся величина. Это все еще так, что п_z - линейный или поступательный импульс вдоль z оси, которая также сохраняется.

Радиальная составляющая р и угловая скорость dθ/dt может меняться со временем, но п_θ постоянно, и поскольку п_z постоянно следует дз/dt постоянно. Рутианский язык может принимать форму

${ displaystyle { begin {align} R (r, { dot {r}}) & = p _ { theta} { dot { theta}} + p_ {z} { dot {z}} - L & = p _ { theta} { dot { theta}} + p_ {z} { dot {z}} - { frac {m} {2}} { dot {r}} ^ {2 } - { frac {p _ { theta} { dot { theta}}} {2}} - { frac {p_ {z} { dot {z}}} {2}} - { frac { 1} {2}} qBr ^ {2} { dot { theta}} [6pt] & = (p _ { theta} -qBr ^ {2}) { frac { dot { theta}} {2}} - { frac {m} {2}} { dot {r}} ^ {2} + { frac {p_ {z} { dot {z}}} {2}} [ 6pt] & = { frac {1} {2mr ^ {2}}} left (p _ { theta} -qBr ^ {2} right) left (p _ { theta} - { frac {qBr ^ {2}} {2}} right) - { frac {m} {2}} { dot {r}} ^ {2} + { frac {p_ {z} ^ {2}} {2m} } [6pt] & = { frac {1} {2mr ^ {2}}} left (p _ { theta} ^ {2} - { frac {3} {2}} qBr ^ {2} + { frac {(qB) ^ {2} r ^ {4}} {2}} right) - { frac {m} {2}} { dot {r}} ^ {2} end { выровнено}}}$

где в последней строке п_z²/2м срок является константой и может игнорироваться без потери целостности. Гамильтоновы уравнения для θ и z автоматически исчезают и не требуют решения. Уравнение Лагранжа в р

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial R} { partial { dot {r}}}} = { frac { partial R} { partial r}}}$

по прямому расчету

${ displaystyle -m { ddot {r}} = { frac {1} {2m}} left [{ frac {-2} {r ^ {3}}} left (p _ { theta} ^ {2} - { frac {3} {2}} qBr ^ {2} + { frac {(qB) ^ {2} r ^ {4}} {2}} right) + { frac {1 } {r ^ {2}}} (- 3qBr + 2 (qB) ^ {2} r ^ {3}) right] ,,}$

который после сбора условий

${ displaystyle m { ddot {r}} = { frac {1} {2m}} left [{ frac {2p _ { theta} ^ {2}} {r ^ {3}}} - (qB ) ^ {2} г справа] ,,}$

и дальнейшее упрощение путем введения констант

${ displaystyle a = { frac {p _ { theta} ^ {2}} {m ^ {2}}} ,, quad b = - { frac {(qB) ^ {2}} {2m ^ {2}}} ,,}$

дифференциальное уравнение

${ displaystyle { ddot {r}} = { frac {a} {r ^ {3}}} + br}$

Чтобы увидеть, как z меняется со временем, проинтегрируем импульсное выражение для п_z над

${ displaystyle z = { frac {p_ {z}} {m}} t + c_ {z} ,,}$

куда c_z - произвольная константа, начальное значение z будет указано в первоначальные условия.

Движение частицы в этой системе равно геликоидальный с равномерным (постоянным) осевым движением, но радиальная и угловая составляющие меняются по спирали в соответствии с уравнением движения, полученным выше. Начальные условия на р, доктор/dt, θ, dθ/dt, определит, имеет ли траектория частицы постоянное р или варьируя р. Если изначально р не ноль, но доктор/dt = 0, пока θ и dθ/dt произвольны, то начальная скорость частицы не имеет радиальной составляющей, р постоянна, поэтому движение будет идеальным. Если р постоянна, угловая скорость также постоянна в соответствии с сохраняющимся п_θ.

При лагранжевом подходе уравнение для р будет включать dθ/dt которое необходимо исключить, и были бы уравнения для θ и z решить для.

В р уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {r}}}} = { frac { partial L} { partial r}} quad Rightarrow quad m { ddot {r}} = mr { dot { theta}} ^ {2} + qBr { dot { theta}} ,,}$

в θ уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { theta}}}} = { frac { partial L} { partial theta}} quad Rightarrow quad m (2r { dot {r}} { dot { theta}} + r ^ {2} { ddot { theta}}) + qBr { dot {r}} = 0 ,,}$

и z уравнение

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {z}}}} = { frac { partial L} { partial z}} quad Rightarrow quad m { ddot {z}} = 0 ,.}$

В z уравнение тривиально интегрировать, но р и θ в любом случае производные по времени смешаны во всех уравнениях и должны быть исключены.

Смотрите также

• Вариационное исчисление
• Фазовое пространство
• Пространство конфигурации
• Проблема многих тел
• Механика жесткого тела

Сноски

Примечания

Рекомендации

• Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (15 января 1976 г.). Механика (3-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. п. 134. ISBN  9780750628969.
• Hand, L.N .; Финч, Дж. Д. (13 ноября 1998 г.). Аналитическая механика (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 23. ISBN  9780521575720.
• Kibble, T. W. B .; Беркшир, Ф. Х. (2004). Классическая механика (5-е изд.). Imperial College Press. п. 236. ISBN  9781860944352.
• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. С. 352–353. ISBN  0201029189.
• Гольдштейн, Герберт; Пул, Чарльз П., младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. С. 347–349. ISBN  0-201-65702-3.