Сферический маятник: углы и скорости.
В физика , а сферический маятник является многомерным аналогом маятник . Он состоит из масса м двигаясь без трение на поверхности сфера . Единственный силы на массу действуют реакция из сферы и сила тяжести .
Благодаря сферической геометрии задачи, сферические координаты используются для описания положения массы в терминах (р , θ , φ ), где р фиксированный, р =л .
Лагранжева механика Обычно, чтобы записать кинетическую Т = 1 2 м v 2 { Displaystyle Т = { tfrac {1} {2}} мв ^ {2}} V { displaystyle V} L = Т − V { Displaystyle L = Т-В}
Икс = л грех θ потому что ϕ { Displaystyle х = л грех тета соз фи} y = л грех θ грех ϕ { Displaystyle у = л грех тета грех фи} z = л ( 1 − потому что θ ) { Displaystyle Z = L (1- соз тета)} Затем берутся производные по времени от этих координат, чтобы получить скорости по осям
Икс ˙ = л потому что θ потому что ϕ θ ˙ − л грех θ грех ϕ ϕ ˙ { displaystyle { dot {x}} = l cos theta cos phi , { dot { theta}} - l sin theta sin phi , { dot { phi}} } y ˙ = л потому что θ грех ϕ θ ˙ + л грех θ потому что ϕ ϕ ˙ { displaystyle { dot {y}} = l cos theta sin phi , { dot { theta}} + l sin theta cos phi , { dot { phi}} } z ˙ = л грех θ θ ˙ { displaystyle { dot {z}} = l sin theta , { dot { theta}}} Таким образом,
v 2 = Икс ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 = л 2 ( θ ˙ 2 + грех 2 θ ϕ ˙ 2 ) { displaystyle v ^ {2} = { dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2} + { dot {z}} ^ {2} = l ^ {2} left ({ dot { theta}} ^ {2} + sin ^ {2} theta , { dot { phi}} ^ {2} right)} и
Т = 1 2 м v 2 = 1 2 м л 2 ( θ ˙ 2 + грех 2 θ ϕ ˙ 2 ) { displaystyle T = { tfrac {1} {2}} mv ^ {2} = { tfrac {1} {2}} ml ^ {2} left ({ dot { theta}} ^ {2 } + sin ^ {2} theta , { dot { phi}} ^ {2} right)} V = м г z = м г л ( 1 − потому что θ ) { Displaystyle V = мг , z = мг , л (1- соз тета)} Лагранжиан без постоянных частей есть[1]
L = 1 2 м л 2 ( θ ˙ 2 + грех 2 θ ϕ ˙ 2 ) + м г л потому что θ . { displaystyle L = { frac {1} {2}} ml ^ {2} left ({ dot { theta}} ^ {2} + sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} right) + mgl cos theta.} В Уравнение Эйлера – Лагранжа. включая полярный угол θ { displaystyle theta}
d d т ∂ ∂ θ ˙ L − ∂ ∂ θ L = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial} { partial { dot { theta}}}} L - { frac { partial} { partial theta}} L = 0} дает
d d т ( м л 2 θ ˙ ) − м л 2 грех θ потому что θ ϕ ˙ 2 + м г л грех θ = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} left (ml ^ {2} { dot { theta}} right) -ml ^ {2} sin theta cos theta { dot { phi}} ^ {2} + mgl sin theta = 0} и
θ ¨ = грех θ потому что θ ϕ ˙ 2 − г л грех θ { displaystyle { ddot { theta}} = sin theta cos theta { dot { phi}} ^ {2} - { frac {g} {l}} sin theta} Когда ϕ ˙ = 0 { displaystyle { dot { phi}} = 0} дифференциальное уравнение для движения простой гравитационный маятник .
Точно так же Уравнение Эйлера – Лагранжа. с участием азимута ϕ { displaystyle phi}
d d т ∂ ∂ ϕ ˙ L − ∂ ∂ ϕ L = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partial} { partial { dot { phi}}}} L - { frac { partial} { partial phi}} L = 0} дает
d d т ( м л 2 грех 2 θ ϕ ˙ ) = 0 { displaystyle { frac {d} {dt}} left (ml ^ {2} sin ^ {2} theta , { dot { phi}} right) = 0} Последнее уравнение показывает, что угловой момент вокруг вертикальной оси, | L z | = л грех θ × м л грех θ ϕ ˙ { displaystyle | mathbf {L} _ {z} | = l sin theta times ml sin theta , { dot { phi}}} ϕ { displaystyle phi} циклическая координата , откуда следует, что его сопряженный импульс это постоянная движения .
В конический маятник относится к специальным решениям, где θ ˙ = 0 { displaystyle { dot { theta}} = 0} ϕ ˙ { displaystyle { dot { phi}}}
Гамильтонова механика Гамильтониан
ЧАС = п θ θ ˙ + п ϕ ϕ ˙ − L { displaystyle H = P _ { theta} { dot { theta}} + P _ { phi} { dot { phi}} - L} где сопряженные импульсы
п θ = ∂ L ∂ θ ˙ = м л 2 θ ˙ { displaystyle P _ { theta} = { frac { partial L} { partial { dot { theta}}}} = ml ^ {2} { dot { theta}}} и
п ϕ = ∂ L ∂ ϕ ˙ = м л 2 грех 2 θ ϕ ˙ { Displaystyle P _ { phi} = { frac { partial L} { partial { dot { phi}}} = ml ^ {2} sin ^ {2} ! theta , { точка { phi}}} С точки зрения координат и импульсов это читается как
ЧАС = [ 1 2 м л 2 θ ˙ 2 + 1 2 м л 2 грех 2 θ ϕ ˙ 2 ] ⏟ Т + [ − м г л потому что θ ] ⏟ V = п θ 2 2 м л 2 + п ϕ 2 2 м л 2 грех 2 θ − м г л потому что θ { displaystyle H = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos theta { Big]}} _ {V} = {P _ { theta} ^ {2} over 2ml ^ {2}} + {P _ { phi} ^ {2} over 2ml ^ {2} sin ^ {2} theta} -mgl cos theta}
Уравнения Гамильтона дадут временную эволюцию координат и импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка.
θ ˙ = п θ м л 2 { displaystyle { dot { theta}} = {P _ { theta} over ml ^ {2}}} ϕ ˙ = п ϕ м л 2 грех 2 θ { displaystyle { dot { phi}} = {P _ { phi} over ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} п θ ˙ = п ϕ 2 м л 2 грех 3 θ потому что θ − м г л грех θ { displaystyle { dot {P _ { theta}}} = {P _ { phi} ^ {2} over ml ^ {2} sin ^ {3} theta} cos theta -mgl sin тета} п ϕ ˙ = 0 { displaystyle { dot {P _ { phi}}} = 0} Импульс п ϕ { displaystyle P _ { phi}}
Траектория Траектория сферического маятника.
Траекторию движения массы на сфере можно получить из выражения для полной энергии
E = [ 1 2 м л 2 θ ˙ 2 + 1 2 м л 2 грех 2 θ ϕ ˙ 2 ] ⏟ Т + [ − м г л потому что θ ] ⏟ V { displaystyle E = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos тета { Big]}} _ {V}} отмечая, что вертикальная составляющая углового момента L z = м л 2 грех 2 θ ϕ ˙ { displaystyle L_ {z} = ml ^ {2} sin ^ {2} ! theta , { dot { phi}}} [1]
Следовательно
E = 1 2 м л 2 θ ˙ 2 + 1 2 L z 2 м л 2 грех 2 θ − м г л потому что θ { displaystyle E = { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2}} { frac {L_ {z } ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} - mgl cos theta} ( d θ d т ) 2 = 2 м л 2 [ E − 1 2 L z 2 м л 2 грех 2 θ + м г л потому что θ ] { displaystyle left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2} = { frac {2} {ml ^ {2}}} left [E - { frac {1 } {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right]} что приводит к эллиптический интеграл первого вида[1] θ { displaystyle theta}
т ( θ ) = 1 2 м л 2 ∫ [ E − 1 2 L z 2 м л 2 грех 2 θ + м г л потому что θ ] − 1 2 d θ { displaystyle t ( theta) = { sqrt {{ tfrac {1} {2}} ml ^ {2}}} int left [E - { frac {1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta} и эллиптический интеграл третьего рода для ϕ { displaystyle phi}
ϕ ( θ ) = L z л 2 м ∫ грех − 2 θ [ E − 1 2 L z 2 м л 2 грех 2 θ + м г л потому что θ ] − 1 2 d θ { displaystyle phi ( theta) = { frac {L_ {z}} {l { sqrt {2m}}}} int sin ^ {- 2} theta left [E - { frac { 1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta} Угол θ { displaystyle theta} [1]
E > 1 2 L z 2 м л 2 грех 2 θ − м г л потому что θ { displaystyle E> { frac {1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} - mgl cos theta } Смотрите также использованная литература ^ а б c d Ландау Лев Давидович; Евгений Михайлович Лифшиц (1976). Курс теоретической физики: Том 1 Механика . Баттерворт-Хайненанн. С. 33–34. ISBN 0750628960 дальнейшее чтение Вайнштейн, Александр (1942). «Сферический маятник и сложная интеграция». Американский математический ежемесячник . 49 (8): 521–523. Дои :10.1080/00029890.1942.11991275 . Кон, Уолтер (1946). «Интеграция Countour в теории сферического маятника и тяжелого симметричного волчка» . Труды Американского математического общества . 59 (1): 107–131. Дои :10.2307/1990314 JSTOR 1990314 . Олссон, М. Г. (1981). «Снова о сферическом маятнике». Американский журнал физики . 49 (6): 531–534. Bibcode :1981AmJPh..49..531O . Дои :10.1119/1.12666 . Хорозов, Эмиль (1993). «Об изоэнергетической невырожденности сферического маятника». Письма о физике A . 173 (3): 279–283. Bibcode :1993ФЛА..173..279Х . Дои :10.1016/0375-9601(93)90279-9 . Ширяев, А. С .; Ludvigsen, H .; Эгеланн, О. (2004). «Раскачивание сферического маятника за счет стабилизации его первых интегралов». Automatica . 40 : 73–85. Дои :10.1016 / j.automatica.2003.07.009 . Эссен, Ханно; Апазидис, Николай (2009). «Поворотные точки сферического маятника и золотой пайки». Европейский журнал физики . 30 (2): 427–432. Bibcode :2009EJPh ... 30..427E . Дои :10.1088/0143-0807/30/2/021 . Дуллин, Хольгер Р. (2013). «Полуглобальные симплектические инварианты сферического маятника» . Журнал дифференциальных уравнений . 254 (7): 2942–2963. Дои :10.1016 / j.jde.2013.01.018
![{ displaystyle H = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos theta { Big]}} _ {V} = {P _ { theta} ^ {2} over 2ml ^ {2}} + {P _ { phi} ^ {2} over 2ml ^ {2} sin ^ {2} theta} -mgl cos theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fba559e72c54948fa4c38b815869b969633459)
![{ displaystyle E = underbrace {{ Big [} { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { frac {1} {2} } ml ^ {2} sin ^ {2} theta { dot { phi}} ^ {2} { Big]}} _ {T} + underbrace {{ Big [} -mgl cos тета { Big]}} _ {V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c7b2b6c9a1156f74bab1a7553ec2b3f38060b2)
![{ displaystyle left ({ frac {d theta} {dt}} right) ^ {2} = { frac {2} {ml ^ {2}}} left [E - { frac {1 } {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743df9be7b10527d8ce22bb907390d1bc09d3309)
![{ displaystyle t ( theta) = { sqrt {{ tfrac {1} {2}} ml ^ {2}}} int left [E - { frac {1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e232c62317bab07efd86d2c4c851acbf6139155)
![{ displaystyle phi ( theta) = { frac {L_ {z}} {l { sqrt {2m}}}} int sin ^ {- 2} theta left [E - { frac { 1} {2}} { frac {L_ {z} ^ {2}} {ml ^ {2} sin ^ {2} theta}} + mgl cos theta right] ^ {- { frac {1} {2}}} , d theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129038d5e92ee236cab05e797bff7e66c5ceec20)
