Конический маятник - Conical pendulum

Монументальные конические маятниковые часы Фарко, 1878 г.

А конический маятник состоит из гири (или боб ) закреплен на конце струны или стержня, подвешенного на стержне. Его конструкция похожа на обычную маятник; однако, вместо того, чтобы качаться вперед и назад, опора конического маятника движется с постоянной скоростью в круг струной (или стержнем) конус. Конический маятник впервые изучил английский ученый Роберт Гук около 1660 г.^[1] как модель для орбитальное движение из планеты.^[2] В 1673 г. голландский ученый Кристиан Гюйгенс рассчитал его период, используя свою новую концепцию центробежная сила в его книге Часы Oscillatorium. Позже он использовался как элемент хронометража в некоторых механических часах и других часовых механизмах.^[3][4]

Использует

В течение 1800-х годов конические маятники использовались в качестве элемента хронометража в нескольких часовых механизмах, где требовалось плавное движение, в отличие от неизбежно резкого движения, обеспечиваемого обычными маятниками.^[4] Двумя примерами были механизмы, поворачивающие линзы маяки чтобы пронести их лучи по морю, и расположение приводов экваториальная гора телескопы, чтобы телескоп мог плавно следовать за звездой по небу при повороте Земли.^[3]

Одно из наиболее важных применений конического маятника было в регуляторе flyball (центробежный регулятор ) изобретен Джеймс Ватт в 1788 г., который регулировал скорость паровых машин во время Steam Age в 1800-х гг. Игровая площадка тезербол использует шар, прикрепленный к шесту шнуром, который функционирует как конический маятник, хотя маятник становится короче, когда шнур наматывается на шест. Немного аттракционы действуют как конические маятники.

Анализ

Рассмотрим конический маятник, состоящий из боб массы м вращение без трения по кругу с постоянной скоростью v на веревке длины L под углом θ от вертикали.

На боб действуют две силы:

• напряженность Т в струне, которая приложена вдоль линии струны и действует в направлении точки подвешивания.
• нисходящий боб масса мг, куда м это масса боба и грамм местный гравитационное ускорение.

Силу, оказываемую струной, можно разделить на горизонтальную составляющую, Т грех (θ) к центру круга, а вертикальная составляющая Т cos (θ), в направлении вверх. Из Второй закон Ньютона, горизонтальная составляющая натяжения струны дает бобу центростремительное ускорение к центру круга:

${displaystyle Tsin heta = {frac {mv ^ {2}} {r}},}$

Конический маятник, опора которого движется по горизонтальной окружности радиуса р. Боб имеет массу м и подвешивается на веревке длиной L. Сила натяжения струны, действующая на боб, представляет собой вектор Т, а вес боба - вектор мг.

Поскольку в вертикальном направлении ускорение отсутствует, вертикальная составляющая натяжения струны равна и противоположна весу боба:

${displaystyle Tcos heta = mg,}$

Эти два уравнения могут быть решены относительно Т/м и приравняли, тем самым исключив Т и м:

${displaystyle {frac {g} {cos heta}} = {frac {v ^ {2}} {rsin heta}}}$

Поскольку скорость качания маятника постоянна, ее можно выразить как длину окружности 2πr делится на время т на один оборот боба требуется:

${displaystyle v = {frac {2pi r} {t}}}$

Подставляя правую часть этого уравнения на v в предыдущем уравнении находим:

${displaystyle {frac {g} {cos heta}} = {frac {({frac {2pi r} {t}}) ^ {2}} {rsin heta}} = {frac {(2pi) ^ {2} r } {t ^ {2} sin heta}}}$

Используя тригонометрическое тождество tan (θ) = грех (θ) / cos (θ) и решение для т, время, необходимое бобу на один оборот, равно

${displaystyle t = 2pi {sqrt {frac {r} {g an heta}}}}$

В практическом эксперименте р варьируется и не так легко измерить, как постоянная длина строки L. р можно исключить из уравнения, отметив, что р, час, и L образуют прямоугольный треугольник с θ угол между ногами час и гипотенуза L (см. диаграмму). Следовательно,

${displaystyle r = Lsin heta,}$

Подставляя это значение для р дает формулу, единственным изменяющимся параметром которой является угол подвесаθ:^[5]

Для малых углов θ, cos (θ) ≈ 1; в таком случае

${displaystyle tapprox 2pi {sqrt {frac {L} {g}}}}$

так что для малых углов период т конического маятника равен периоду обычного маятника такой же длины. Кроме того, период для малых углов примерно не зависит от изменения угла θ. Это означает, что период вращения примерно не зависит от силы, приложенной для его вращения. Это свойство, называемое изохронизм, является общим с обычными маятниками и делает оба типа маятников полезными для хронометража.

Смотрите также

• Три закона движения Ньютона
• Маятник
• Маятник (математика)

Рекомендации

внешняя ссылка

• Интерактивное моделирование конического маятника на Java