Центростремительная сила - Centripetal force

Эта статья содержит множество разделов без ссылок и нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Центростремительная сила"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Часть серии по
Классическая механика
${displaystyle {extbf {F}} = {гидроразрыв {d} {dt}} (m {extbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование  (соотношение ) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный  / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  (линейный ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика

А центростремительная сила (из латинский центр, "центр" и Питер, "искать"^[1]) это сила что заставляет тело следовать изогнутой дорожка. Его направление всегда ортогональный движению тела и к фиксированной точке мгновенного центр кривизны пути. Исаак Ньютон описал его как «силу, с помощью которой тела притягиваются или толкаются, или каким-либо образом стремятся к точке как к центру».^[2] В Ньютоновская механика, гравитация обеспечивает центростремительную силу, вызывающую астрономические орбиты.

Одним из распространенных примеров центростремительной силы является случай, когда тело движется с постоянной скоростью по круговой траектории. Центростремительная сила направлена ​​под прямым углом к ​​движению, а также по радиусу к центру круговой траектории.^[3][4] Математическое описание было получено в 1659 году голландским физиком. Кристиан Гюйгенс.^[5]

Формулы

Величина центростремительной силы на объект массы м движется в тангенциальная скорость v по пути с радиус кривизны р является:^[6]

${displaystyle F_ {c} = ma_ {c} = {frac {mv ^ {2}} {r}}}$

${displaystyle a_ {c} = {frac {v} {t}} {hat {r}} = {frac {romega} {t}} {hat {r}} = vomega = {frac {v ^ {2}} {р}}}$

куда ${displaystyle a_ {c}}$ это центростремительное ускорение Направление силы - к центру круга, в котором движется объект, или к центру круга, в котором движется объект. соприкасающийся круг (круг, который лучше всего соответствует локальному пути объекта, если путь не круговой).^[7]Скорость в формуле возведена в квадрат, поэтому удвоение скорости требует четырехкратного увеличения силы. Обратная связь с радиусом кривизны показывает, что половина радиального расстояния требует вдвое большей силы. Эту силу также иногда записывают в терминах угловая скорость ω объекта относительно центра окружности, связанной с касательной скоростью по формуле

${displaystyle v = omega r}$

так что

${displaystyle F_ {c} = mromega ^ {2} ,.}$

Выражается с использованием орбитальный период Т за один оборот круга,

${displaystyle omega = {frac {2pi} {T}},}$

уравнение становится

${displaystyle F_ {c} = mrleft ({frac {2pi} {T}} ight) ^ {2}.}$^[8]

В ускорителях частиц скорость может быть очень высокой (близкой к скорости света в вакууме), поэтому та же масса покоя теперь проявляет большую инерцию (релятивистская масса), что требует большей силы для того же центростремительного ускорения, поэтому уравнение принимает следующий вид:^[9]

${displaystyle F_ {c} = {frac {gamma mv ^ {2}} {r}}}$

куда

${displaystyle gamma = {frac {1} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

это Фактор Лоренца.

Таким образом, центростремительная сила определяется выражением:

${displaystyle F_ {c} = гамма мвомега}$

что является скоростью изменения релятивистский импульс ${displaystyle gamma mv}$.

Источники

Тело испытывает равномерное круговое движение требуется центростремительная сила по направлению к оси, как показано, для поддержания его кругового пути.

В случае объекта, который раскачивается на конце веревки в горизонтальной плоскости, центростремительная сила, действующая на объект, создается за счет натяжения веревки. Пример веревки - это пример силы «тяги». Центростремительная сила также может подаваться как сила толчка, например, в случае, когда нормальная реакция стены обеспечивает центростремительную силу для стена смерти всадник.

Ньютон представление о центростремительной силе соответствует тому, что в наши дни называют центральная сила. Когда спутник в орбита вокруг планета, гравитация считается центростремительной силой, даже если в случае эксцентрических орбит гравитационная сила направлена ​​к фокусу, а не к мгновенному центру кривизны.^[10]

Другой пример центростремительной силы возникает в спирали, которая прослеживается, когда заряженная частица движется равномерно. магнитное поле при отсутствии других внешних сил. В этом случае магнитная сила - это центростремительная сила, действующая по направлению к оси спирали.

Разбор нескольких случаев

Ниже приведены три примера возрастающей сложности с выводом формул, определяющих скорость и ускорение.

Равномерное круговое движение

Равномерное круговое движение относится к случаю постоянной скорости вращения. Вот два подхода к описанию этого случая.

Вывод исчисления

В двух измерениях вектор положения ${displaystyle {extbf {r}}}$, имеющий величину (длину) ${displaystyle r}$ и направлен под углом ${displaystyle heta}$ над осью абсцисс, может быть выражено как Декартовы координаты с использованием единичные векторы ${displaystyle {hat {x}}}$ и ${displaystyle {hat {y}}}$:^[11]

${displaystyle {extbf {r}} = rcos (heta) {hat {x}} + rsin (heta) {hat {y}}.}$

Предполагать равномерное круговое движение, что требует трех вещей.

1. Объект движется только по кругу.
2. Радиус круга ${displaystyle r}$ не меняется со временем.
3. Объект движется с постоянным угловая скорость ${displaystyle omega}$ по кругу. Следовательно, ${displaystyle heta = omega t}$ куда ${displaystyle t}$ время.

Теперь найдите скорость ${displaystyle {extbf {v}}}$ и ускорение ${displaystyle {extbf {a}}}$ движения, взяв производные положения по времени.

${displaystyle {extbf {r}} = rcos (omega t) {hat {x}} + rsin (omega t) {hat {y}}}$

${displaystyle {dot {extbf {r}}} = {extbf {v}} = - romega sin (omega t) {hat {x}} + romega cos (omega t) {hat {y}}}$

${displaystyle {ddot {extbf {r}}} = {extbf {a}} = - romega ^ {2} cos (omega t) {hat {x}} - romega ^ {2} sin (omega t) {hat { y}}}$

${displaystyle {extbf {a}} = - omega ^ {2} (rcos (omega t) {hat {x}} + rsin (omega t) {hat {y}})}$

Обратите внимание, что термин в скобках является исходным выражением ${displaystyle {extbf {r}}}$ в Декартовы координаты. Как следствие,

${displaystyle {extbf {a}} = - omega ^ {2} {extbf {r}}.}$

отрицательный показывает, что ускорение направлено к центру круга (напротив радиуса), поэтому оно называется «центростремительным» (то есть «центростремительным»). Хотя объекты естественно следуют по прямому пути (из-за инерция ), это центростремительное ускорение описывает траекторию кругового движения, вызванного центростремительной силой.

Вывод с использованием векторов

Векторные отношения для равномерного кругового движения; вектор Ω представляющее вращение нормально к плоскости орбиты с полярностью, определяемой правило правой руки и величина dθ /dt.

На изображении справа показаны векторные отношения для равномерного кругового движения. Само вращение представлено вектором угловой скорости Ω, которая перпендикулярна плоскости орбиты (с помощью правило правой руки ) и имеет величину, определяемую:

${displaystyle | mathbf {Omega} | = {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} = omega,}$

с θ угловое положение во времени т. В этом подразделе dθ/ дт считается постоянной, не зависящей от времени. Пройденное расстояние dℓ частицы за время dт по круговой дорожке

${displaystyle mathrm {d} {oldsymbol {ell}} = mathbf {Omega} imes mathbf {r} (t) mathrm {d} t,}$

которые по свойствам векторное произведение, имеет величину рdθ и находится в направлении, касательном к круговой траектории.

Как следствие,

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {r}} {mathrm {d} t}} = lim _ {{Delta} to o 0} {frac {mathbf {r} (t + {Delta} t) -mathbf { r} (t)} {{Delta} t}} = {frac {mathrm {d} {oldsymbol {ell}}} {mathrm {d} t}}.}.$

Другими словами,

${displaystyle mathbf {v} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {mathrm {d} mathbf {r}} {mathrm {d} t}} = {frac {mathrm {d} mathbf {oldsymbol { ell}}} {mathrm {d} t}} = mathbf {Omega} imes mathbf {r} (t).}$

Дифференцируя по времени,

${displaystyle mathbf {a} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {mathrm {d} mathbf {v}} {dmathrm {t}}} = mathbf {Omega} imes {frac {mathrm {d} mathbf {r} (t)} {mathrm {d} t}} = mathbf {Omega} осталось много [mathbf {Omega} imes mathbf {r} (t) ight].}$

Формула Лагранжа состояния:

${displaystyle mathbf {a} imes left (mathbf {b} imes mathbf {c} ight) = mathbf {b} left (mathbf {a} cdot mathbf {c} ight) -mathbf {c} left (mathbf {a} cdot mathbf {b} ight).}$

Применяя формулу Лагранжа с замечанием, что Ω • r(т) = 0 всегда,

${displaystyle mathbf {a} = - {| mathbf {Omega |}} ^ {2} mathbf {r} (t).}$

Проще говоря, ускорение указывает прямо противоположно радиальному смещению. р во все времена и имеет величину:

${displaystyle | mathbf {a} | = | mathbf {r} (t) | left ({frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} ight) ^ {2} = r {omega} ^ { 2}}$

где вертикальные полосы | ... | обозначают модуль вектора, который в случае р(т) - это просто радиус р пути. Этот результат согласуется с предыдущим разделом, хотя обозначения немного другие.

Когда скорость вращения сделана постоянной при анализе неравномерное круговое движение, этот анализ согласуется с этим.

Достоинством векторного подхода является то, что он явно не зависит от какой-либо системы координат.

Пример: поворот с наклоном

Верхняя панель: мяч на круговой дорожке с наклоном движется с постоянной скоростью. v; Нижняя панель: Силы на шаре

Верхняя панель на изображении справа показывает шар, совершающий круговое движение по кривой с наклоном. Кривая наклонена под углом θ от горизонтали, и поверхность дороги считается скользкой. Цель состоит в том, чтобы определить, под каким углом должен быть крен, чтобы мяч не соскользнул с дороги.^[12] Интуиция подсказывает нам, что на ровной кривой без кренов мяч просто соскользнет с дороги; в то время как при очень крутом крене мяч будет скользить к центру, если он не будет быстро перемещаться по кривой.

Помимо любого ускорения, которое может возникнуть в направлении траектории, нижняя панель изображения выше указывает силы, действующие на мяч. Есть два силы; один - сила тяжести, направленная вертикально вниз через центр масс мяча мграмм, куда м масса шара и грамм это гравитационное ускорение; второй - вверх нормальная сила проявляется дорогой под прямым углом к ​​дорожному покрытию ма_п. Центростремительная сила, требуемая криволинейным движением, также показана выше. Эта центростремительная сила не является третьей силой, приложенной к мячу, она должна создаваться равнодействующая сила на мяч в результате векторное сложение из нормальная сила и сила притяжения. Результирующая или равнодействующая сила на шаре, найденном векторное сложение из нормальная сила оказываемое дорогой и вертикальной силой из-за сила тяжести должен равняться центростремительной силе, продиктованной необходимостью пройти круговой путь. Криволинейное движение сохраняется до тех пор, пока эта результирующая сила обеспечивает центростремительную силу, необходимую для движения.

Горизонтальная чистая сила, действующая на мяч - это горизонтальная составляющая силы со стороны дороги, величина которой |F_час| = м|а_п| грехθ. Вертикальная составляющая силы от дороги должна противодействовать силе тяжести: |F_v| = м|а_п| cosθ = м|грамм|, что означает |а_п|=|грамм| / cosθ. Подставляя в приведенную выше формулу для |F_час| дает горизонтальную силу:

${displaystyle | mathbf {F} _ {mathrm {h}} | = m | mathbf {g} | {frac {mathrm {sin} heta} {mathrm {cos} heta}} = m | mathbf {g} | mathrm { tan} heta.}$

С другой стороны, на скорости |v| по круговой траектории радиуса р, кинематика говорит, что сила, необходимая для непрерывного поворота шара в поворот, является радиально направленной внутрь центростремительной силой F_c величины:

${displaystyle | mathbf {F} _ {mathrm {c}} | = m | mathbf {a} _ {mathrm {c}} | = {frac {m | mathbf {v} | ^ {2}} {r}} .}$

Следовательно, мяч движется по устойчивой траектории, если угол наклона дороги соответствует условию:

${displaystyle m | mathbf {g} | mathrm {tan} heta = {frac {m | mathbf {v} | ^ {2}} {r}},}$

или же,

${displaystyle mathrm {tan} heta = {frac {| mathbf {v} | ^ {2}} {| mathbf {g} | r}}.}$

Как угол крена θ приближается к 90 °, касательная функция приближается к бесконечности, допуская большие значения для |v|²/р. На словах это уравнение утверждает, что для больших скоростей (больше |v|) дорога должна быть более крутой (большее значение для θ), и для более крутых поворотов (меньшие р) дорога также должна быть круче, что согласуется с интуицией. Когда угол θ не удовлетворяет вышеуказанному условию, горизонтальная составляющая силы, действующая со стороны дороги, не обеспечивает правильную центростремительную силу, и требуется дополнительная сила трения, касательная к поверхности дороги, чтобы обеспечить разницу. Если трение не может этого сделать (то есть коэффициент трения превышен), мяч скользит по другому радиусу, где можно реализовать баланс.^[13][14]

Эти идеи применимы и к авиаперелетам. См. Руководство пилота FAA.^[15]

Неравномерное круговое движение

Скорость и ускорение для неравномерного кругового движения: вектор скорости касается орбиты, но вектор ускорения не направлен радиально внутрь из-за его тангенциальной составляющей. а_θ что увеличивает скорость вращения: dω / dt = | а_θ| / р.

В качестве обобщения случая равномерного кругового движения предположим, что угловая скорость вращения не постоянна. Ускорение теперь имеет тангенциальную составляющую, как показано на изображении справа. Этот случай используется для демонстрации стратегии вывода, основанной на полярная система координат.

Позволять р(т) - вектор, описывающий положение точечная масса как функция времени. Поскольку мы предполагаем круговое движение, позволять р(т) = р·ты_р, куда р - константа (радиус круга) и ты_р это единичный вектор указывая от начала координат до точечной массы. Направление ты_р описывается θ, угол между осью x и единичным вектором, измеренный против часовой стрелки от оси x. Другой единичный вектор для полярных координат, ты_θ перпендикулярно ты_р и указывает в сторону увеличения θ. Эти полярные единичные векторы могут быть выражены через Декартово единичные векторы в Икс и у направления, обозначенные я и j соответственно:^[16]

ты_р = cosθ я + грехθ j

и

ты_θ = -sinθ я + cosθ j.

Чтобы найти скорость, можно дифференцировать:

${displaystyle mathbf {v} = r {frac {mathrm {d} mathbf {u} _ {mathrm {r}}} {mathrm {d} t}} = r {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} left (mathrm {cos} heta mathbf {i} + mathrm {sin} heta mathbf {j} ight)}$

${displaystyle = r {frac {d heta} {dt}} left (-mathrm {sin} heta mathbf {i} + mathrm {cos} heta mathbf {j} ight),}$

${displaystyle = r {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {heta}},}$

${displaystyle = omega rmathbf {u} _ {mathrm {heta}},}$

куда ω - угловая скорость dθ/ дт.

Этот результат для скорости соответствует ожиданиям, что скорость должна быть направлена ​​по касательной к окружности, и что величина скорости должна быть rω. Снова дифференцируя и отмечая, что

${displaystyle {{frac {mathrm {d} mathbf {u} _ {mathrm {heta}}} {mathrm {d} t}} = - {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} mathbf) {u} _ {mathrm {r}} = - omega mathbf {u} _ {mathrm {r}}},}$

мы находим, что ускорение, а является:

${displaystyle mathbf {a} = rleft ({frac {mathrm {d} omega} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {heta}} -omega ^ {2} mathbf {u} _ {mathrm {верно) .}$

Таким образом, радиальная и тангенциальная составляющие ускорения равны:

${displaystyle mathbf {a} _ {mathrm {r}} = - omega ^ {2} r mathbf {u} _ {mathrm {r}} = - {frac {| mathbf {v} | ^ {2}} {r }} mathbf {u} _ {mathrm {r}}}$ и${displaystyle mathbf {a} _ {mathrm {heta}} = r {frac {mathrm {d} omega} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {heta}} = {frac {mathrm {d } | mathbf {v} |} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {heta}},}$

где |v| = р ω - величина скорости (скорость).

Эти уравнения математически выражают, что в случае объекта, который движется по круговой траектории с изменяющейся скоростью, ускорение тела может быть разложено на перпендикулярный компонент который изменяет направление движения (центростремительное ускорение), и параллельное, или тангенциальная составляющая, который меняет скорость.

Общее плоское движение

Вектор положения р, всегда указывает радиально от начала координат.

Вектор скорости v, всегда по касательной к траектории движения.

Вектор ускорения а, не параллельному радиальному движению, но смещенному угловым и кориолисовым ускорениями, не касательному пути, а смещенному центростремительным и радиальным ускорениями.

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что установка ограничена не 2-м пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Полярные единичные векторы в два раза т и т + dt для частицы с траекторией р ( т ); слева единичные векторы ты_ρ и ты_θ в два раза перемещены так, что их хвосты все встречаются, и показано, что они составляют дугу окружности единичного радиуса. Их вращение во времени dt является dθ, точно на тот же угол, что и поворот траектории р ( т ).

Полярные координаты

Приведенные выше результаты могут быть получены проще, если полярные координаты, и в то же время распространено на общее движение в плоскости, как показано ниже. Полярные координаты на плоскости используют радиальный единичный вектор ты_ρ и угловой единичный вектор ты_θ, как показано выше.^[17] Частица в позиции р описывается:

${displaystyle mathbf {r} = ho mathbf {u} _ {ho},}$

где обозначение ρ используется для описания расстояния пути от начала координат вместо р чтобы подчеркнуть, что это расстояние не фиксировано, а меняется со временем. Единичный вектор ты_ρ движется вместе с частицей и всегда указывает в том же направлении, что и р(т). Единичный вектор ты_θ также перемещается с частицей и остается ортогональной ты_ρ. Таким образом, ты_ρ и ты_θ образуют локальную декартову систему координат, прикрепленную к частице и привязанную к пути, пройденному частицей.^[18] Перемещая единичные векторы так, чтобы их хвосты совпадали, как видно в круге слева от изображения выше, можно увидеть, что ты_ρ и ты_θ образуют прямоугольную пару с кончиками на единичном круге, которые следуют вперед и назад по периметру этого круга с тем же углом θ(т) в качестве р(т).

Когда частица движется, ее скорость равна

${displaystyle mathbf {v} = {frac {mathrm {d} ho} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {ho} + ho {frac {mathrm {d} mathbf {u} _ {ho}} {mathrm {d} t}}.}$

Чтобы оценить скорость, производная единичного вектора ты_ρ необходим. Потому что ты_ρ является единичным вектором, его величина фиксирована, и он может изменяться только по направлению, то есть его изменение dты_ρ имеет компонент только перпендикулярно ты_ρ. Когда траектория р(т) вращает величину dθ, ты_ρ, который указывает в том же направлении, что и р(т), также поворачивается на dθ. См. Изображение выше. Следовательно, изменение ты_ρ является

${displaystyle mathrm {d} mathbf {u} _ {ho} = mathbf {u} _ {heta} mathrm {d} heta,}$

или же

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {u} _ {ho}} {mathrm {d} t}} = mathbf {u} _ {heta} {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t }}.}$

Аналогичным образом скорость изменения ты_θ находится. Как и с ты_ρ, ты_θ является единичным вектором и может вращаться только без изменения размера. Чтобы оставаться ортогональным ты_ρ пока траектория р(т) вращает величину dθ, ты_θ, которая ортогональна р(т), также поворачивается на dθ. См. Изображение выше. Следовательно, замена dты_θ ортогонален ты_θ и пропорционально dθ (см. изображение выше):

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {u} _ {heta}} {mathrm {d} t}} = - {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {хо}.}$

На изображении выше показан отрицательный знак: для сохранения ортогональности, если dты_ρ положительно с dθ, то dты_θ должно уменьшиться.

Подставляя производную от ты_ρ в выражение для скорости:

${displaystyle mathbf {v} = {frac {mathrm {d} ho} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {ho} + ho mathbf {u} _ {heta} {frac {mathrm {d} heta } {mathrm {d} t}} = v_ {ho} mathbf {u} _ {ho} + v_ {heta} mathbf {u} _ {heta} = mathbf {v} _ {ho} + mathbf {v} _ {heta}.}$

Для получения ускорения проводится еще одно временное дифференцирование:

${displaystyle mathbf {a} = {frac {mathrm {d} ^ {2} ho} {mathrm {d} t ^ {2}}} mathbf {u} _ {ho} + {frac {mathrm {d} ho} {mathrm {d} t}} {frac {mathrm {d} mathbf {u} _ {ho}} {mathrm {d} t}} + {frac {mathrm {d} ho} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {heta} {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} + ho {frac {mathrm {d} mathbf {u} _ {heta}} {mathrm {d} t} } {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} + ho mathbf {u} _ {heta} {frac {mathrm {d} ^ {2} heta} {mathrm {d} t ^ {2 }}}.}$

Подставляя производные от ты_ρ и ты_θ, ускорение частицы равно:^[19]

${displaystyle mathbf {a} = {frac {mathrm {d} ^ {2} ho} {mathrm {d} t ^ {2}}} mathbf {u} _ {ho} +2 {frac {mathrm {d} ho } {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {heta} {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} - ho mathbf {u} _ {ho} left ({frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} ight) ^ {2} + ho mathbf {u} _ {heta} {frac {mathrm {d} ^ {2} heta} {mathrm {d} t ^ { 2}}},}$

${displaystyle = mathbf {u} _ {ho} left [{frac {mathrm {d} ^ {2} ho} {mathrm {d} t ^ {2}}} - ho left ({frac {mathrm {d} heta) } {mathrm {d} t}} ight) ^ {2} ight] + mathbf {u} _ {heta} left [2 {frac {mathrm {d} ho} {mathrm {d} t}} {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} + ho {frac {mathrm {d} ^ {2} heta} {mathrm {d} t ^ {2}}} ight]}$

${displaystyle = mathbf {u} _ {ho} left [{frac {mathrm {d} v_ {ho}} {mathrm {d} t}} - {frac {v_ {heta} ^ {2}} {ho}} ight] + mathbf {u} _ {heta} left [{frac {2} {ho}} v_ {ho} v_ {heta} + ho {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {v_ {heta}} {ho}} ight].}$

В качестве частного примера, если частица движется по кругу постоянного радиуса р, то dρ/ дт = 0, v = v_θ, и:

${displaystyle mathbf {a} = mathbf {u} _ {ho} left [-ho left ({frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} ight) ^ {2} ight] + mathbf {u } _ {heta} влево [ho {frac {mathrm {d} ^ {2} heta} {mathrm {d} t ^ {2}}} ight]}$

${displaystyle = mathbf {u} _ {ho} left [- {frac {v ^ {2}} {r}} ight] + mathbf {u} _ {heta} left [{frac {mathrm {d} v} { mathrm {d} t}} ight]}$

куда ${displaystyle v = v_ {heta}.}$

Эти результаты согласуются с приведенными выше для неравномерное круговое движение. Также статью о неравномерное круговое движение. Если это ускорение умножается на массу частицы, главный член - центростремительная сила, а отрицательный второй член, связанный с угловым ускорением, иногда называется Сила Эйлера.^[20]

Для траекторий, отличных от кругового движения, например, более общей траектории, представленной на изображении выше, мгновенный центр вращения и радиус кривизны траектории только косвенно связаны с системой координат, определяемой ты_ρ и ты_θ и по длине |р(т)| = ρ. Следовательно, в общем случае непросто отделить центростремительные члены и члены Эйлера от приведенного выше общего уравнения ускорения.^[21][22] Для непосредственного решения этой проблемы предпочтительны локальные координаты, о чем будет сказано ниже.

Местные координаты

Локальная система координат для плоского движения по кривой. Для расстояний показаны два разных положения. s и s + ds по кривой. На каждой позиции s, единичный вектор ты_п точки вдоль внешней нормали к кривой и единичному вектору ты_т касается пути. Радиус кривизны траектории равен ρ, определяемой из скорости вращения касательной к кривой относительно длины дуги, и является радиусом дуги. соприкасающийся круг на позиции s. Единичный круг слева показывает вращение единичных векторов с s.

Локальные координаты означают набор координат, которые перемещаются вместе с частицей,^[23] и имеют ориентацию, определяемую путем движения частицы.^[24] Единичные векторы формируются, как показано на изображении справа, как по касательной, так и по нормали к траектории. Эту систему координат иногда называют внутренний или же координаты пути^[25][26] или же nt-координаты, за нормально-тангенциальный, ссылаясь на эти единичные векторы. Эти координаты являются очень частным примером более общего понятия локальных координат из теории дифференциальных форм.^[27]

Расстояние по пути частицы - это длина дуги s, которая считается известной функцией времени.

${displaystyle s = s (t).}$

Центр кривизны определяется в каждой позиции s расположен на расстоянии ρ (в радиус кривизны ) от кривой на прямой по нормали ты_п (s). Требуемое расстояние ρ(s) на длине дуги s определяется в терминах скорости вращения касательной к кривой, которая, в свою очередь, определяется самой траекторией. Если ориентация касательной относительно некоторой начальной позиции равна θ(s), тогда ρ(s) определяется производной dθ/ дs:

${displaystyle {frac {1} {ho (s)}} = kappa (s) = {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} s}}.}$

Радиус кривизны обычно принимается положительным (то есть как абсолютная величина), а радиус кривизны кривизна κ количество со знаком.

Геометрический подход к нахождению центра кривизны и радиуса кривизны использует процесс ограничения, приводящий к соприкасающийся круг.^[28][29] См. Изображение выше.

Используя эти координаты, движение по траектории рассматривается как последовательность круговых траекторий с постоянно меняющимся центром и в каждой позиции s составляет неравномерное круговое движение в этой позиции с радиусом ρ. Тогда местное значение угловой скорости вращения определяется как:

${displaystyle omega (s) = {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} t}} = {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} s}} {frac {mathrm {d} s } {mathrm {d} t}} = {frac {1} {ho (s)}} {frac {mathrm {d} s} {mathrm {d} t}} = {frac {v (s)} {ho (s)}},}$

с местной скоростью v предоставлено:

${displaystyle v (s) = {frac {mathrm {d} s} {mathrm {d} t}}.}$

Что касается других примеров выше, поскольку единичные векторы не могут изменять величину, их скорость изменения всегда перпендикулярна их направлению (см. Левую вставку на изображении выше):^[30]

${displaystyle {frac {dmathbf {u} _ {mathrm {n}} (s)} {ds}} = mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) {frac {d heta} {ds}} = mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) {frac {1} {ho}};}$ ${displaystyle {frac {dmathbf {u} _ {mathrm {t}} (s)} {mathrm {d} s}} = - mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s) {frac {mathrm {d } heta} {mathrm {d} s}} = - mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s) {frac {1} {ho}}.}$

Следовательно, скорость и ускорение:^[29][31][32]

${displaystyle mathbf {v} (t) = vmathbf {u} _ {mathrm {t}} (s);}$

и используя цепное правило дифференциации:

${displaystyle mathbf {a} (t) = {frac {mathrm {d} v} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) - {frac {v ^ {2} } {ho}} mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s);}$ с тангенциальным ускорением ${displaystyle {frac {mathrm {mathrm {d}} v} {mathrm {mathrm {d}} t}} = {frac {mathrm {d} v} {mathrm {d} s}} {frac {mathrm {d} s} {mathrm {d} t}} = {frac {mathrm {d} v} {mathrm {d} s}} v.}$

В этой локальной системе координат ускорение напоминает выражение для неравномерное круговое движение с локальным радиусом ρ(s), а центростремительное ускорение - вторым слагаемым.^[33]

Распространение этого подхода на кривые трехмерного пространства приводит к Формулы Френе – Серре.^[34][35]

Альтернативный подход

Глядя на изображение выше, можно задаться вопросом, адекватно ли учтена разница в кривизне между ρ(s) и ρ(s + ds) при вычислении длины дуги как ds = ρ(s) dθ. Уверенность в этом вопросе можно найти, используя более формальный подход, изложенный ниже. Этот подход также связан со статьей о кривизна.

Чтобы ввести единичные векторы локальной системы координат, можно начать с декартовых координат и описать локальные координаты в терминах этих декартовых координат. По длине дуги s, пусть путь описывается как:^[36]

${displaystyle mathbf {r} (s) = left [x (s), y (s) ight].}$

Тогда инкрементное смещение по пути ds описывается:

${displaystyle mathrm {d} mathbf {r} (s) = left [mathrm {d} x (s), mathrm {d} y (s) ight] = left [x '(s), y' (s) ight) ] mathrm {d} s,}$

где штрихи введены для обозначения производных по s. Величина этого смещения равна ds, показывая, что:^[37]

${displaystyle left [x '(s) ^ {2} + y' (s) ^ {2} ight] = 1.}$ (Уравнение 1)

Это смещение обязательно касается кривой в точке s, показывая, что касательный к кривой единичный вектор равен:

${displaystyle mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) = left [x '(s), y' (s) ight],}$

в то время как внешний единичный вектор, нормальный к кривой, равен

${displaystyle mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s) = left [y '(s), -x' (s) ight],}$

Ортогональность можно проверить, показав, что вектор скалярное произведение равно нулю. Единичная величина этих векторов является следствием Уравнение 1. Используя касательный вектор, угол θ касательной к кривой определяется выражением:

${displaystyle sin heta = {frac {y '(s)} {sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}} = y' (s);}$ и ${displaystyle cos heta = {frac {x '(s)} {sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}} = x' (s).}$

Радиус кривизны вводится совершенно формально (без геометрической интерпретации) как:

${displaystyle {frac {1} {ho}} = {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} s}}.}.$

Производная от θ можно найти из этого за грехθ:

${displaystyle {frac {mathrm {d} sin heta} {mathrm {d} s}} = cos heta {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} s}} = {frac {1} {ho}} cos heta = {frac {1} {ho}} x '(s).}$

Сейчас же:

${displaystyle {frac {mathrm {d} sin heta} {mathrm {d} s}} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} s}} {frac {y '(s)} {sqrt {x '(s) ^ {2} + y' (s) ^ {2}}}}}$ ${displaystyle = {frac {y '' (s) x '(s) ^ {2} -y' (s) x '(s) x' '(s)} {left (x' (s) ^ {2 } + y '(s) ^ {2} ight) ^ {3/2}}},}$

в котором знаменатель равен единице. С помощью этой формулы для производной синуса радиус кривизны становится:

${displaystyle {frac {mathrm {d} heta} {mathrm {d} s}} = {frac {1} {ho}} = y '' (s) x '(s) -y' (s) x '' (s)}$ ${displaystyle = {frac {y '' (s)} {x '(s)}} = - {frac {x' '(s)} {y' (s)}},}$

где эквивалентность форм проистекает из дифференциации Уравнение 1:

${displaystyle x '(s) x' '(s) + y' (s) y '' (s) = 0.}$

По этим результатам можно определить ускорение:

${displaystyle mathbf {a} (s) = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} mathbf {v} (s)}$ ${displaystyle = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} left [{frac {mathrm {d} s} {mathrm {d} t}} left (x '(s), y' (s) ) ight) ight]}$

${displaystyle = left ({frac {mathrm {d} ^ {2} s} {mathrm {d} t ^ {2}}} ight) mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) + left ({ frac {mathrm {d} s} {mathrm {d} t}} ight) ^ {2} left (x '' (s), y '' (s) ight)}$

${displaystyle = left ({frac {mathrm {d} ^ {2} s} {mathrm {d} t ^ {2}}} ight) mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) -left ({ frac {mathrm {d} s} {mathrm {d} t}} ight) ^ {2} {frac {1} {ho}} mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s),}$

что можно проверить, взяв скалярное произведение с единичными векторами ты_т(s) и ты_п(s). Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения на основе радиуса ρ. Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко идентифицировать силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а силу, параллельную траектории, как тангенциальную силу. С качественной точки зрения путь может быть аппроксимирован дугой окружности в течение ограниченного времени, и в течение ограниченного времени применяется определенный радиус кривизны, центробежные силы и силы Эйлера могут быть проанализированы на основе кругового движения с этим радиусом .

Этот результат для ускорения согласуется с полученным ранее. Однако при таком подходе вопрос об изменении радиуса кривизны с s обрабатывается полностью формально, в соответствии с геометрической интерпретацией, но не полагаясь на нее, тем самым избегая любых вопросов, которые изображение выше может вызвать о пренебрежении вариацией в ρ.

Пример: круговое движение

Чтобы проиллюстрировать приведенные выше формулы, пусть Икс, у быть дано как:

${displaystyle x = alpha cos {frac {s} {alpha}}; y = alpha sin {frac {s} {alpha}}.}$

Потом:

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = альфа ^ {2},}$

который можно распознать как круговой путь вокруг начала координат с радиусом α. Позиция s = 0 соответствует [α, 0] или 3 часа. Для использования описанного выше формализма необходимы производные:

${displaystyle y ^ {prime} (s) = cos {frac {s} {alpha}}; x ^ {prime} (s) = - sin {frac {s} {alpha}},}$

${displaystyle y ^ {prime prime} (s) = - {frac {1} {alpha}} sin {frac {s} {alpha}}; x ^ {простое число} (s) = - {frac {1} {alpha}} cos {frac {s} {alpha}}.}$

С этими результатами можно убедиться, что:

${displaystyle x ^ {prime} (s) ^ {2} + y ^ {prime} (s) ^ {2} = 1; {frac {1} {ho}} = y ^ {простое число} (s) x ^ {простое число} (s) -y ^ {простое число} (s) x ^ {простое число} (s) = {frac {1 } {alpha}}.}$

Также можно найти единичные векторы:

${displaystyle mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) = left [-sin {frac {s} {alpha}}, cos {frac {s} {alpha}} ight]; mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s) = left [cos {frac {s} {alpha}}, sin {frac {s} {alpha}} ight],}$

которые служат, чтобы показать, что s = 0 находится в позиции [ρ, 0] и s = ρπ / 2 на [0, ρ], что согласуется с исходными выражениями для Икс и у. Другими словами, s измеряется против часовой стрелки по кругу от 3 часов. Также можно найти производные этих векторов:

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} s}} mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) = - {frac {1} {alpha}} left [cos {frac {s) } {alpha}}, sin {frac {s} {alpha}} ight] = - {frac {1} {alpha}} mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s);}$

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} s}} mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s) = {frac {1} {alpha}} left [-sin {frac {s) } {alpha}}, cos {frac {s} {alpha}} ight] = {frac {1} {alpha}} mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s).}$

Чтобы получить скорость и ускорение, зависимость от времени для s необходимо. Для движения против часовой стрелки с переменной скоростью v(т):

${displaystyle s (t) = int _ {0} ^ {t} dt ^ {prime} v (t ^ {prime}),}$

куда v(т) скорость и т время, и s(т = 0) = 0. Тогда:

${displaystyle mathbf {v} = v (t) mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s),}$

${displaystyle mathbf {a} = {frac {mathrm {d} v} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) + v {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) = {frac {mathrm {d} v} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {t}} ( s) -v {frac {1} {alpha}} mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s) {frac {mathrm {d} s} {mathrm {d} t}}}$

${displaystyle mathbf {a} = {frac {mathrm {d} v} {mathrm {d} t}} mathbf {u} _ {mathrm {t}} (s) - {frac {v ^ {2}} {alpha }} mathbf {u} _ {mathrm {n}} (s),}$

где уже установлено, что α = ρ. Это ускорение является стандартным результатом для неравномерное круговое движение.

Смотрите также

Примечания и ссылки

дальнейшее чтение

• Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN  978-0-534-40842-8.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-0809-4.
• Центростремительная сила против. Центробежная сила, из онлайн-учебника по физике на Риджентс-экзамене школьного округа Освего.

внешняя ссылка

• Записки Виннипегского университета
• Заметки из физики и астрономии HyperPhysics в Университете штата Джорджия; смотрите также домашняя страница
• Записки из Британики
• Заметки из PhysicsNet
• Заметки НАСА Дэвида П. Стерна
• Записки из U Texas.
• Анализ умного йо-йо
• Йо-йо инуитов
• Кинематические модели для цифровой библиотеки дизайна (KMODDL)
  Фильмы и фотографии сотен работающих моделей механических систем в Корнельском университете. Также включает библиотека электронных книг классических текстов по машиностроению и машиностроению.