Траектория - Trajectory

Иллюстрация, показывающая траекторию пули, выпущенной по цели, идущей в гору.

А траектория или полоса взлета это путь, который объект с масса в движение следует через Космос как функция времени. В классическая механика, траектория определяется Гамильтонова механика через канонические координаты; следовательно, полная траектория определяется положением и импульсом одновременно.

Масса могла быть снаряд или спутниковое.^[1] Например, это может быть орбита - путь планета, астероид, или же комета как он путешествует по центральная масса.

В теория управления, траектория - это упорядоченный по времени набор состояния из динамическая система (см., например, Карта Пуанкаре ). В дискретная математика, траектория - это последовательность ${ Displaystyle (е ^ {к} (х)) _ {к в mathbb {N}}}$ значений, вычисленных повторным применением отображения ${ displaystyle f}$ к элементу ${ displaystyle x}$ своего источника.

Физика траекторий

Знакомый пример траектории - это траектория снаряда, например брошенного шара или камня. В значительно упрощенной модели объект движется только под действием однородной гравитационной силовое поле. Это может быть хорошим приближением для камня, брошенного на короткие расстояния, например, на поверхность Луна. В этом простом приближении траектория принимает вид парабола. Как правило, при определении траекторий может потребоваться учитывать неоднородные гравитационные силы и сопротивление воздуха (тянуть и аэродинамика ). Это фокус дисциплины баллистика.

Одно из замечательных достижений Ньютоновская механика был вывод законы Кеплера. В гравитационном поле точечной массы или сферически-симметричной протяженной массы (такой как солнце ) траектория движущегося объекта представляет собой коническая секция, обычно эллипс или гипербола.^[а] Это согласуется с наблюдаемыми орбитами планеты, кометы, и искусственный космический корабль в достаточно хорошем приближении, хотя, если комета проходит близко к Солнцу, то на нее также влияют другие силы такой как Солнечный ветер и радиационное давление, которые изменяют орбиту и заставляют комету выбрасывать материал в космос.

Позднее теория Ньютона превратилась в ветвь теоретическая физика известный как классическая механика. Он использует математику дифференциальное исчисление (который также был инициирован Ньютоном в молодости). На протяжении столетий бесчисленные ученые внесли свой вклад в развитие этих двух дисциплин. Классическая механика стала наиболее яркой демонстрацией силы рациональной мысли, т. Е. причина, как в науке, так и в технике. Это помогает понять и предсказать огромное количество явления; траектории - лишь один пример.

Рассмотрим частицу масса ${ displaystyle m}$ , двигаясь в потенциальное поле ${ displaystyle V}$ . С физической точки зрения масса представляет инерция, а поле ${ displaystyle V}$ представляет собой особые внешние силы, известные как «консервативные». Данный ${ displaystyle V}$ в каждой соответствующей позиции есть способ сделать вывод о связанной силе, которая будет действовать в этой позиции, скажем, от силы тяжести. Однако не все силы можно выразить таким образом.

Движение частицы описывается вторым порядком дифференциальное уравнение

{ displaystyle m { frac { mathrm {d} ^ {2} { vec {x}} (t)} { mathrm {d} t ^ {2}}} = - nabla V ({ vec {x}} (t)) { text {with}} { vec {x}} = (x, y, z).}

В правой части сила дана в терминах ${ displaystyle nabla V}$ , то градиент потенциала, взятого в положениях вдоль траектории. Это математическая форма Ньютона. второй закон движения: для таких ситуаций сила равна массе, умноженной на ускорение.

Примеры

Равномерная гравитация, ни сопротивление, ни ветер

Траектории массы, брошенной под углом 70 °,
без тянуть
с Стокса сопротивление
с Сопротивление Ньютона

Идеальный случай движения снаряда в однородном гравитационном поле в отсутствие других сил (например, сопротивления воздуха) был впервые исследован Галилео Галилей. Пренебрежение влиянием атмосферы на формирование траектории было бы бесполезной гипотезой практичных исследователей на протяжении всего периода. Средний возраст в Европа. Тем не менее, предвидя существование вакуум, позже будет продемонстрировано на земной шар его соавтором Евангелиста Торричелли^{[нужна цитата ]}, Галилей смог положить начало науке будущего механика.^{[нужна цитата ]} В почти вакууме, как оказывается, например, на Луна, его упрощенная параболическая траектория оказывается по существу верной.

В нижеследующем анализе мы выводим уравнение движения снаряда, измеряемого по инерциальной системе отсчета, покоящейся относительно земли. С рамой связана правая система координат с ее началом в точке пуска снаряда. В ${ displaystyle x}$ - ось касается земли, а ${ displaystyle y}$ ось перпендикулярна ему (параллельна силовым линиям поля). Позволять ${ displaystyle g}$ быть ускорение свободного падения. Относительно равнинной местности пусть начальная горизонтальная скорость будет ${ Displaystyle v_ {ч} = v соз ( тета)}$ и начальная вертикальная скорость быть ${ Displaystyle v_ {v} = v sin ( theta)}$ . Также будет показано, что ассортимент является ${ displaystyle 2v_ {h} v_ {v} / g}$ , а максимальная высота равна ${ displaystyle v_ {v} ^ {2} / 2g}$ . Максимальный диапазон для данной начальной скорости ${ displaystyle v}$ получается, когда ${ displaystyle v_ {h} = v_ {v}}$ , т.е. начальный угол 45 ${ displaystyle ^ { circ}}$ . Этот диапазон ${ displaystyle v ^ {2} / g}$ , а максимальная высота на максимальной дальности равна ${ displaystyle v ^ {2} / (4g)}$ .

Вывод уравнения движения.

Предположим, что движение снаряда измеряется от свободное падение кадр, который находится в (Икс,у) = (0,0) прит = 0. Уравнение движения снаряда в этой системе отсчета (по принцип эквивалентности ) было бы ${ Displaystyle у = х загар ( тета)}$ . Координаты этой системы свободного падения по отношению к нашей инерциальной системе отсчета будут ${ Displaystyle у = -gt ^ {2} / 2}$ . Это, ${ Displaystyle у = -g (х / v_ {ч}) ^ {2} / 2}$ .

Теперь, переводя обратно в инерциальную систему координат, координаты снаряда становятся ${ Displaystyle у = х загар ( тета) -g (х / v_ {ч}) ^ {2} / 2}$ То есть:

{ displaystyle y = - {g sec ^ {2} theta over 2v_ {0} ^ {2}} x ^ {2} + x tan theta,}

(куда v₀ - начальная скорость, ${ displaystyle theta}$ угол возвышения, а грамм - ускорение свободного падения).

Диапазон и высота

Траектории снарядов, выпущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м / с в вакууме и однородном нисходящем поле тяжести 10 м / с². Точки расположены с интервалом 0,05 с, и длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. т = время от запуска, Т = время полета, р = диапазон и ЧАС = высшая точка траектории (обозначена стрелками).

В ассортимент, р, - наибольшее расстояние, которое объект проходит по ось абсцисс в I секторе. В Начальная скорость, v_я, - скорость, с которой указанный объект запускается из исходной точки. В начальный угол, θ_я, - угол, под которым объект отпускается. В грамм - соответствующее гравитационное притяжение объекта в нулевой среде.

{ displaystyle R = {v_ {i} ^ {2} sin 2 theta _ {i} over g}}

В рост, час, - наибольшая параболическая высота, которую достигает объект в пределах своей траектории.

{ displaystyle h = {v_ {i} ^ {2} sin ^ {2} theta _ {i} over 2g}}

Угол подъема

По углу возвышения ${ displaystyle theta}$ и начальная скорость ${ displaystyle v}$ :

{ displaystyle v_ {h} = v cos theta, quad v_ {v} = v sin theta ;}

давая диапазон как

{ Displaystyle R = 2v ^ {2} cos ( theta) sin ( theta) / g = v ^ {2} sin (2 theta) / g ,.}

Это уравнение можно изменить, чтобы найти угол для требуемого диапазона.

{ displaystyle theta = { frac {1} {2}} sin ^ {- 1} left ({ frac {gR} {v ^ {2}}} right)}

(Уравнение II: угол запуска снаряда)

Обратите внимание, что синус функция такова, что есть два решения для ${ displaystyle theta}$ для данного диапазона ${ displaystyle d_ {h}}$ . Угол ${ displaystyle theta}$ дающий максимальный диапазон можно найти, рассматривая производную или ${ displaystyle R}$ относительно ${ displaystyle theta}$ и установив его на ноль.

{ displaystyle { mathrm {d} R over mathrm {d} theta} = {2v ^ {2} over g} cos (2 theta) = 0}

которое имеет нетривиальное решение при ${ displaystyle 2 theta = pi / 2 = 90 ^ { circ}}$ , или же ${ Displaystyle theta = 45 ^ { circ}}$ . Тогда максимальный диапазон ${ Displaystyle R _ { max} = v ^ {2} / г ,}$ . Под этим углом ${ Displaystyle грех ( пи / 2) = 1}$ , поэтому максимальная полученная высота равна ${ displaystyle {v ^ {2} over 4g}}$ .

Чтобы найти угол, определяющий максимальную высоту для данной скорости, вычислите производную максимальной высоты. ${ Displaystyle H = v ^ {2} sin ^ {2} ( theta) / (2g)}$ относительно ${ displaystyle theta}$ , то есть ${ displaystyle { mathrm {d} H over mathrm {d} theta} = v ^ {2} 2 cos ( theta) sin ( theta) / (2g)}$ который равен нулю, когда ${ displaystyle theta = pi / 2 = 90 ^ { circ}}$ . Так что максимальная высота ${ displaystyle H _ { mathrm {max}} = {v ^ {2} over 2g}}$ получается, когда снаряд стреляет прямо вверх.

Орбитальные объекты

Если вместо однородной силы тяжести, направленной вниз, мы рассмотрим два тела вращающийся по орбите с учетом взаимного тяготения между ними, получаем Законы движения планет Кеплера. Их создание было одной из основных работ Исаак Ньютон и обеспечили большую мотивацию для развития дифференциальное исчисление.

Ловля мячей

Если снаряд, такой как мяч для бейсбола или крикета, летит по параболической траектории с незначительным сопротивлением воздуха, и если игрок расположен так, чтобы поймать его при спуске, он видит, что угол его подъема постоянно увеличивается на протяжении всего полета. Тангенс угла возвышения пропорционален времени, прошедшему с момента, когда мяч был поднят в воздух, обычно при ударе битой. Даже когда мяч действительно опускается, ближе к концу полета его угол подъема, который видит игрок, продолжает увеличиваться. Таким образом, игрок видит его, как если бы он поднимался вертикально с постоянной скоростью. Поиск места, из которого кажется, что мяч постоянно поднимается, помогает игроку правильно расположиться для ловли. Если он находится слишком близко к игроку с битой, который ударил по мячу, будет казаться, что он будет подниматься с ускорением. Если он находится слишком далеко от игрока с битой, будет казаться, что он быстро замедлится, а затем начнет снижаться.

Примечания

^ Теоретически возможно, чтобы орбита была радиальной прямой линией, кругом или параболой. Это предельные случаи, вероятность возникновения которых в действительности равна нулю.

Смотрите также

внешняя ссылка

Апплет движения снаряда:)
Калькулятор траектории
Интерактивное моделирование движения снаряда
Projectile Lab, симулятор траектории JavaScript
Движение параболического снаряда: выстрел безвредным дротиком с транквилизатором в падающую обезьяну Роберто Кастилья-Мелендес, Роксана Рамирес-Эррера и Хосе Луис Гомес-Муньос, Демонстрационный проект Wolfram.
Траектория, ScienceWorld.
Моделирование движения снаряда Java с сопротивлением воздуха первого порядка.
Симуляция движения снаряда Java; нацеливание решений, парабола безопасности.

[2] Теоретически возможно, чтобы орбита была радиальной прямой линией, кругом или параболой. Это предельные случаи, вероятность возникновения которых в действительности равна нулю.

[1] Мета, Рохит. «11». Принципы физики. п. 378.

[1]

[а]