Обобщенные силы - Generalized forces

Обобщенные силы найти применение в Лагранжева механика, где они играют роль, сопряженную с обобщенные координаты. Они получаются от приложенных сил, F_я, i = 1, ..., n, действующее на система конфигурация которого определена в терминах обобщенные координаты. В постановке виртуальная работа, каждая обобщенная сила является коэффициентом вариации обобщенной координаты.

Виртуальная работа

Обобщенные силы можно получить из расчета виртуальная работа, δW, приложенных сил.^[1]:265

Виртуальная работа сил, F_я, действуя на частицы P_я, i = 1, ..., n, определяется выражением

${displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i}}$

где δр_я это виртуальное смещение частицы P_я.

Обобщенные координаты

Пусть векторы положения каждой из частиц, р_я, - функция обобщенных координат, q_j, j = 1, ..., м. Тогда виртуальные перемещения δр_я даны

${displaystyle delta mathbf {r} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {partial mathbf {r} _ {i}} {partial q_ {j}}} delta q_ {j}, quad i = 1, ldots, n,}$

где δq_j - виртуальное смещение обобщенной координаты q_j.

Виртуальная работа для системы частиц становится

${displaystyle delta W = mathbf {F} _ {1} cdot sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {partial mathbf {r} _ {1}} {partial q_ {j}}} delta q_ {j } + ldots + mathbf {F} _ {n} cdot sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {partial mathbf {r} _ {n}} {partial q_ {j}}} delta q_ {j} .}$

Соберите коэффициенты при δq_j так что

${displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {partial mathbf {r} _ {i}} {partial q_ {1}}} delta q_ {1 } + ldots + sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {partial mathbf {r} _ {i}} {partial q_ {m}}} delta q_ {m} .}$

Обобщенные силы

Виртуальную работу системы частиц можно записать в виде

${displaystyle delta W = Q_ {1} delta q_ {1} + ldots + Q_ {m} delta q_ {m},}$

куда

${displaystyle Q_ {j} = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {partial mathbf {r} _ {i}} {partial q_ {j}}}, quad j = 1, ldots, m,}$

называются обобщенными силами, связанными с обобщенными координатами q_j, j = 1, ..., м.

Формулировка скорости

При применении принципа виртуальной работы часто удобно получать виртуальные перемещения из скоростей системы. Для системы из n частиц пусть скорость каждой частицы P_я быть V_я, то виртуальное смещение δр_я также можно записать в виде^[2]

${displaystyle delta mathbf {r} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {partial mathbf {V} _ {i}} {partial {dot {q}} _ {j}}} дельта q_ {j}, quad i = 1, ldots, n.}$

Это означает, что обобщенная сила Q_j, также можно определить как

${displaystyle Q_ {j} = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {partial mathbf {V} _ {i}} {partial {dot {q}} _ { j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

Принцип Даламбера

Даламбер сформулировал динамику частицы как равновесие приложенных сил с силой инерции (кажущаяся сила ), называется Принцип Даламбера. Сила инерции частицы, P_я, массой m_я является

${displaystyle mathbf {F} _ {i} ^ {*} = - m_ {i} mathbf {A} _ {i}, quad i = 1, ldots, n,}$

куда А_я - ускорение частицы.

Если конфигурация системы частиц зависит от обобщенных координат q_j, j = 1, ..., m, то обобщенная сила инерции определяется выражением

${displaystyle Q_ {j} ^ {*} = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} ^ {*} cdot {frac {partial mathbf {V} _ {i}} {partial {точка {q}} _ {j}}}, quad j = 1, ldots, m.}$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера дает

${displaystyle delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) delta q_ {1} + ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) delta q_ {m}.}$

Рекомендации

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Обобщенные координаты
• Степени свободы (физика и химия)
• Виртуальная работа