Фактор Лоренца - Lorentz factor

В Фактор Лоренца или же Термин Лоренца коэффициент, на который время, длина и релятивистская масса изменение объекта во время движения этого объекта. Выражение входит в несколько уравнений в специальная теория относительности, и возникает при выводе Преобразования Лоренца. Название происходит от его более раннего появления в Лоренцева электродинамика - назван в честь нидерландский язык физик Хендрик Лоренц.^[1]

Обычно это обозначается $γ$ (строчная греческая буква гамма ). Иногда (особенно при обсуждении сверхсветовое движение ) коэффициент записывается как Γ (Греческий верхний регистр гамма), а не $γ$ .

Определение

Фактор Лоренца $γ$ определяется как^[2]

{ displaystyle gamma = { frac {1} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = { frac {1} { sqrt { 1- beta ^ {2}}}} = { frac {dt} {d tau}}}

,

куда:

v это относительная скорость между инерциальными системами отсчета,
c это скорость света в вакууме,
β это соотношение v к c,
т является координировать время,
$τ$ это подходящее время для наблюдателя (измерение временных интервалов в собственном кадре наблюдателя).

Это наиболее часто используемая форма на практике, хотя и не единственная (альтернативные формы см. Ниже).

Чтобы дополнить определение, некоторые авторы определяют взаимное^[3]

{ displaystyle alpha = { frac {1} { gamma}} = { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = { sqrt { 1 - { beta} ^ {2}}};}

видеть формула сложения скоростей.

Вхождение

Ниже приводится список формул из специальной теории относительности, в которых используются $γ$ как сокращение:^[2]^[4]

В Преобразование Лоренца: Самый простой случай - это повышение Икс-направление (более общие формы, включая произвольные направления и вращения, не перечисленные здесь), которое описывает, как координаты пространства-времени меняются от одной инерциальной системы координат с использованием координат (Икс, у, z, т) другому (Икс′, у′, z′, т′) с относительной скоростью v:

{ displaystyle t '= gamma left (t - { frac {vx} {c ^ {2}}} right),}

{ displaystyle x '= gamma left (x-vt right).}

Следствием приведенных выше преобразований являются результаты:

Замедление времени: Время (∆т′) между двумя тактами, измеренными в кадре, в котором движутся часы, длиннее, чем время (∆т) между этими отметками, как измерено в остальном кадре часов:
${ Displaystyle Delta t '= gamma Delta t.}$
Уменьшение длины: Длина (∆Икс′) объекта, измеренного в кадре, в котором он движется, короче его длины (∆Икс) в собственной раме покоя:
${ Displaystyle Delta x '= Delta x / gamma.}$

Применение сохранение из импульс и энергия приводит к таким результатам:

Релятивистская масса: В масса м движущегося объекта зависит от ${ displaystyle gamma}$ и масса покоя м₀:
${ displaystyle m = gamma m_ {0}.}$
Релятивистский импульс: Релятивистский импульс соотношение принимает ту же форму, что и для классического импульса, но с использованием указанной выше релятивистской массы:
${ displaystyle { vec {p}} = m { vec {v}} = gamma m_ {0} { vec {v}}.}$
Релятивистская кинетическая энергия: Релятивистская кинетическая энергия отношение принимает несколько измененную форму:
${ displaystyle E_ {k} = E-E_ {0} = ( gamma -1) m_ {0} c ^ {2}}$

В качестве

{ displaystyle gamma}

является функцией

{ displaystyle { tfrac {v} {c}}}

, нерелятивистский предел дает

{ displaystyle lim _ {c to infty} E_ {k} = { tfrac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2}}

, как и следовало ожидать из ньютоновских соображений.

Числовые значения

Фактор Лоренца γ как функция скорости. Его начальное значение - 1 (когда v = 0); и по мере приближения скорости к скорости света (v → c) γ неограниченно возрастает (γ → ∞).

α (обратный фактор Лоренца) как функция скорости - дуга окружности.

В таблице ниже в левом столбце показаны скорости в виде различных долей скорости света (т. Е. В единицах c). В среднем столбце показан соответствующий фактор Лоренца, в последнем - обратный. Значения, выделенные жирным шрифтом, являются точными.

Скорость (единицы c)	Фактор Лоренца	Взаимный
${ Displaystyle бета = v / c}$	${ displaystyle gamma}$	${ displaystyle 1 / gamma}$
0.000	1.000	1.000
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045
0.99995	100.00	0.010

Альтернативные представления

Есть и другие способы записать коэффициент. Вверху скорость v использовались, но связанные переменные, такие как импульс и быстрота тоже может быть удобно.

Импульс

Решение предыдущего уравнения релятивистского импульса для $γ$ приводит к

{ displaystyle gamma = { sqrt {1+ left ({ frac {p} {m_ {0} c}} right) ^ {2}}}}

.

Эта форма используется редко, хотя появляется в Распределение Максвелла – Юттнера.^[5]

Быстрота

Применяя определение быстрота как гиперболический угол ${ displaystyle varphi}$ :^[6]

{ displaystyle tanh varphi = beta}

также приводит к $γ$ (с использованием гиперболические тождества ):

{ displaystyle gamma = cos varphi = { frac {1} { sqrt {1- tanh ^ {2} varphi}}} = { frac {1} { sqrt {1- beta ^ {2}}}}.}

Используя свойство Преобразование Лоренца, можно показать, что скорость аддитивна, а это полезное свойство, которым скорость не обладает. Таким образом, параметр быстроты образует однопараметрическая группа, основа для физических моделей.

Расширение серии (скорость)

Фактор Лоренца имеет Серия Маклорена:

{ displaystyle { begin {align} gamma & = { dfrac {1} { sqrt {1- beta ^ {2}}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty } beta ^ {2n} prod _ {k = 1} ^ {n} left ({ dfrac {2k-1} {2k}} right) & = 1 + { tfrac {1} { 2}} beta ^ {2} + { tfrac {3} {8}} beta ^ {4} + { tfrac {5} {16}} beta ^ {6} + { tfrac {35} {128}} beta ^ {8} + { tfrac {63} {256}} beta ^ {10} + cdots, конец {выровнено}}}

что является частным случаем биномиальный ряд.

Приближение $γ$ ≈ 1 + 1/2 β² может использоваться для расчета релятивистских эффектов на малых скоростях. Погрешность составляет 1% для v <0,4 с (v <120000 км / с), и с погрешностью 0,1% для v < 0.22 c (v <66000 км / с).

Урезанные версии этой серии также позволяют физики чтобы доказать, что специальная теория относительности сводится к Ньютоновская механика на малых оборотах. Например, в специальной теории относительности выполняются следующие два уравнения:

{ displaystyle { begin {align} { vec {p}} & = gamma m { vec {v}}, E & = gamma mc ^ {2}. end {выравнивается}}}

За $γ$ ≈ 1 и $γ$ ≈ 1 + 1/2 β²соответственно, они сводятся к их ньютоновским эквивалентам:

{ displaystyle { begin {align} { vec {p}} & = m { vec {v}}, E & = mc ^ {2} + { tfrac {1} {2}} mv ^ { 2}. End {выравнивается}}}

Уравнение фактора Лоренца также может быть обращено, чтобы получить

{ displaystyle beta = { sqrt {1 - { frac {1} { gamma ^ {2}}}}}.}

Это имеет асимптотику

{ displaystyle beta = 1 - { tfrac {1} {2}} gamma ^ {- 2} - { tfrac {1} {8}} gamma ^ {- 4} - { tfrac {1} {16}} gamma ^ {- 6} - { tfrac {5} {128}} gamma ^ {- 8} + cdots}

.

Первые два члена иногда используются для быстрого вычисления скоростей по большим $γ$ значения. Приближение β ≈ 1 − 1/2 $γ$ ⁻² выдерживает допуск в пределах 1% для $γ$ > 2, и с точностью до 0,1% для $γ$ > 3.5.

Приложения в астрономии

Стандартная модель длительных гамма-всплесков (GRB) утверждает, что эти взрывы являются ультрарелятивистскими (начальные ${ displaystyle gamma}$ больше, чем приблизительно 100), который используется для объяснения так называемой проблемы "компактности": без этого ультрарелятивистского расширения выбросы были бы оптически толстыми для образования пар при типичных пиковых спектральных энергиях в несколько 100 кэВ, тогда как быстрое излучение не является тепловым.^[7]

Субатомные частицы, называемые мюоны, имеют относительно высокий фактор Лоренца и поэтому испытывают экстремальные замедление времени. Например, мюоны обычно имеют среднее время жизни около 2,2 мкс Это означает, что мюоны, генерируемые в результате столкновений космических лучей на высоте около 10 км в атмосфере, не должны обнаруживаться на земле из-за скорости их распада. Однако было обнаружено, что ~ 10% мюонов все еще обнаруживаются на поверхности, тем самым доказывая, что для того, чтобы их можно было обнаружить, скорость их распада замедлилась относительно нашей инерциальной системы отсчета.^[8]

Смотрите также

внешняя ссылка

Меррифилд, Майкл. «γ - фактор Лоренца (и замедление времени)». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемский университет.
Меррифилд, Майкл. «γ2 - Гамма перезагрузка». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемский университет.

[1] Одна вселенная, к Нил де Грасс Тайсон, Чарльз Цун-Чу Лю, и Роберт Ирион.

[Forshaw-2] а ^б Форшоу, Джеффри; Смит, Гэвин (2014). Динамика и относительность. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-93329-9.

[3] Яаков Фридман, Физические приложения однородных шаров, Успехи математической физики 40 Биркхойзер, Бостон, 2004, страницы 1-21.

[4] Молодой; Фридман (2008). Физика Университета Сирса и Земанского (12-е изд.). Пирсон Эд. И Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-50130-1.

[5] Synge, J.L (1957). Релятивистский газ. Серия по физике. Северная Голландия. LCCN 57-003567

[6] Кинематика В архиве 2014-11-21 в Wayback Machine, к Дж. Д. Джексон, См. Стр. 7 для определения скорости.

[7] Ченко, С. Б. и др., iPTF14yb: первое открытие послесвечения гамма-всплеска, независимого от высокоэнергетического триггера, Письма в астрофизический журнал 803, 2015, Л24 (6 с.).

[8] «Мюонный эксперимент в теории относительности». hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Получено 2017-02-24.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]