Псевдобыстротность - Pseudorapidity

Значения псевдобыстротности показаны на полярном графике. В физика элементарных частиц, нулевой угол обычно проходит вдоль оси луча, и, таким образом, частицы с высокими значениями псевдобыстрот обычно теряются, уходя через пространство в детекторе вместе с лучом.

Когда полярный угол приближается к нулю, псевдобыстрота стремится к бесконечности.

В экспериментальном физика элементарных частиц, псевдобыстротность, ${ displaystyle eta}$ , является обычно используемым пространственным координировать описывающий угол частицы относительно оси луча. Он определяется как

{ Displaystyle эта эквив - пер влево [ загар влево ({ гидроразрыва { тета} {2}} вправо) вправо],}

где ${ displaystyle theta}$ - угол между трехимпульсной частицей ${ displaystyle mathbf {p}}$ и положительное направление оси пучка.^[1] Обратно,

{ displaystyle theta = 2 arctan left (e ^ {- eta} right).}

Как функция трехимпульса ${ displaystyle mathbf {p}}$ псевдобыстроту можно записать как

{ displaystyle eta = { frac {1} {2}} ln left ({ frac { left | mathbf {p} right | + p _ { text {L}}} { left | mathbf {p} right | -p _ { text {L}}}} right) = operatorname {arctanh} left ({ frac {p_ {L}} { left | mathbf {p} right |}} right),}

где ${ displaystyle p _ { text {L}}}$ - составляющая импульса вдоль оси пучка (т. е. продольный импульс - используя обычную систему координат для адронный коллайдер физика, это также обычно обозначается ${ displaystyle p_ {z}}$ ). В пределе, когда частица движется со скоростью, близкой к скорости света, или, что то же самое, в приближении, когда масса частицы пренебрежимо мала, можно сделать замену ${ Displaystyle m ll | mathbf {p} | Rightarrow E приблизительно | mathbf {p} | Rightarrow eta приблизительно y}$ (т.е. в этом пределе единственной энергией частицы является ее импульс-энергия, аналогично случаю фотона), и, следовательно, псевдобыстротность сходится к определению скорости, используемому в экспериментальной физике частиц:

{ displaystyle y Equiv { frac {1} {2}} ln left ({ frac {E + p _ { text {L}}} {E-p _ { text {L}}}} правильно)}

Это немного отличается от определения быстрота в специальная теория относительности, который использует ${ displaystyle left | mathbf {p} right |}$ вместо того ${ displaystyle p _ { text {L}}}$ . Однако псевдобыстротность зависит только от полярного угла траектории частицы, а не от энергии частицы. В эксперименте на адронном коллайдере говорят о «прямом» направлении, что относится к областям детектора, которые расположены близко к оси пучка, на высоких ${ displaystyle | eta |}$ ; в контекстах, где уместно различие между «вперед» и «назад», первое относится к положительным z-направление, а последнее - к отрицательному z-направление.

В физике адронных коллайдеров скорость (или псевдобыстротность) предпочтительнее полярного угла. ${ displaystyle theta}$ потому что, грубо говоря, образование частиц постоянно в зависимости от скорости, и потому что различия быстро Инвариант Лоренца при наддувах вдоль продольной оси: они преобразуются аддитивно, подобно скоростям в Галилея относительность. Измерение разницы быстродействия ${ displaystyle Delta y}$ между частицами (или ${ displaystyle Delta eta}$ если участвующие частицы безмассовые), следовательно, не зависит от продольного усиления системы отсчета (такой как лабораторная рама ). Это важная особенность физики адронных коллайдеров, где сталкивающиеся партоны несут разные доли продольного импульса Икс, что означает, что остальные системы отсчета партон-партонных столкновений будут иметь разные продольные бусты.

Скорость как функция псевдобыстротности определяется выражением

{ displaystyle y = ln left ({ frac {{ sqrt {m ^ {2} + p _ { text {T}} ^ {2} cosh ^ {2} eta}} + p _ { текст {T}} sinh eta} { sqrt {m ^ {2} + p _ { text {T}} ^ {2}}}} right),}

где ${ displaystyle p _ { text {T}} Equiv { sqrt {p _ { text {x}} ^ {2} + p _ { text {y}} ^ {2}}}}$ - поперечный импульс (т. е. составляющая трехимпульса, перпендикулярная оси пучка).

Использование второго порядка Расширение Маклорена из ${ displaystyle y}$ выражено в ${ displaystyle m / p _ { text {T}}}$ можно приблизительно рассчитать скорость

{ displaystyle y приблизительно eta - { frac {p _ { text {L}}} {2 | mathbf {p} |}} left ({ frac {m} {p _ { text {T}) }}} right) ^ {2} = eta - { frac { tanh { eta}} {2}} left ({ frac {m} {p _ { text {T}}}}} справа) ^ {2} = eta - { frac { cos { theta}} {2}} left ({ frac {m} {p _ { text {T}}}} right) ^ { 2},}

что позволяет легко видеть, что для релятивистских частиц с ${ displaystyle p _ { text {T}} gg m}$ псевдобыстротность становится равной (истинной) быстроте.

Скорость используется для определения меры углового расстояния между частицами, обычно используемой в физике элементарных частиц. ${ Displaystyle Delta R Equiv { sqrt { left ( Delta y right) ^ {2} + left ( Delta phi right) ^ {2}}}}$ , который является лоренц-инвариантным относительно наддува в продольном (пучковом) направлении. Часто термин быстроты в этом выражении заменяется псевдобыстротой, что дает определение с чисто угловыми величинами: ${ Displaystyle Delta R Equiv { sqrt { left ( Delta eta right) ^ {2} + left ( Delta phi right) ^ {2}}}}$ , который является лоренц-инвариантом, если вовлеченные частицы безмассовые. Разница азимутального угла, ${ displaystyle Delta phi}$ , инвариантна относительно бустов Лоренца вдоль пучка (z-ось), потому что она измеряется в плоскости (т. е. "поперечная" х-у плоскости), ортогональной линии луча.

Ценности

График зависимости полярного угла от псевдобыстроти.

Вот некоторые типичные значения:

${ displaystyle theta}$	${ displaystyle eta}$	${ displaystyle theta}$	${ displaystyle eta}$
0°	∞	180°	−∞
0.1°	7.04	179.9°	−7.04
0.5°	5.43	179.5°	−5.43
1°	4.74	179°	−4.74
2°	4.05	178°	−4.05
5°	3.13	175°	−3.13
10°	2.44	170°	−2.44
20°	1.74	160°	−1.74
30°	1.32	150°	−1.32
45°	0.88	135°	−0.88
60°	0.55	120°	−0.55
80°	0.175	100°	−0.175
90°	0

Псевдобыстротность - странное дело ${ displaystyle theta = 90}$ градусов. Другими словами, ${ displaystyle eta ( theta) = - eta (180 ^ { circ} - theta)}$ .

Преобразование в декартовы импульсы

Адронные коллайдеры измеряют физические импульсы в терминах поперечного импульса ${ displaystyle p _ { text {T}}}$ , полярный угол в поперечной плоскости ${ displaystyle phi}$ и псевдобыстротность ${ displaystyle eta}$ . Чтобы получить декартовы импульсы ${ displaystyle (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}$ (с ${ displaystyle z}$ -axis определяется как ось луча) используются следующие преобразования: