Быстрота - Rapidity

В относительность, быстрота обычно используется как мера релятивистской скорости. Математически быстроту можно определить как гиперболический угол который различает две системы отсчета в относительном движении, каждый кадр связан с расстояние и время координаты.

Для одномерного движения скорости аддитивны, тогда как скорости должны складываться по формуле Эйнштейна. формула сложения скоростей. Для низких скоростей скорость и скорость пропорциональны, но для более высоких скоростей скорость принимает большее значение, так как скорость света бесконечна.

С использованием обратная гиперболическая функция Artanh, быстрота ш соответствует скорости v является ш = artanh (v / c) где c - скорость света. Для низких скоростей, ш примерно v / c. Поскольку в теории относительности любая скорость v ограничен интервалом −c < v < c Соотношение v / c удовлетворяет −1 < v / c < 1. Обратный гиперболический тангенс имеет единичный интервал (−1, 1) для своего домен и весь реальная линия для своего ассортимент, поэтому интервал −c < v < c карты на −∞ < ш < ∞.

История

В 1908 г. Герман Минковски объяснил, как Преобразование Лоренца можно рассматривать как просто гиперболическое вращение из координаты пространства-времени, т.е. поворот на мнимый угол.^[1] Следовательно, этот угол представляет (в одном пространственном измерении) простую аддитивную меру скорости между кадрами.^[2] Параметр быстроты, заменяющий скорость, был введен в 1910 г. Владимир Варичак^[3] и по Э. Т. Уиттакер.^[4] Параметр был назван быстрота к Альфред Робб (1911)^[5] и этот термин был принят многими последующими авторами, такими как Зильберштейн (1914), Морли (1936) и Риндлер (2001).

Площадь гиперболического сектора

В квадратура гиперболы ху = 1 по Грегуар де Сент-Винсент установил натуральный логарифм как площадь гиперболического сектора или эквивалентную площадь относительно асимптоты. В теории пространства-времени связь событий посредством света делит Вселенную на Прошлое, Будущее или Где-то еще на основе Здесь и Сейчас.^{[требуется разъяснение ]}. На любой линии в пространстве луч света может быть направлен влево или вправо. Возьмите ось x как события, прошедшие правый луч, а ось y - как события левого луча. Тогда покоящаяся рама имеет время по диагонали Икс = у. Прямоугольная гипербола ху = 1 может использоваться для измерения скоростей (в первом квадранте). Нулевая скорость соответствует (1,1). Любая точка на гиперболе имеет координаты ${displaystyle (e ^ {w}, e ^ {- w})}$ где w - скорость, и равна площади гиперболический сектор из (1,1) в эти координаты. Многие авторы вместо этого ссылаются на гипербола единиц ${displaystyle x ^ {2} -y ^ {2},}$ используя скорость для параметра, как в стандарте диаграмма пространства-времени. Здесь оси измеряются часами и измерителем, более привычными ориентирами и основой теории пространства-времени. Таким образом, определение скорости как гиперболического параметра пространства луча является справочным.^{[требуется разъяснение ]} к происхождению семнадцатого века наших драгоценных трансцендентные функции, и дополнение к диаграммам пространства-времени.

В одном пространственном измерении

Быстрота ш возникает в линейном представлении Повышение лоренца как векторно-матричное произведение

${displaystyle {egin {pmatrix} ct ' x'end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} cosh w & -sinh w -sinh w & cosh wend {pmatrix}} {egin {pmatrix} ct xend {pmatrix}} = mathbf {Lambda} (w) {egin {pmatrix} ct xend {pmatrix}}}$.

Матрица Λ(ш) относится к типу ${displaystyle {egin {pmatrix} p & q q & pend {pmatrix}}}$ с п и q удовлетворение п² – q² = 1, так что (п, q) лежит на гипербола единиц. Такие матрицы образуют индефинитная ортогональная группа O (1,1) с одномерной алгеброй Ли, натянутой на антидиагональную единичную матрицу, показывая, что скорость является координатой на этой алгебре Ли. Это действие может быть изображено в диаграмма пространства-времени. В матричная экспонента обозначение Λ(ш) можно выразить как ${displaystyle mathbf {Lambda} (w) = e ^ {mathbf {Z} w}}$, где Z отрицательный элемент антидиагональной единичной матрицы

${displaystyle mathbf {Z} = {egin {pmatrix} 0 & -1 -1 & 0end {pmatrix}}.}$

Нетрудно доказать, что

${displaystyle mathbf {Lambda} (w_ {1} + w_ {2}) = mathbf {Lambda} (w_ {1}) mathbf {Lambda} (w_ {2})}$.

Это устанавливает полезное аддитивное свойство быстроты: если А, B и C находятся системы отсчета, тогда

${displaystyle w_ {ext {AC}} = w_ {ext {AB}} + w_ {ext {BC}}}$

где ш_PQ обозначает скорость системы отсчета Q относительно системы отсчета п. Простота этой формулы контрастирует со сложностью соответствующих формула сложения скоростей.

Как видно из приведенного выше преобразования Лоренца, Фактор Лоренца отождествляется с шиш ш

${displaystyle gamma = {frac {1} {sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} Equiv cosh w}$,

так скорость ш неявно используется как гиперболический угол в Преобразование Лоренца выражения с использованием γ и β. Мы относим быстроту к формула сложения скоростей

${displaystyle u = (u_ {1} + u_ {2}) / (1 + u_ {1} u_ {2} / c ^ {2})}$

признавая

${displaystyle eta _ {i} = {frac {u_ {i}} {c}} = anh {w_ {i}}}$

и так

${displaystyle {egin {align} anh w & = {frac {anh w_ {1} + anh w_ {2}} {1+ anh w_ {1} anh w_ {2}}} & = anh (w_ {1} + w_ {2}) конец {выровнено}}}$

Правильное ускорение (ускорение, «ощущаемое» ускоряемым объектом) - это скорость изменения скорости относительно подходящее время (время, измеренное самим объектом, испытывающим ускорение). Следовательно, скорость объекта в данном кадре можно рассматривать просто как скорость этого объекта, которая была бы рассчитана нерелятивистски с помощью инерциальной системы наведения на борту самого объекта, если бы он ускорялся из состояния покоя в этом кадре до заданной скорости. .

Продукт β и γ появляется часто, и из приведенных выше аргументов

${displaystyle eta gamma = sh w ,.}$

Экспоненциальные и логарифмические отношения

Из приведенных выше выражений имеем

${displaystyle e ^ {w} = гамма (1+ eta) = гамма слева (1+ {frac {v} {c}} ight) = {sqrt {frac {1+ {frac {v} {c}}} { 1- {frac {v} {c}}}}},}$

и поэтому

${displaystyle e ^ {- w} = гамма (1- эта) = гамма слева (1- {frac {v} {c}} ight) = {sqrt {frac {1- {frac {v} {c}}} {1+ {frac {v} {c}}}}}.}$

или явно

${displaystyle w = ln left [gamma (1+ eta) ight] = - ln left [gamma (1- eta) ight] ,.}$

В Доплеровский сдвиг фактор, связанный с быстротой ш является ${displaystyle k = e ^ {w}}$.

Более чем в одном пространственном измерении

Релятивистская скорость ${displaystyle {oldsymbol {eta}}}$ связано с быстротой ${displaystyle mathbf {w}}$ объекта через^[6]

${displaystyle {mathfrak {so}} (3,1) supset mathrm {span} {K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}} приблизительно mathbb {R} ^ {3} i mathbf {w} = { oldsymbol {hat {eta}}} anh ^ {- 1} eta, quad {oldsymbol {eta}} в mathbb {B} ^ {3},}$

где вектор ${displaystyle mathbf {w}}$ считается Декартовы координаты на 3-мерном подпространстве Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {o}} (3,1) приблизительно {mathfrak {so}} (3,1)}$ группы Лоренца, натянутой на повышающие генераторы ${displaystyle K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}}$ - в полной аналогии с одномерным случаем ${displaystyle {mathfrak {o}} (1,1)}$ обсуждалось выше - и пространство скоростей представлен открытым шаром ${displaystyle mathbb {B} ^ {3}}$ с радиусом ${displaystyle 1}$ поскольку ${displaystyle | эта | <1}$. Последнее следует из того, что ${displaystyle c}$ - предельная скорость в теории относительности (с единицами измерения ${displaystyle c = 1}$).

Общая формула композиции быстрот:^{[7][nb 1]}

${displaystyle mathbf {w} = {oldsymbol {hat {eta}}} anh ^ {- 1} eta, quad {oldsymbol {eta}} = {oldsymbol {eta}} _ {1} oplus {oldsymbol {eta}} _ {2},}$

где ${displaystyle {oldsymbol {eta}} _ {1} oplus {oldsymbol {eta}} _ {2}}$ относится к релятивистское сложение скоростей и ${displaystyle {oldsymbol {hat {eta}}}}$ - единичный вектор в направлении ${displaystyle {oldsymbol {eta}}}$. Эта операция не коммутативна и не ассоциативна. Быстроты ${displaystyle mathbf {w} _ {1}, mathbf {w} _ {2}}$ с направлениями, наклоненными под углом ${displaystyle heta}$ иметь результирующую норму ${displaystyle wequiv | mathbf {w} |}$ (обычная евклидова длина), задаваемая гиперболический закон косинусов,^[8]

${displaystyle cosh w = cosh w_ {1} cosh w_ {2} + sinh w_ {1} sinh w_ {2} cos heta.}$

Геометрия на быстроте пространства унаследована от гиперболическая геометрия в пространстве скоростей через указанную карту. Эта геометрия, в свою очередь, может быть выведена из закона сложения релятивистских скоростей.^[9] Таким образом, скорость в двух измерениях можно удобно визуализировать с помощью Диск Пуанкаре.^[10] Геодезические соответствуют установившимся ускорениям. Точно так же можно поместить трехмерное пространство в пространстве. изометрия с модель гиперболоида (изометрично 3-мерный диск Пуанкаре (или мяч)). Это подробно описано в геометрия пространства Минковского.

Сложение двух скоростей не дает Только в новой скорости; результирующее полное преобразование - это композиция преобразования, соответствующая скорости, указанной выше, и вращение параметризованный вектором ${displaystyle {oldsymbol {heta}}}$,

${displaystyle Lambda = e ^ {- i {oldsymbol {heta}} cdot mathbf {J}} e ^ {- imathbf {w} cdot mathbf {K}},}$

где используется соглашение физиков об экспоненциальном отображении. Это следствие правила коммутации

${displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = - iepsilon _ {ijk} J_ {k},}$

где ${displaystyle J_ {k}, k = 1,2,3,}$ являются генераторы вращения. Это связано с феноменом Прецессия Томаса. Для вычисления параметра ${displaystyle {oldsymbol {heta}}}$, ссылка на статью.

В экспериментальной физике элементарных частиц

Энергия E и скалярный импульс |п| частицы ненулевой (покойной) массы м даны:

${displaystyle E = гамма mc ^ {2}}$

${displaystyle | mathbf {p} | = gamma mv.}$

С определением ш

${displaystyle w = operatorname {artanh} {frac {v} {c}},}$

и таким образом с

${displaystyle cosh w = cosh left (operatorname {artanh} {frac {v} {c}} ight) = {frac {1} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} }}}} = гамма}$

${displaystyle sinh w = sinh left (operatorname {artanh} {frac {v} {c}} ight) = {frac {frac {v} {c}} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} { c ^ {2}}}}}} = эта гамма,}$

энергию и скалярный импульс можно записать как:

${displaystyle E = mc ^ {2} cosh w}$

${displaystyle | mathbf {p} | = mc, sinh w.}$

Таким образом, быстроту можно рассчитать по измеренной энергии и импульсу с помощью

${displaystyle w = operatorname {artanh} {frac {| mathbf {p} | c} {E}} = {frac {1} {2}} ln {frac {E + | mathbf {p} | c} {E- | mathbf {p} | c}} = ln {frac {E + | mathbf {p} | c} {mc ^ {2}}} ~.}$

Однако физики-экспериментаторы частиц часто используют модифицированное определение скорости относительно оси пучка.

${displaystyle y = {frac {1} {2}} ln {frac {E + p_ {z} c} {E-p_ {z} c}},}$

где п_z - составляющая количества движения вдоль оси пучка.^[11] Это скорость усиления вдоль оси луча, которая переводит наблюдателя из лабораторной рамки в рамку, в которой частица движется только перпендикулярно лучу. С этим связана концепция псевдобыстротность.

Скорость относительно оси луча также может быть выражена как

${displaystyle y = ln {frac {E + p_ {z} c} {sqrt {m ^ {2} c ^ {4} + p_ {T} ^ {2} c ^ {2}}}} ~.}$

Смотрите также

• Бонди k-исчисление
• Преобразование Лоренца
• Псевдобыстротность
• Правильная скорость
• Теория относительности

Замечания

Примечания и ссылки

• Варичак V (1910), (1912), (1924) См. Владимир Варичак # Публикации
• Уиттакер, Э. Т. (1910). "История теорий эфира и электричества ": 441. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)
• Робб, Альфред (1911). Оптическая геометрия движения, новый взгляд на теорию относительности. Кембридж: Хеффнер и сыновья.
• Борель Э (1913) Теория относительности и кино, Comptes Rendus Acad Sci, Париж, 156 215–218; 157 703-705
• Зильберштейн, Людвик (1914). Теория относительности. Лондон: Macmillan & Co.
• Владимир Карапетов (1936) "Ограниченная теория относительности в терминах гиперболических функций быстроты", Американский математический ежемесячный журнал 43:70.
• Фрэнк Морли (1936) «Когда и где», Критерий, Отредактировано Т.С. Элиот, 15:200-2009.
• Вольфганг Риндлер (2001) Относительность: специальная, общая и космологическая, стр. 53, Oxford University Press.
• Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп, т. 1, стр. 229, Академическая пресса ISBN  0-12-639201-3.
• Вальтер, Скотт (1999). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» (PDF). В J. Gray (ed.). Символическая Вселенная: геометрия и физика. Издательство Оксфордского университета. С. 91–127.(см. стр. 17 электронной ссылки)
• Rhodes, J. A .; Семон, М. Д. (2004). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Являюсь. J. Phys. 72: 93–90. arXiv:gr-qc / 0501070. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. Дои:10.1119/1.1652040.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Джексон, Дж. Д. (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-30932-X.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)