Лестничный парадокс - Ladder paradox

В лестница парадокс (или же парадокс сарая) это мысленный эксперимент в специальная теория относительности. Он включает в себя лестницу, параллельную земле, движущуюся горизонтально с релятивистской скоростью (близкую к скорости света) и, следовательно, испытывающую Сокращение длины Лоренца. Представьте себе, что лестница проходит через открытые переднюю и заднюю двери гаража или сарая, который короче его. длина отдыха, поэтому, если бы лестница не двигалась, она не могла бы поместиться внутрь. Для неподвижного наблюдателя из-за сжатия движущаяся лестница может полностью помещаться внутри здания, когда она проходит. С другой стороны, с точки зрения наблюдателя, движущегося по лестнице, лестница не будет сокращена, и это здание будет сокращено Лоренцом до еще меньшей длины. Следовательно, лестница не сможет поместиться внутри здания, когда она будет проходить. Это создает очевидное несоответствие между реальностями обоих наблюдателей.

Это очевидное парадокс возникает из ошибочного предположения об абсолютной одновременности. Считается, что лестница вписывается в гараж, если можно сделать так, чтобы оба ее конца одновременно находились внутри гаража. Парадокс разрешается, если учесть, что в теории относительности одновременность относительна каждому наблюдателю, давая ответ на вопрос, подходит ли лестница внутри гаража, также относительно каждого из них.

Парадокс

Самый простой вариант проблемы связан с гаражом с открытыми передней и задней дверью и лестницей, которая в состоянии покоя относительно гаража слишком длинна, чтобы поместиться внутрь. Теперь мы перемещаем лестницу с большой горизонтальной скоростью через стационарный гараж. Из-за своей высокой скорости лестница испытывает релятивистский эффект сокращение длины, и становится значительно короче. В результате, проходя через гараж, лестница какое-то время полностью удерживается внутри него. При желании мы могли бы одновременно закрыть обе двери на короткое время, чтобы продемонстрировать, что лестница подходит.

Пока это согласуется. Очевидный парадокс возникает, когда мы рассматриваем симметрия ситуации. Наблюдатель, движущийся по лестнице, движется с постоянной скоростью в пространстве. инерциальная система отсчета гаража этот наблюдатель также занимает инерциальную систему отсчета, где по принцип относительности действуют те же законы физики. С этой точки зрения лестница теперь неподвижна, а гараж движется с большой скоростью. Следовательно, это гараж, который сокращен по длине, и теперь мы делаем вывод, что он слишком мал, чтобы когда-либо полностью вмещать лестницу, когда она проходила: лестница не подходит, и мы не можем закрыть обе двери с обеих сторон лестницы. не задев его. Это кажущееся противоречие и есть парадокс.

Рисунок 1: Общий вид гаража и неподвижной лестницы

Рис. 2: В каркасе гаража лестница сокращается по длине и, следовательно, впишется в гараж.

Рис. 3: В раме лестницы гараж сокращается по длине и слишком мал, чтобы вместить лестницу.

Разрешение

Рисунок 4: Сценарий в каркасе гаража: укороченная лестница, проходящая через гараж

Рисунок 5: Сценарий в каркасе лестницы: гараж с укороченной длиной, проходящий по лестнице. Только одна дверь закрыта в любой момент

Решение очевидного парадокса заключается в относительность одновременности: то, что один наблюдатель (например, с гаражом) считает двумя одновременными событиями, на самом деле может не быть одновременным для другого наблюдателя (например, с лестницей). Когда мы говорим, что лестница «вписывается» в гараж, мы имеем в виду именно то, что в определенное время как задняя часть лестницы, так и позиция передней части лестницы находились внутри гаража; Другими словами, передняя и задняя часть лестницы находились внутри гаража одновременно. Поскольку одновременность относительна, два наблюдателя расходятся во мнениях относительно того, подходит ли лестница. Для наблюдателя с гаражом задний конец лестницы находился в гараже одновременно с передним концом лестницы, и поэтому лестница подходила; но для наблюдателя с лестницей эти два события не были одновременными, и лестница не подходила.

Ясный способ увидеть это - рассмотреть двери, которые в раме гаража закрываются на то короткое время, когда лестница полностью находится внутри. Теперь посмотрим на эти события в рамках лестницы. Первое событие - это передняя часть лестницы, ведущая к выходу из гаража. Дверь закрывается, а затем снова открывается, пропуская переднюю часть лестницы. Позже задняя часть лестницы проходит через входную дверь, которая закрывается, а затем открывается. Мы видим, что, поскольку одновременность относительна, две двери не нужно было закрывать одновременно, и лестнице не нужно было помещаться внутри гаража.

Ситуацию можно проиллюстрировать следующим образом: Диаграмма Минковского ниже. Схема находится в остальной раме гаража. Вертикальная голубая полоса показывает гараж в пространстве-времени, а светло-красная полоса показывает лестницу в пространстве-времени. Оси x и t - это оси пространства гаража и времени соответственно, а x ′ и t ′ - оси пространства лестницы и времени соответственно.

В кадре гаража лестница в любой конкретный момент времени представлена ​​горизонтальным набором точек, параллельных оси x, в красной полосе. Одним из примеров является полужирный синий сегмент линии, который находится внутри синей полосы, представляющей гараж, и представляет собой лестницу в то время, когда она полностью находится внутри гаража. Однако в рамках лестницы наборы одновременных событий лежат на линиях, параллельных оси x '; поэтому лестница в любой конкретный момент времени представлена ​​поперечным сечением такой линии с красной полосой. Одним из таких примеров является жирный красный отрезок линии. Мы видим, что такие отрезки никогда не лежат полностью внутри синей полосы; то есть лестница никогда не лежит полностью внутри гаража.

Рисунок 6: Диаграмма Минковского лестничного парадокса. Гараж показан голубым цветом, лестница - красным. Диаграмма находится в остальной части гаража, где x и t являются осями пространства гаража и времени соответственно. Рама лестницы предназначена для человека, сидящего на передней части лестницы, где x 'и t' являются осями пространства и времени лестницы соответственно. Синяя и красная линии, AB и AC, изображают лестницу в момент, когда ее передний конец встречается с выходной дверью гаража, в системе отсчета гаража и лестницы соответственно. Событие D - это задний конец лестницы, ведущей к входу в гараж.

Закрытие лестницы в гараже

Рисунок 7: Лестница, сокращающаяся при ускорении, чтобы поместиться в гараж с укороченной длиной

В более сложной версии парадокса мы можем физически заблокировать лестницу, когда она полностью окажется внутри гаража. Это можно сделать, например, если больше не открывать выходную дверь после того, как мы ее закроем. В рамках гаража мы предполагаем, что выходная дверь неподвижна, и поэтому, когда лестница ударяется о нее, мы говорим, что она мгновенно останавливается.^[1][2] К этому времени закрылась и входная дверь, и лестница застряла внутри гаража. Поскольку его относительная скорость теперь равна нулю, длина не сокращена, и теперь он длиннее, чем гараж; он должен будет согнуться, сломаться или взорваться.

Опять же, загадка возникает из-за рассмотрения ситуации с рамы лестницы. В приведенном выше анализе лестница в собственном каркасе всегда была длиннее гаража. Так как же нам удалось закрыть двери и запереть его внутри?

Здесь стоит отметить общую особенность теории относительности: мы пришли к выводу, рассматривая каркас гаража, что мы действительно запираем лестницу внутри гаража. Следовательно, это должно быть верно для любого кадра - лестница не может защелкнуться в одном кадре, а не в другом. Таким образом, по раме лестницы мы знаем, что должно быть какое-то объяснение того, как лестница оказалась в ловушке; мы должны просто найти объяснение.

Объяснение заключается в том, что, хотя все части лестницы одновременно замедляются до нуля в раме гаража, поскольку одновременность относительна, соответствующие замедления в раме лестницы не одновременны. Вместо этого каждая часть лестницы последовательно замедляется,^[1][3] спереди назад, пока, наконец, не замедлится задняя часть лестницы, и к этому времени она уже будет в гараже.

Поскольку сокращение длины и замедление времени контролируются Преобразования Лоренца парадокс лестницы можно рассматривать как физический коррелят парадокс близнецов, в котором один из близнецов покидает Землю, какое-то время путешествует со скоростью и возвращается на Землю немного моложе, чем привязанный к Земле близнец. Как и в случае с лестницей, застрявшей внутри сарая, если ни одна из систем отсчета не является привилегированной - каждый движется только относительно другого - как может быть, что это путешествующий близнец, а не неподвижный, который младше (точно так же, как он лестница, а не сарай, который короче)? В обоих случаях именно ускорение-замедление различает явления: именно двойник, а не земля (или лестница, а не сарай), подвергается силе замедления, возвращаясь во временное (или физическое, в случае лестница-сарай) инерционная рама.

Рисунок 8: Диаграмма Минковского для случая, когда лестница остановлена ​​по всей своей длине одновременно в каркасе гаража. Когда это происходит, рама гаража видит лестницу как AB, но рама лестницы видит лестницу как AC. Когда задняя часть лестницы входит в гараж в точке D, она еще не ощущает воздействия ускорения ее переднего конца. В это время, по словам кого-то, кто находится в состоянии покоя относительно задней части лестницы, передняя часть лестницы будет в точке E, и лестница будет обозначена как DE. Видно, что эта длина в раме лестницы не такая, как CA, оставшаяся длина лестницы до замедления.

Парадокс лестницы и передача силы

Рисунок 1: Диаграмма Минковского для случая, когда лестница остановлена ​​ударом о заднюю стену гаража. Удар - это событие A. При ударе рама гаража видит лестницу как AB, а рама лестницы видит лестницу как AC. Лестница не выезжает из гаража, поэтому ее передний конец теперь идет прямо вверх, через точку E. Задняя часть лестницы не изменит свою траекторию в пространстве-времени, пока не почувствует воздействие удара. Эффект удара может распространяться наружу от точки А не быстрее, чем скорость света, поэтому задняя часть лестницы никогда не почувствует последствия удара до точки F или позже, когда лестница находится внутри гаража в обоих случаях. кадры. Обратите внимание на то, что когда диаграмма нарисована в рамке лестницы, скорость света такая же, но лестница длиннее, поэтому силе требуется больше времени, чтобы достичь заднего конца; это дает достаточно времени, чтобы задняя часть лестницы переместилась внутрь гаража.

Что делать, если задняя дверь (дверь, из которой выходит лестница) закрыта навсегда и не открывается? Предположим, что дверь настолько прочная, что лестница не пробьет ее при столкновении, поэтому она должна остановиться. Затем, как в сценарии, описанном выше, в системе отсчета гаража наступает момент, когда лестница полностью находится внутри гаража (т. Е. Задняя часть лестницы находится внутри входной двери), прежде чем она сталкивается с дверью. задняя дверь и останавливается. Однако, исходя из системы координат лестницы, лестница слишком велика, чтобы поместиться в гараже, поэтому к тому времени, когда она сталкивается с задней дверью и останавливается, задняя часть лестницы все еще не достигает входной двери. Это кажется парадоксом. Вопрос в том, пересекает ли задняя часть лестницы входную дверь или нет?

Сложность возникает в основном из-за предположения, что лестница жесткая (т.е. сохраняет ту же форму). В повседневной жизни лестницы кажутся жесткими. Но для того, чтобы быть полностью жестким, необходимо, чтобы он мог передавать силу с бесконечной скоростью (то есть, когда вы толкаете один конец, другой конец должен немедленно реагировать, иначе лестница деформируется). Это противоречит специальной теории относительности, которая утверждает, что информация может перемещаться не быстрее скорости света (что слишком быстро для нас, чтобы заметить в реальной жизни, но имеет значение в лестничном сценарии). Таким образом, объекты не могут быть абсолютно жесткими согласно специальной теории относительности.

В этом случае, когда передняя часть лестницы сталкивается с задней дверью, задняя часть лестницы еще не знает об этом, поэтому продолжает движение вперед (и лестница «сжимается»). Как в раме гаража, так и в инерциальной раме лестницы задний конец продолжает двигаться во время столкновения, по крайней мере, до точки, где задняя часть лестницы входит в световой конус столкновения (т. Е. точка, в которой сила, движущаяся назад со скоростью света от точки столкновения, достигнет ее). На этом этапе лестница фактически короче, чем исходная сокращенная длина, поэтому задняя часть находится внутри гаража. Расчеты в обеих системах отсчета покажут, что это так.

Что происходит после того, как сила достигает задней части лестницы («зеленая» зона на диаграмме), не уточняется. В зависимости от физики лестница могла сломаться; или, если бы он был достаточно эластичным, он мог бы изгибаться и снова расширяться до своей первоначальной длины. На достаточно высоких скоростях любой реалистичный материал взорвался бы в плазму.

Человек падает на решетку

Человек (представленный сегментированным стержнем) падает в решетку

Эта ранняя версия парадокс был первоначально предложен и решен Вольфганг Риндлер^[1] и вовлекал быстро идущего человека, представленного жезлом, падающего в решетку.^[4] Предполагается, что стержень полностью находится над решеткой в ​​системе отсчета решетки до того, как ускорение вниз начнется одновременно и равномерно приложено к каждой точке стержня.

С точки зрения решетки стержень сокращается по длине и входит в решетку. Однако с точки зрения стержня это натереть испытывает сокращение длины, из-за чего кажется, что стержень слишком длинный, чтобы упасть.

Ускорение стержня вниз, которое является одновременным в системе отсчета решетки, не является одновременным в системе отсчета стержня. В системе отсчета стержня передняя часть стержня сначала ускоряется вниз (показано в ячейке 3 на чертеже), и с течением времени все больше и больше стержня подвергается ускорению вниз, пока, наконец, не задняя часть стержня. стержень ускоряется вниз. Это приводит к изгибу стержня в системе отсчета стержня. Так как этот изгиб происходит в системе покоя стержня, это истинное физическое искажение стержня, который будет вызывать стрессы происходят в стержне.

Чтобы это нежесткое поведение стержня стало очевидным, и сам стержень, и решетка должны иметь такой масштаб, чтобы можно было измерить время перемещения.

Парадокс бара и кольца

На схеме слева изображены стержень и кольцо в остальной рамке кольца в момент совпадения их центров. Штанга сжата по Лоренцу и движется вверх и вправо, в то время как кольцо неподвижно и не сжимается. Диаграмма справа иллюстрирует ситуацию в тот же момент, но в остальной части бара. Кольцо теперь сжато по Лоренцу и повернуто относительно стержня, а стержень разжат. И снова кольцо проходит над перекладиной, не касаясь ее.

Проблема, очень похожая, но более простая, чем парадокс стержня и решетки, включающая только инерциальные системы отсчета, - это парадокс «стержня и кольца» (Ferraro 2007). Парадокс стержня и решетки сложен: он включает в себя неинерциальные системы отсчета, поскольку в один момент человек идет горизонтально, а через мгновение он падает вниз; и это связано с физической деформацией человека (или сегментированного стержня), поскольку стержень изогнут в одной системе отсчета и прямой в другой. Эти аспекты проблемы вносят осложнения, связанные с жесткостью стержня, которая имеет тенденцию затемнять реальную природу «парадокса». Парадокс «стержень и кольцо» лишен этих сложностей: стержень, длина которого немного превышает диаметр кольца, движется вверх и вправо с горизонтальной длинной осью, в то время как кольцо неподвижно, а плоскость кольца также горизонтально. Если движение штанги таково, что центр штанги совпадает с центром кольца в какой-то момент времени, то штанга будет лоренц-сжатой из-за поступательной составляющей ее движения, и она пройдет через звенеть. Парадокс возникает, когда проблема рассматривается в остальной части бара. Кольцо теперь движется вниз и влево и будет сжато по Лоренцу по своей горизонтальной длине, в то время как штанга не будет сокращена вообще. Как штанга проходит через кольцо?

Разрешение парадокса снова заключается в относительности одновременности (Ferraro 2007). Длина физического объекта определяется как расстояние между двумя одновременный события, происходящие на каждом конце тела, и поскольку одновременность относительна, эта длина также относительна. Эта изменчивость длины и есть сокращение Лоренца. Точно так же физический угол определяется как угол, образованный тремя одновременный событий, и этот угол тоже будет относительной величиной. В приведенном выше парадокс, хотя стержень и плоскость кольца параллельны в системе покоя кольца, они не параллельны в системе покоя стержня. Несжатый стержень проходит через лоренц-сжатое кольцо, поскольку плоскость кольца поворачивается относительно стержня на величину, достаточную для того, чтобы стержень прошел сквозь него.

С математической точки зрения Преобразование Лоренца может быть разделен на произведение пространственного вращения и «правильного» преобразования Лоренца, которое не включает пространственного вращения. Математическое разрешение парадокса стержня и кольца основано на том факте, что произведение двух правильных преобразований Лоренца (горизонтального и вертикального) может дать преобразование Лоренца, которое не является правильным (диагональным), а скорее включает компонент пространственного вращения.

Смотрите также

• Парадокс космического корабля Белла
• Парадокс Эренфеста
• Физический парадокс
• Относительность одновременности
• Парадокс Supplee
• Парадокс близнецов

Примечания

Рекомендации

• Уэллс, Уиллард Х. (1961). «Парадокс длины в теории относительности». Американский журнал физики. 29 (12): 858. Bibcode:1961AmJPh..29..858W. Дои:10.1119/1.1937641.
• Шоу, Р. (1962). «Парадокс сокращения длины». Американский журнал физики. 30 (1): 72. Bibcode:1962AmJPh..30 ... 72С. Дои:10.1119/1.1941907.
• Мартинс, Роберто Де А. (1978). «Парадокс длины в теории относительности». Американский журнал физики. 46 (6): 667–670. Bibcode:1978AmJPh..46..667M. Дои:10.1119/1.11227.
• Састри, Г. П. (1987). «Действительно ли сокращение длины парадоксально?». Американский журнал физики. 55 (10): 943–946. Bibcode:1987AmJPh..55..943S. Дои:10.1119/1.14911.
• Грён, Эйвинд; Йоханнесен, Стейнар (1993). «Компьютерное моделирование парадокса сокращения длины Риндлера». Европейский журнал физики. 14 (3): 97–100. Bibcode:1993EJPh ... 14 ... 97G. Дои:10.1088/0143-0807/14/3/001.
• ван Линтель, Харальд; Грубер, Кристиан (2005). «Переосмысление парадокса стержня и отверстия». Европейский журнал физики. 26 (1): 19–23. Bibcode:2005EJPh ... 26 ... 19В. Дои:10.1088/0143-0807/26/1/003. S2CID  121888743.
• Айер, Чандру; Прабху, Г. М. (2008). «Реверс во временном порядке интерактивных событий: столкновение наклонных стержней». Европейский журнал физики. 27 (4): 819–824. arXiv:0809.1721. Bibcode:2006EJPh ... 27..819I. Дои:10.1088/0143-0807/27/4/013. S2CID  117711286.
• Пирс, Эван (2007). «Парадокс замка и ключа и пределы жесткости в специальной теории относительности». Американский журнал физики. 75 (7): 610–614. Bibcode:2007AmJPh..75..610P. Дои:10.1119/1.2711827.
• Айер, Чандру; Прабху, Г. М. (2008). «Разные наблюдения по посадке стержня в паз». Американский журнал физики. 74 (11): 998–1001. arXiv:0809.1740. Bibcode:2006AmJPh..74..998I. Дои:10.1119/1.2346686. S2CID  55801261.
• МакГлинн, Энда; ван Кампен, Пол (2008). «Заметка о связи электрического тока, магнитных полей, зарядов и полюса в парадоксе сарая в специальной теории относительности». Европейский журнал физики. 29 (6): N63 – N67. Bibcode:2008EJPh ... 29 ... 63M. Дои:10.1088 / 0143-0807 / 29/6 / N03.

дальнейшее чтение

• Эдвин Ф. Тейлор и Джон Арчибальд Уиллер, Физика пространства-времени (2-е изд.) (Фриман, Нью-Йорк, 1992 г.)

- обсуждает различные очевидные парадоксы СТО и их решения.

• Риндлер, Вольфганг (2001). Теория относительности: специальная, общая и космологическая. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850836-0.
• Ферраро, Рафаэль (2007). Пространство-время Эйнштейна: введение в специальную и общую теорию относительности. Springer. ISBN  978-0-387-69946-2.

внешняя ссылка

• Специальная анимация относительности от Джона де Пиллиса.Этот интерактивный анимированный парадокс поезда и туннеля является аналогом парадокса полюса (поезда) и сарая (туннеля).