Парадокс Эренфеста - Ehrenfest paradox

В Парадокс Эренфеста касается вращения «жесткого» диска в теория относительности.

В исходной формулировке, представленной Поль Эренфест 1909 г. в отношении концепции Родилась жесткость в пределах специальная теория относительности,^[1] в нем обсуждается идеально жесткий цилиндр, который вращается вокруг своей оси симметрии.^[2] Радиус р как видно в лаборатории, рамка всегда перпендикулярна ее движению и поэтому должна быть равна ее значению R₀ когда неподвижен. Однако окружность (2πр) должен появиться Лоренц-контрактный на меньшее значение, чем в состоянии покоя, на обычный коэффициент γ. Это приводит к противоречию, что р = р₀ и р < р₀.^[3]

В парадокс был углублен Альберт Эйнштейн, который показал, что, поскольку измерительные стержни, выровненные по периферии и движущиеся вместе с ней, должны казаться сжатыми, по окружности поместится больше, что, таким образом, будет иметь размер больше 2πр. Это указывает на то, что геометрия неевклидова для вращающихся наблюдателей и была важна для разработки Эйнштейном теории общая теория относительности.^[4]

Любой жесткий объект из реальных материалов, вращающийся с поперечным скорость близко к скорость звука в материале должен превышать точку разрыв из-за центробежная сила, потому что центробежное давление не может превышать модуль сдвига материала.

${ displaystyle { frac {F} {S}} = { frac {mv ^ {2}} {rS}} <{ frac {mc_ {s} ^ {2}} {rS}} приблизительно { гидроразрыв {mG} {rS rho}} приблизительно G}$

где ${ displaystyle c_ {s}}$ скорость звука, ${ displaystyle rho}$ это плотность и ${ displaystyle G}$ является модуль сдвига. Поэтому при рассмотрении скоростей, близких к скорость света, это всего лишь мысленный эксперимент. Нейтронно-вырожденное вещество допускает скорости, близкие к скорости света, потому что, например, скорость осцилляции нейтронной звезды релятивистский; Однако; эти тела нельзя строго назвать жесткими (согласно Родилась жесткость ).

Суть парадокса

Представьте себе диск радиуса р вращающийся с постоянной угловой скоростью ${ displaystyle omega}$.

Парадокс Эренфеста - должна сокращаться окружность вращающегося диска, но не радиус, поскольку радиус перпендикулярен направлению движения.

Система отсчета закреплена в неподвижном центре диска. Тогда величина относительной скорости любой точки на окружности диска равна ${ displaystyle omega R}$. Так пройдет окружность Лоренцево сокращение в разы ${ displaystyle { sqrt {1 - ( omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}}$.

Однако, поскольку радиус перпендикулярен направлению движения, он не будет испытывать сжатия. Так

${ Displaystyle { frac { mathrm {окружность}} { mathrm {диаметр}}} = { frac {2 pi R { sqrt {1 - ( omega R) ^ {2} / c ^ {2 }}}} {2R}} = pi { sqrt {1 - ( omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}.}$

Это парадоксально, поскольку в соответствии с Евклидова геометрия, он должен быть точно равенπ.

Аргумент Эренфеста

Эренфест считается идеалом Борн-жесткий цилиндр, который приводится во вращение. Если предположить, что цилиндр не расширяется и не сжимается, его радиус остается прежним. Но мерные стержни разложены по окружности ${ Displaystyle 2 pi R}$ должен быть лоренц-сжат до меньшего значения, чем в состоянии покоя, на обычный множитель γ. Это приводит к парадоксу: жесткие измерительные стержни должны отделяться друг от друга из-за лоренцевского сжатия; Несоответствие, отмеченное Эренфестом, по-видимому, предполагает, что повернутый жесткий диск Борна должен разрушиться.

Таким образом, Эренфест утверждал, что сокращение до абсурда что жесткость Борна обычно несовместима со специальной теорией относительности. Согласно специальной теории относительности объект не может быть раскрученный из невращающегося состояния при сохранении жесткости Борна, но как только он достигает постоянной ненулевой угловой скорости, он поддерживает жесткость Борна без нарушения специальной теории относительности, а затем (как позже показал Эйнштейн) наблюдатель на диске измеряет окружность:^[3] ${ displaystyle C ^ { prime} = { frac {2 pi R} { sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}$

Эйнштейн и общая теория относительности

Вращающийся диск и его связь с жесткостью также были важным мысленным экспериментом для Альберт Эйнштейн в разработке общей теории относительности.^[4] Он упоминал об этом в нескольких публикациях в 1912, 1916, 1917, 1922 годах и сделал вывод о том, что геометрия диска становится неевклидовой для наблюдателя, вращающегося в одном направлении. Эйнштейн писал (1922):^[5]

66ff: Представьте себе круг, нарисованный вокруг начала координат в плоскости x'y 'K', и диаметр этого круга. Далее представьте, что мы дали большое количество жестких стержней, все равных друг другу. Мы предполагаем, что они уложены последовательно по периферии и диаметру круга в состоянии покоя относительно K '. Если U - количество этих стержней по периферии, D - количество по диаметру, то, если K 'не вращается относительно K, мы будем иметь ${ Displaystyle U / D = pi}$. Но если K 'вращается, мы получим другой результат. Предположим, что в определенный момент времени t K мы определяем концы всех стержней. Что касается K, все стержни на периферии испытывают лоренцевское сокращение, но стержни на диаметре не испытывают этого сжатия (по своей длине!). Отсюда следует, что ${ Displaystyle U / D> pi}$.

Отсюда следует, что законы конфигурации твердых тел относительно K 'не согласуются с законами конфигурации твердых тел, которые находятся в соответствии с евклидовой геометрией. Если, кроме того, мы поместим два одинаковых часа (вращающихся с помощью K '), один на периферии, а другой в центре круга, тогда, судя по K, часы на периферии будут идти медленнее, чем часы на периферии. центр. То же самое должно произойти, если судить по K ', если мы определим время относительно K' не совсем неестественным образом, то есть таким образом, что законы относительно K 'явно зависят от времени. Следовательно, пространство и время не могут быть определены относительно K ', как это было в специальной теории относительности по отношению к инерциальным системам. Но, согласно принципу эквивалентности, K 'также следует рассматривать как покоящуюся систему, относительно которой существует гравитационное поле (поле центробежной силы и сила Кориолиса). Таким образом, мы приходим к результату: гравитационное поле влияет и даже определяет метрические законы пространственно-временного континуума. Если законы конфигурации идеального твердого тела выразить геометрически, то в присутствии гравитационного поля геометрия не является евклидовой.

Краткая история

Ссылки на статьи, упомянутые ниже (и многие из них), можно найти в статье Эйвинд Грён который доступен в режиме онлайн.^[3]

На этом рисунке показана мировая линия наблюдателя Ланжевена (красная спиральная кривая). На рисунке также изображен световые конусы на нескольких События с поле кадра наблюдателя Ланжевена, проходящего через это событие.

• 1909: Макс Борн вводит понятие жесткое движение в специальной теории относительности.^[6]
• 1909: После изучения концепции жесткости Борна, Поль Эренфест с помощью парадокса о цилиндре, который переходит из состояния покоя во вращение, продемонстрировано, что большинство движений протяженных тел не может быть жестким по Борну.^[1]
• 1910: Густав Херглотц и Фриц Нётер независимо разработал модель Борна и показал (Теорема Херглотца – Нётер ), что борновская жесткость допускает только три степени свободы движущихся тел. Например, возможно, что твердое тело совершает равномерное вращение, но ускоренное вращение невозможно. Таким образом, твердое тело Борна не может быть приведено из состояния покоя во вращение, что подтверждает результат Эренфеста.^[7][8]
• 1910: Макс Планк обращает внимание на тот факт, что не следует путать проблему сжатия диска из-за его раскручивания с проблемой того, что наблюдатели на диске будут измерять по сравнению со стационарными наблюдателями. Он предполагает, что решение первой проблемы потребует введения некоторой материальной модели и использования теории эластичность.^[9]
• 1910: Теодор Калуца указывает, что нет ничего парадоксального в том, что статические наблюдатели и наблюдатели, движущиеся по диску, получают разные результаты для окружности. Однако это означает, утверждает Калуца, что «геометрия вращающегося диска» неевклидов. Он утверждает без доказательств, что эта геометрия на самом деле является просто геометрией гиперболическая плоскость.^[10]
• 1911: Макс фон Лауэ показывает, что ускоряемое тело имеет бесконечное число степеней свободы, поэтому никакие твердые тела не могут существовать в специальной теории относительности.^[11]
• 1916: При написании своего нового общая теория относительности, Альберт Эйнштейн замечает, что наблюдатели на дисках измеряют дольше длина окружности, C′ = 2πr/√1−v². То есть, поскольку линейки, движущиеся параллельно своей оси длины, появляются короче Согласно измерениям статических наблюдателей, наблюдатели на дисках могут вместить по окружности более мелких линейок заданной длины, чем стационарные наблюдатели.
• 1922: В своей основополагающей книге «Математическая теория относительности» (стр. 113) А.С. Эддингтон вычисляет сокращение радиус вращающегося диска (по сравнению со стационарными весами) на одну четверть коэффициента «лоренцевского сжатия», примененного к окружности.
• 1935: Поль Ланжевен по существу вводит подвижная рама (или поле кадра на современном языке), соответствующий семейству дисковых наблюдателей, теперь называемых Наблюдатели Ланжевена. (См. Рисунок.) Он также показывает, что расстояния, измеренные рядом, поблизости Наблюдатели Ланжевена соответствуют определенному Риманова метрика, теперь называемая метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица. (Увидеть Родившиеся координаты для подробностей.)^[12]
• 1937: Ян Вайссенхофф (теперь, возможно, наиболее известен своей работой над Картановые соединения с нулевой кривизной и ненулевым кручением) отмечает, что ланжевеновские наблюдатели не ортогональны гиперповерхности. Следовательно, метрика Ланжевена-Ландау-Лифшица определена не на каком-то гиперсрезе пространства-времени Минковского, а на факторное пространство получается заменой каждой мировой линии на точка. Это дает трехмерный гладкое многообразие который становится Риманово многообразие когда мы добавляем метрическую структуру.
• 1946: Натан Розен показывает, что инерционные наблюдатели, мгновенно соприкасающиеся с наблюдателями Ланжевена, также измеряют небольшие расстояния, заданные метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица.
• 1946: Э.Л. Хилл анализирует релятивистские напряжения в материале, в котором (грубо говоря) скорость звука равна скорости света, и показывает, что они просто компенсируют радиальное расширение из-за центробежной силы (в любом физически реалистичном материале релятивистские эффекты уменьшаются, но уменьшаются). не отменять радиальное расширение). Хилл объясняет ошибки в более ранних анализах Артур Эддингтон и другие.^[13]
• 1952: К. Мёллер пытается изучить нулевые геодезические с точки зрения вращающихся наблюдателей (но неправильно пытается использовать срезы, а не соответствующее фактор-пространство)
• 1968: В. Кантони дает прямое, чисто кинематическое объяснение парадокса, показывая, что «одно из предположений, неявно содержащихся в формулировке парадокса Эренфеста, неверно, поскольку предполагается, что геометрия пространства-времени Минковского допускает переход диск из состояния покоя во вращение таким образом, чтобы как длина радиуса, так и длина периферии, измеренная относительно движущейся системы отсчета, оставалась неизменной "
• 1975: Эйвинд Грён пишет классический обзор решений "парадокса".
• 1977: Грюнбаум и Янис вводят понятие физически реализуемой «нежесткости», которое может быть применено к раскрутке изначально невращающегося диска (это понятие не является физически реалистичный для реальных материалов, из которых можно сделать диск, но это полезно для мысленных экспериментов).^[14]
• 1981: Грон замечает, что Закон Гука не согласуется с преобразованиями Лоренца и вводит релятивистское обобщение.
• 1997: Т. А. Вебер явно вводит поле фрейма, связанное с ланжевеновскими наблюдателями.
• 2000: Хрвое Николич указывает на то, что парадокс исчезает, когда (в соответствии с общая теория относительности ) каждая часть вращающегося диска рассматривается отдельно, как живущая в своей локальной неинерциальной системе отсчета.
• 2002: Рицци и Руджеро (и Бел) явно вводят фактор-многообразие, упомянутое выше.

Разрешение парадокса

Грон утверждает, что разрешение парадокса проистекает из невозможности синхронизации часов во вращающейся системе отсчета.^[15] Если наблюдатели на вращающейся окружности пытаются синхронизировать свои часы по окружности, чтобы установить время диска, существует разница во времени между двумя конечными точками, где они встречаются.

Кратко современное разрешение можно резюмировать следующим образом:

1. Небольшие расстояния, измеряемые наблюдателями на диске, описываются метрикой Ланжевена – Ландау – Лифшица, которая действительно хорошо аппроксимируется (для малых угловых скоростей) геометрией гиперболической плоскости, как и утверждал Калуца.
2. Для физически разумных материалов во время фазы раскрутки реальный диск расширяется в радиальном направлении за счет центробежных сил; релятивистские поправки частично противодействуют (но не отменяют) этому эффекту Ньютона. После достижения стационарного вращения и расслабления диска геометрия «в малом» приближенно задается метрикой Ланжевена – Ландау – Лифшица.

Смотрите также

• Родившиеся координаты, для координатной карты, адаптированной для наблюдателей, движущихся на жестко вращающемся диске
• Уменьшение длины
• Релятивистский диск

Некоторые другие «парадоксы» в специальная теория относительности

• Парадокс космического корабля Белла
• Лестничный парадокс
• Физический парадокс
• Парадокс Supplee
• Парадокс близнецов

Заметки

Цитаты

Процитированные работы

Несколько статей, представляющих исторический интерес

Несколько классических «современных» отсылок

Некоторая экспериментальная работа и последующее обсуждение

Избранные недавние источники

внешние ссылки

• Жесткий вращающийся диск в теории относительности Майкл Вайс (1995), из sci.physics FAQ.
• Карусель Эйнштейна (раздел 3.4.4) Б. Кроуэлла