Параметризованный постньютоновский формализм - Parameterized post-Newtonian formalism

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${ Displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая временная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

В общей теории относительности и многих альтернативах ей постньютоновский формализм это вычислительный инструмент, который выражает (Нелинейные) уравнения гравитации Эйнштейна по низшим отклонениям от Закон всемирного тяготения Ньютона. Это позволяет приближения к Эйнштейн уравнения, которые должны быть составлены в случае слабых полей. Для повышения точности можно добавить члены более высокого порядка, но для сильных полей может быть предпочтительнее решать полные уравнения численно. Некоторые из этих постньютоновских приближений представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости вещества, формирующего гравитационное поле, к скорости скорость света, который в данном случае лучше называть скорость гравитации. В пределе, когда основная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону Ньютона сила тяжести.

В параметризованный постньютоновский формализм или же Формализм PPN, является версией этой формулировки, которая явно детализирует параметры, в которых общая теория гравитации может отличаться от ньютоновской гравитации. Он используется как инструмент для сравнения ньютоновской и эйнштейновской гравитации в пределе, в котором гравитационное поле слабый и создается объектами, движущимися медленно по сравнению со скоростью света. В общем, формализм PPN применим ко всем метрическим теориям гравитации, в которых все тела удовлетворяют теории Эйнштейна. принцип эквивалентности (EEP). В формализме PPN скорость света остается постоянной, и предполагается, что метрический тензор всегда симметричен.

История

Самые ранние параметризации постньютоновского приближения были выполнены сэром Артур Стэнли Эддингтон в 1922 году. Однако они имели дело исключительно с вакуумным гравитационным полем вне изолированного сферического тела. Кен Нордтведт (1968, 1969) расширил это понятие, включив семь параметров в статьи, опубликованные в 1968 и 1969 годах. Клиффорд Мартин Уилл представил описание небесных тел с помощью напряженной непрерывной материи в 1971 году.

Описанные здесь версии основаны на Вэй-Тоу Ни (1972), Уилл и Нордведт (1972), Чарльз В. Миснер и другие. (1973) (см. Гравитация (книга) ) и Will (1981, 1993) и имеют десять параметров.

Бета-дельта-запись

Десять постньютоновские параметры полностью характеризуют поведение теории в слабом поле. Формализм был ценным инструментом в тесты общей теории относительности. В обозначениях Уилла (1971), Ни (1972) и Миснера и др. (1973) они имеют следующие значения:

${ displaystyle gamma}$	Сколько искривления пространства ${ displaystyle g_ {ij}}$ производится единицей массы покоя?
${ displaystyle beta}$	Сколько нелинейность есть ли в суперпозиция закон гравитации ${ displaystyle g_ {00}}$?
${ displaystyle beta _ {1}}$	Сколько силы тяжести создается единицей кинетическая энергия ${ displaystyle textstyle { frac {1} {2}} rho _ {0} v ^ {2}}$?
${ displaystyle beta _ {2}}$	Сколько силы тяжести создается единицей гравитационный потенциал энергия ${ displaystyle rho _ {0} / U}$?
${ displaystyle beta _ {3}}$	Сколько гравитации создается единицей внутренней энергии ${ displaystyle rho _ {0} Pi}$?
${ displaystyle beta _ {4}}$	Сколько гравитации создается единичным давлением ${ displaystyle p}$?
${ displaystyle zeta}$	Разница между радиальной и поперечной кинетической энергией силы тяжести
${ displaystyle eta}$	Разница между радиальным и поперечным напряжением силы тяжести
${ displaystyle Delta _ {1}}$	Сколько перетаскивания инерциальные системы отсчета ${ displaystyle g_ {0j}}$ производится единицей импульс ${ displaystyle rho _ {0} v}$?
${ displaystyle Delta _ {2}}$	Разница между радиальным и поперечным импульсом при перетаскивании инерциальных систем отсчета

${ displaystyle g _ { mu nu}}$ симметричный метрический тензор 4 на 4 с индексами ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle nu}$ от 0 до 3. Ниже индекс 0 будет указывать направление времени и индексы. ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ (переход от 1 к 3) укажет пространственные направления.

В теории Эйнштейна значения этих параметров выбираются (1) для соответствия закону всемирного тяготения Ньютона в пределе скоростей и массы, приближающихся к нулю, (2) для обеспечения сохранение энергии, масса, импульс, и угловой момент, и (3) сделать уравнения независимыми от система отсчета. В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN${ displaystyle gamma = beta = beta _ {1} = beta _ {2} = beta _ {3} = beta _ {4} = Delta _ {1} = Delta _ {2} = 1}$ и ${ Displaystyle zeta = eta = 0.}$

Обозначение альфа-дзета

В более поздних обозначениях Уилла и Нордтведта (1972) и Уилла (1981, 1993, 2006) используется другой набор из десяти параметров PPN.

${ displaystyle gamma = gamma}$

${ displaystyle beta = beta}$

${ displaystyle alpha _ {1} = 7 Delta _ {1} + Delta _ {2} -4 gamma -4}$

${ displaystyle alpha _ {2} = Delta _ {2} + zeta -1}$

${ Displaystyle альфа _ {3} = 4 beta _ {1} -2 гамма -2- zeta}$

${ Displaystyle zeta _ {1} = zeta}$

${ displaystyle zeta _ {2} = 2 beta +2 beta _ {2} -3 gamma -1}$

${ displaystyle zeta _ {3} = beta _ {3} -1}$

${ displaystyle zeta _ {4} = beta _ {4} - gamma}$

${ Displaystyle xi}$ рассчитывается из ${ displaystyle 3 eta = 12 beta -3 gamma -9 + 10 xi -3 alpha _ {1} +2 alpha _ {2} -2 zeta _ {1} - zeta _ {2 }}$

Смысл этого в том, что ${ displaystyle alpha _ {1}}$, ${ displaystyle alpha _ {2}}$ и ${ displaystyle alpha _ {3}}$ измерить степень предпочтительных эффектов кадра. ${ displaystyle zeta _ {1}}$, ${ displaystyle zeta _ {2}}$, ${ displaystyle zeta _ {3}}$, ${ displaystyle zeta _ {4}}$ и ${ displaystyle alpha _ {3}}$ измерить нарушение сохранения энергии, количества движения и момента количества движения.

В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN

${ displaystyle gamma = beta = 1}$ и ${ displaystyle alpha _ {1} = alpha _ {2} = alpha _ {3} = zeta _ {1} = zeta _ {2} = zeta _ {3} = zeta _ {4 } = xi = 0}$

Математическая связь между метрикой, метрическими потенциалами и параметрами PPN для этого обозначения:

${ displaystyle { begin {matrix} g_ {00} = - 1 + 2U-2 beta U ^ {2} -2 xi Phi _ {W} + (2 gamma +2+ alpha _ {3 } + zeta _ {1} -2 xi) Phi _ {1} +2 (3 gamma -2 beta +1+ zeta _ {2} + xi) Phi _ {2} +2 (1+ zeta _ {3}) Phi _ {3} +2 (3 gamma +3 zeta _ {4} -2 xi) Phi _ {4} - ( zeta _ { 1} -2 xi) A - ( alpha _ {1} - alpha _ {2} - alpha _ {3}) w ^ {2} U - alpha _ {2} w ^ { i} w ^ {j} U_ {ij} + (2 alpha _ {3} - alpha _ {1}) w ^ {i} V_ {i} + O ( epsilon ^ {3}) end { матрица}}}$

${ displaystyle g_ {0i} = - textstyle { frac {1} {2}} (4 gamma +3+ alpha _ {1} - alpha _ {2} + zeta _ {1} -2 xi) V_ {i} - textstyle { frac {1} {2}} (1+ alpha _ {2} - zeta _ {1} +2 xi) W_ {i} - textstyle { frac {1} {2}} ( alpha _ {1} -2 alpha _ {2}) w ^ {i} U- alpha _ {2} w ^ {j} U_ {ij} + O ( эпсилон ^ { frac {5} {2}})}$

${ displaystyle g_ {ij} = (1 + 2 gamma U) delta _ {ij} + O ( epsilon ^ {2})}$

где суммируются повторные индексы. ${ displaystyle epsilon}$ порядка потенциалов, таких как ${ displaystyle U}$, квадратная величина координатных скоростей вещества и т. д. ${ Displaystyle ш ^ {я}}$ - вектор скорости системы координат PPN относительно средней системы покоя Вселенной. ${ displaystyle w ^ {2} = delta _ {ij} w ^ {i} w ^ {j}}$ - квадратная величина этой скорости. ${ displaystyle delta _ {ij} = 1}$ если и только если ${ displaystyle i = j}$, ${ displaystyle 0}$ иначе.

Есть десять метрических потенциалов, ${ displaystyle U}$, ${ displaystyle U_ {ij}}$, ${ displaystyle Phi _ {W}}$, ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle Phi _ {1}}$, ${ displaystyle Phi _ {2}}$, ${ displaystyle Phi _ {3}}$, ${ displaystyle Phi _ {4}}$, ${ displaystyle V_ {i}}$ и ${ displaystyle W_ {i}}$, по одному для каждого параметра PPN, чтобы обеспечить уникальное решение. 10 линейных уравнений с 10 неизвестными решаются путем инвертирования матрицы 10 на 10. Эти метрические потенциалы имеют такие формы, как:

${ Displaystyle U ( mathbf {x}, t) = int { rho ( mathbf {x} ', t) over | mathbf {x} - mathbf {x}' |} d ^ {3 }Икс'}$

что просто еще один способ записать ньютоновский гравитационный потенциал,

${ Displaystyle U_ {ij} = int { rho ( mathbf {x} ', t) (x-x') _ {i} (x-x ') _ {j} over | mathbf {x } - mathbf {x} '| ^ {3}} d ^ {3} x'}$

${ Displaystyle Phi _ {W} = int { rho ( mathbf {x} ', t) rho ( mathbf {x}' ', t) (x-x') _ {i} over | mathbf {x} - mathbf {x} '| ^ {3}} left ({(x'-x' ') ^ {i} over | mathbf {x} - mathbf {x}' |} - {(x-x '') ^ {i} over | mathbf {x} '- mathbf {x}' '|} right) d ^ {3} x'd ^ {3} x ''}$

${ displaystyle A = int { rho ( mathbf {x} ', t) left ( mathbf {v} ( mathbf {x}', t) cdot ( mathbf {x} - mathbf { x} ') right) ^ {2} over | mathbf {x} - mathbf {x}' | ^ {3}} d ^ {3} x '}$

${ Displaystyle Phi _ {1} = int { rho ( mathbf {x} ', t) mathbf {v} ( mathbf {x}', t) ^ {2} over | mathbf { x} - mathbf {x} '|} d ^ {3} x'}$

${ Displaystyle Phi _ {2} = int { rho ( mathbf {x} ', t) U ( mathbf {x}', t) over | mathbf {x} - mathbf {x} '|} d ^ {3} x'}$

${ Displaystyle Phi _ {3} = int { rho ( mathbf {x} ', t) Pi ( mathbf {x}', t) over | mathbf {x} - mathbf {x } '|} d ^ {3} x'}$

${ Displaystyle Phi _ {4} = int {p ( mathbf {x} ', t) over | mathbf {x} - mathbf {x}' |} d ^ {3} x '}$

${ Displaystyle V_ {я} = int { rho ( mathbf {x} ', t) v ( mathbf {x}', t) _ {i} over | mathbf {x} - mathbf { x} '|} d ^ {3} x'}$

${ Displaystyle W_ {я} = int { rho ( mathbf {x} ', t) left ( mathbf {v} ( mathbf {x}', t) cdot ( mathbf {x} - mathbf {x} ') right) (x-x') _ {i} over | mathbf {x} - mathbf {x} '| ^ {3}} d ^ {3} x'}$

куда ${ displaystyle rho}$ - плотность массы покоя, ${ displaystyle Pi}$ - внутренняя энергия на единицу массы покоя, ${ displaystyle p}$ - давление, измеренное в локальной свободно падающей системе отсчета, мгновенно сопутствующей с веществом, и ${ displaystyle mathbf {v}}$ - координатная скорость вещества.

Тензор энергии-напряжения для идеальной жидкости принимает вид

${ displaystyle T ^ {00} = rho (1+ Pi + mathbf {v} ^ {2} + 2U)}$

${ Displaystyle T ^ {0i} = rho (1+ Pi + mathbf {v} ^ {2} + 2U + p / rho) v ^ {i}}$

${ Displaystyle T ^ {ij} = rho (1+ Pi + mathbf {v} ^ {2} + 2U + p / rho) v ^ {i} v ^ {j} + p delta ^ { ij} (1-2 gamma U)}$

Как применять PPN

Примеры процесса применения формализма PPN к альтернативным теориям гравитации можно найти в Will (1981, 1993). Это процесс из девяти шагов:

• Шаг 1: Определите переменные, которые могут включать: (а) динамические гравитационные переменные, такие как метрика ${ displaystyle g _ { mu nu}}$, скалярное поле ${ displaystyle phi}$, векторное поле ${ displaystyle K _ { mu}}$, тензорное поле ${ displaystyle B _ { mu nu}}$ и так далее; (б) априорные геометрические переменные, такие как метрика плоского фона ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$, функция космического времени ${ displaystyle t}$, и так далее; (c) материя и переменные негравитационного поля.
• Шаг 2: Установите космологические граничные условия. Предположите однородную изотропную космологию с изотропными координатами в системе покоя Вселенной. Полное космологическое решение может понадобиться, а может и не потребоваться. Назовите результаты ${ displaystyle g _ { mu nu} ^ {(0)} = operatorname {diag} (-c_ {0}, c_ {1}, c_ {1}, c_ {1})}$, ${ displaystyle phi _ {0}}$, ${ displaystyle K _ { mu} ^ {(0)}}$, ${ displaystyle B _ { mu nu} ^ {(0)}}$.
• Шаг 3. Получите новые переменные из ${ displaystyle h _ { mu nu} = g _ { mu nu} -g _ { mu nu} ^ {(0)}}$, с ${ displaystyle phi - phi _ {0}}$, ${ displaystyle K _ { mu} -K _ { mu} ^ {(0)}}$ или же ${ displaystyle B _ { mu nu} -B _ { mu nu} ^ {(0)}}$ если нужно.
• Шаг 4: подставьте эти формы в уравнения поля, оставив только те члены, которые необходимы для получения окончательного согласованного решения для ${ displaystyle h _ { mu nu}}$. Замените источники материи на идеальный тензор напряжений жидкости.
• Шаг 5: Решите для ${ displaystyle h_ {00}}$ к ${ Displaystyle O (2)}$. Предполагая, что это стремится к нулю вдали от системы, мы получаем форму ${ displaystyle h_ {00} = 2 alpha U}$ куда ${ displaystyle U}$ - ньютоновский гравитационный потенциал и ${ displaystyle alpha}$ может быть сложной функцией, включая гравитационную «постоянную» ${ displaystyle G}$. Метрика Ньютона имеет вид ${ displaystyle g_ {00} = - c_ {0} +2 alpha U}$, ${ displaystyle g_ {0j} = 0}$, ${ displaystyle g_ {ij} = delta _ {ij} c_ {1}}$. Работа в единицах, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сегодня вдали от гравитирующей материи, равна единице, так что установите ${ displaystyle G _ { mathrm {сегодня}} = alpha / c_ {0} c_ {1} = 1}$.
• Шаг 6: Из линеаризованных версий уравнений поля решите для ${ displaystyle h_ {ij}}$ к ${ Displaystyle O (2)}$ и ${ displaystyle h_ {0j}}$ к ${ Displaystyle O (3)}$.
• Шаг 7: Решите для ${ displaystyle h_ {00}}$ к ${ Displaystyle O (4)}$. Это самый запутанный шаг, связанный со всеми нелинейностями в уравнениях поля. Тензор энергии-импульса также необходимо разложить до достаточного порядка.
• Шаг 8: Преобразование в локальные квазидекартовы координаты и стандартную шкалу PPN.
• Шаг 9: сравнивая результат для ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ с уравнениями, представленными в PPN с альфа-дзета параметрами, считайте значения параметра PPN.

Сравнение теорий гравитации

Таблицу, в которой сравниваются параметры PPN для 23 теорий гравитации, можно найти в Альтернативы общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий.

Большинство метрических теорий гравитации можно разделить на категории. Скалярные теории гравитации включают конформно плоские теории и стратифицированные теории с ортогональными во времени пространственными срезами.

В конформно-плоских теориях, таких как Теория гравитации Нордстрёма метрика дается ${ Displaystyle mathbf {g} = е { boldsymbol { eta}}}$ и для этой метрики ${ displaystyle gamma = -1}$, что резко расходится с наблюдениями. В стратифицированных теориях, таких как Йылмаз теория гравитации метрика дается ${ displaystyle mathbf {g} = f_ {1} mathbf {d} t otimes mathbf {d} t + f_ {2} { boldsymbol { eta}}}$ и для этой метрики ${ Displaystyle альфа _ {1} = - 4 ( гамма +1)}$, что также резко расходится с наблюдениями.

Другой класс теорий - это квазилинейные теории, такие как Теория гравитации Уайтхеда. Для этих ${ displaystyle xi = beta}$. Относительные величины гармоник земных приливов зависят от ${ Displaystyle xi}$ и ${ displaystyle alpha _ {2}}$, и измерения показывают, что квазилинейные теории не согласуются с наблюдениями за земными приливами.

Другой класс метрических теорий - это биметрическая теория. Для всех этих ${ displaystyle alpha _ {2}}$ не равно нулю. Из прецессии вращения Солнца мы знаем, что ${ displaystyle alpha _ {2} <4 times 10 ^ {- 7}}$, что фактически исключает биметрические теории.

Другой класс метрических теорий - это скалярные тензорные теории, Такие как Теория Бранса – Дике. Для всего этого ${ displaystyle gamma = textstyle { frac {1+ omega} {2+ omega}}}$. Предел ${ displaystyle gamma -1 <2,3 times 10 ^ {- 5}}$ Значит это ${ displaystyle omega}$ должен быть очень большим, поэтому эти теории выглядят все менее и менее вероятными по мере повышения точности экспериментов.

Последний основной класс метрических теорий - это векторно-тензорные теории. Для всех них гравитационная «постоянная» меняется со временем и ${ displaystyle alpha _ {2}}$ не равно нулю. Эксперименты по лазерной локации Луны жестко ограничивают изменение гравитационной «постоянной» со временем и ${ displaystyle alpha _ {2} <4 times 10 ^ {- 7}}$, так что эти теории также выглядят маловероятными.

Есть несколько метрических теорий гравитации, которые не попадают в вышеуказанные категории, но имеют схожие проблемы.

Точность экспериментальных испытаний

Границы параметров PPN из Will (2006) и Will (2014)

Параметр	Граница	Последствия	Эксперимент
${ displaystyle gamma -1}$	2.3×10−5	Задержка по времени, отклонение света	Кассини отслеживание
${ displaystyle beta -1}$	8×10−5	Сдвиг перигелия	Сдвиг перигелия
${ displaystyle beta -1}$	2.3×10−4	Эффект Нордтведта с допущением ${ displaystyle eta _ {N} = 4 beta - gamma -3}$	Эффект Нордтведта
${ Displaystyle xi}$	4×10−9	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${ displaystyle alpha _ {1}}$	1×10−4	Орбитальная поляризация	Лазерная локация Луны
${ displaystyle alpha _ {1}}$	4×10−5	Орбитальная поляризация	PSR J1738 + 0333
${ displaystyle alpha _ {2}}$	2×10−9	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${ displaystyle alpha _ {3}}$	4×10−20	Самоускорение	Статистика замедления вращения пульсара
${ displaystyle eta _ {N}}$	9×10−4	Эффект Нордтведта	Лазерная локация Луны
${ displaystyle zeta _ {1}}$	0.02	Комбинированные границы PPN	—
${ displaystyle zeta _ {2}}$	4×10−5†	Ускорение двоичного пульсара	ПСР 1913 + 16
${ displaystyle zeta _ {3}}$	1×10−8	3-й закон Ньютона	Лунное ускорение
${ displaystyle zeta _ {4}}$	0.006‡	—	Крейцеровский эксперимент

† Уилл, К. М. (10 июля 1992 г.). «Сохраняется ли импульс? Тест в двоичной системе PSR 1913 + 16». Письма в астрофизический журнал. 393 (2): L59 – L61. Bibcode:1992ApJ ... 393L..59W. Дои:10.1086/186451. ISSN  0004-637X.

‡ На основе ${ displaystyle 6 zeta _ {4} = 3 alpha _ {3} +2 zeta _ {1} -3 zeta _ {3}}$ от Уилла (1976, 2006). Теоретически возможно^{[требуется разъяснение ]} для альтернативной модели гравитации, чтобы обойти эту границу, и в этом случае граница ${ displaystyle | zeta _ {4} | <0,4}$ из Ni (1972).

Смотрите также

• Альтернативы общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий
• Линеаризованная гравитация
• Параметр Пескина – Такеучи То же, что и PPN, но для электрослабая теория вместо гравитация
• Тесты общей теории относительности

Рекомендации

• Эддингтон, А. С. (1922) Математическая теория относительности, Cambridge University Press.
• Миснер, К. В., Торн, К. С. и Уиллер, Дж. А. (1973) Gravitation, W.H. Freeman and Co.
• Нордтведт, Кеннет (1968-05-25). «Принцип эквивалентности для массивных тел. II. Теория». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 169 (5): 1017–1025. Дои:10.1103 / Physrev.169.1017. ISSN  0031-899X.
• Нордтведт, К. (1969-04-25).«Принцип эквивалентности массивных тел, включая энергию вращения и радиационное давление». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 180 (5): 1293–1298. Дои:10.1103 / Physrev.180.1293. ISSN  0031-899X.
• Уилл, Клиффорд М. (1971). «Теоретические основы для проверки релятивистской гравитации. II. Параметризованная постньютоновская гидродинамика и эффект Нордтведта». Астрофизический журнал. IOP Publishing. 163: 611-628. Дои:10.1086/150804. ISSN  0004-637X.
• Уилл К. М. (1976). «Активная масса в релятивистской гравитации - Теоретическая интерпретация эксперимента Крейцера». Астрофизический журнал. IOP Publishing. 204: 224-234. Дои:10.1086/154164. ISSN  0004-637X.
• Уилл К. М. (1981, 1993) Теория и эксперимент в гравитационной физике, Cambridge University Press. ISBN  0-521-43973-6.
• Уилл К. М. (2006) Противостояние общей теории относительности и эксперимента. https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Уилл, Клиффорд М. (11.06.2014). «Противостояние общей теории относительности и эксперимента». Живые обзоры в теории относительности. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 17 (1): 4. Дои:10.12942 / lrr-2014-4. ISSN  2367-3613.
• Уилл, Клиффорд М .; Нордтведт, Кеннет младший (1972). "Законы сохранения и предпочтительные системы отсчета в релятивистской гравитации. I. Теории предпочтительных систем отсчета и расширенный формализм PPN". Астрофизический журнал. IOP Publishing. 177: 757. Дои:10.1086/151754. ISSN  0004-637X.