Параллелограмм силы - Parallelogram of force

В параллелограмм сил метод решения (или визуализации) результатов применения двух силы к объекту.

Рисунок 1: Построение параллелограмма для сложения векторов

Когда задействовано более двух сил, геометрия перестает быть параллелограммной, но применяются те же принципы. Силы, будучи векторов подчиняются законам векторное сложение, и поэтому общая (результирующая) сила из-за приложения ряда сил может быть найдена геометрически, нарисовав векторные стрелки для каждой силы. Например, см. Рисунок 1. Эта конструкция дает тот же результат, что и перемещение. F₂ так что его хвост совпадает с головой F₁, и принимая чистую силу как вектор, соединяющий хвост F₁ к главе F₂. Эту процедуру можно повторить, чтобы добавить F₃ к результирующему F₁ + F₂, и так далее.

Доказательство Ньютона

Рисунок 2: Параллелограмм скорости

Предварительно: параллелограмм скорости

Предположим, что частица движется с равномерной скоростью по линии от A до B (рис. 2) за заданный промежуток времени (скажем, один второй ), в то время как в то же время линия AB равномерно перемещается из своего положения в AB в положение в DC, оставаясь параллельной своей исходной ориентации на всем протяжении. С учетом обоих движений частица идет по линии AC. Поскольку смещение в данный момент времени является мерой скорость длина AB является мерой скорости частицы вдоль AB, длина AD является мерой скорости линии вдоль AD, а длина AC является мерой скорости частицы вдоль AC. Движение частицы такое же, как если бы она двигалась с одной скоростью вдоль AC.^[1]

Ньютоновское доказательство параллелограмма силы

Предположим, два силы действовать на частица в начале координат («хвосты» векторов ) рисунка 1. Пусть длины векторов F₁ и F₂ представляют скорости две силы могут возникать в частице, действуя в течение заданного времени, и пусть направление каждой представляет направление, в котором они действуют. Каждая сила действует независимо и будет производить свою определенную скорость независимо от того, действует ли другая сила или нет. В конце заданного времени частица имеет обе скорости. Согласно приведенному выше доказательству они эквивалентны одной скорости, F_сеть. К Второй закон Ньютона, этот вектор также является мерой силы, которая создаст эту скорость, таким образом, две силы эквивалентны одной силе.^[2]

Используя параллелограмм, сложите силы, действующие на частицу на плавном склоне. Как и следовало ожидать, мы обнаруживаем, что результирующая сила (двунаправленная стрелка) действует вниз по склону, что заставляет частицу ускоряться в этом направлении.

Доказательство Бернулли для перпендикулярных векторов

Мы моделируем силы как евклидовы векторы или члены ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. Наше первое предположение состоит в том, что равнодействующая двух сил на самом деле является другой силой, так что для любых двух сил ${ Displaystyle mathbf {F}, mathbf {G} in mathbb {R} ^ {2}}$ есть другая сила ${ Displaystyle mathbf {F} oplus mathbf {G} in mathbb {R} ^ {2}}$. Наше последнее предположение состоит в том, что равнодействующая двух сил не меняется при вращении. Если ${ Displaystyle R: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R} ^ {2}}$ - любое вращение (любое ортогональное отображение для обычной структуры векторного пространства ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ с ${ Displaystyle Det R = 1}$), то для всех сил ${ Displaystyle mathbf {F}, mathbf {G} in mathbb {R} ^ {2}}$

$${ Displaystyle R влево ( mathbf {F} oplus mathbf {G} right) = R left ( mathbf {F} right) oplus R left ( mathbf {G} right)}$$

Рассмотрим две перпендикулярные силы ${ displaystyle mathbf {F} _ {1}}$ длины ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle mathbf {F} _ {2}}$ длины ${ displaystyle b}$, с ${ displaystyle x}$ будучи длиной ${ Displaystyle mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2}}$.Позволять ${ displaystyle mathbf {G} _ {1}: = { tfrac {a ^ {2}} {x ^ {2}}} left ( mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F } _ {2} right)}$ и ${ displaystyle mathbf {G} _ {2}: = { tfrac {a} {x}} R ( mathbf {F} _ {2})}$, куда ${ displaystyle R}$ это вращение между ${ displaystyle mathbf {F} _ {1}}$ и ${ Displaystyle mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2}}$, так ${ displaystyle mathbf {G_ {1}} = { tfrac {a} {x}} R left ( mathbf {F} _ {1} right)}$. При инвариантности вращения получаем

$${ displaystyle mathbf {F} _ {1} = { frac {x} {a}} R ^ {- 1} left ( mathbf {G} _ {1} right) = { frac {a } {x}} R ^ {- 1} left ( mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2} right) = { frac {a} {x}} R ^ {-1} left ( mathbf {F} _ {1} right) oplus { frac {a} {x}} R ^ {- 1} left ( mathbf {F} _ {2} справа) = mathbf {G} _ {1} oplus mathbf {G} _ {2}}$$

Аналогичным образом рассмотрим еще две силы ${ displaystyle mathbf {H} _ {1}: = - mathbf {G} _ {2}}$ и ${ displaystyle mathbf {H} _ {2}: = { tfrac {b ^ {2}} {x ^ {2}}} left ( mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F } _ {2} right)}$. Позволять ${ displaystyle T}$ быть вращением от ${ displaystyle mathbf {F} _ {1}}$ к ${ displaystyle mathbf {H} _ {1}}$: ${ displaystyle mathbf {H} _ {1} = { tfrac {b} {x}} T left ( mathbf {F} _ {1} right)}$, что при осмотре делает ${ displaystyle mathbf {H} _ {2} = { tfrac {b} {x}} T left ( mathbf {F} _ {2} right)}$.

$${ displaystyle mathbf {F} _ {2} = { frac {x} {b}} T ^ {- 1} left ( mathbf {H} _ {2} right) = { frac {b } {x}} T ^ {- 1} left ( mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2} right) = { frac {b} {x}} T ^ {-1} left ( mathbf {F} _ {1} right) oplus { frac {b} {x}} T ^ {- 1} left ( mathbf {F} _ {2} справа) = mathbf {H} _ {1} oplus mathbf {H_ {2}}}$$

Применяя эти два уравнения

$${ Displaystyle mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2} = left ( mathbf {G} _ {1} oplus mathbf {G} _ {2} right) oplus left ( mathbf {H} _ {1} oplus mathbf {H_ {2}} right) = left ( mathbf {G} _ {1} oplus mathbf {G} _ {2 } right) oplus left (- mathbf {G} _ {2} oplus mathbf {H} _ {2} right) = mathbf {G} _ {1} oplus mathbf {H} _ {2}}$$

С ${ displaystyle mathbf {G} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {H} _ {2}}$ оба лежат вместе ${ Displaystyle mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2}}$, их длины равны ${ displaystyle x = left | mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2} right | = left | mathbf {G} _ {1} oplus mathbf {H } _ {2} right | = { tfrac {a ^ {2}} {x}} + { tfrac {b ^ {2}} {x}}}$

$${ displaystyle x = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$$

откуда следует, что ${ displaystyle mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2} = a mathbf {e} _ {1} oplus b mathbf {e} _ {2}}$ имеет длину ${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$, которая является длиной ${ displaystyle a mathbf {e} _ {1} + b mathbf {e} _ {2}}$. Таким образом, для случая, когда ${ displaystyle mathbf {F} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {F} _ {2}}$ перпендикулярны, ${ Displaystyle mathbf {F} _ {1} oplus mathbf {F} _ {2} = mathbf {F} _ {1} + mathbf {F} _ {2}}$. Однако при объединении наших двух наборов вспомогательных сил мы использовали ассоциативность ${ displaystyle oplus}$. Используя это дополнительное предположение, ниже мы сформируем дополнительное доказательство.^[3][4]

Алгебраическое доказательство параллелограмма силы

Мы моделируем силы как евклидовы векторы или члены ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. Наше первое предположение состоит в том, что равнодействующая двух сил на самом деле является другой силой, так что для любых двух сил ${ Displaystyle mathbf {F}, mathbf {G} in mathbb {R} ^ {2}}$ есть другая сила ${ Displaystyle mathbf {F} oplus mathbf {G} in mathbb {R} ^ {2}}$. Мы предполагаем коммутативность, так как эти силы применяются одновременно, поэтому порядок не имеет значения. ${ Displaystyle mathbf {F} oplus mathbf {G} = mathbf {G} oplus mathbf {F}}$.

Рассмотрим карту

$${ displaystyle (a, b) = a mathbf {e} _ {1} + b mathbf {e} _ {2} mapsto a mathbf {e} _ {1} oplus b mathbf {e} _ {2}}$$

Если ${ displaystyle oplus}$ ассоциативно, то это отображение будет линейным. Поскольку он также отправляет ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}}$ к ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {e} _ {2}}$ к ${ displaystyle mathbf {e} _ {2}}$, это также должна быть карта идентичности. Таким образом ${ displaystyle oplus}$ должен быть эквивалентен нормальному оператору сложения векторов.^[3][5]

Полемика

Математическое доказательство параллелограмма силы не принято считать математически достоверным. Были разработаны различные доказательства (в основном Duchayla's и Пуассона ), что тоже вызвало возражения. То, что параллелограмм силы был правдой, не подвергалось сомнению, но Почему это было правдой. Сегодня параллелограмм силы принят как эмпирический факт, не сводимый к первым принципам Ньютона.^{[3] [6]}

Смотрите также

• Ньютона Математические основы естественной философии, Аксиомы или законы движения, следствие I, в Wikisource
• Вектор (геометрический)
• Равнодействующая сила

Рекомендации