Формулы Ньютона – Котеса - Newton–Cotes formulas

Формула Ньютона – Котеса дляп = 2

В числовой анализ, то Формулы Ньютона – Котеса, также называемый Квадратурные правила Ньютона – Котеса или просто Правила Ньютона – Котеса, представляют собой группу формул для численное интегрирование (также называемый квадратура) на основе вычисления подынтегрального выражения в равноотстоящих точках. Они названы в честь Исаак Ньютон и Роджер Котс.

Формулы Ньютона – Котеса могут быть полезны, если задано значение подынтегральной функции в точках, расположенных на одинаковом расстоянии. Если возможно изменить точки, в которых вычисляется подынтегральное выражение, тогда другие методы, такие как Квадратура Гаусса и Квадратура Кленшоу – Кертиса наверное больше подходят.

Описание

Предполагается, что значение функции ж определено на [а, б] известен в равноотстоящих точках Икс_я, за я = 0, ..., п, куда Икс₀ = а и Икс_п = б. Существует два типа формул Ньютона – Котеса: «закрытый» тип, который использует значение функции во всех точках, и «открытый» тип, который не использует значения функции в конечных точках. Замкнутая формула степени Ньютона – Котеса п заявлено как

${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} е (х) , dx приблизительно сумма _ {я = 0} ^ {n} w_ {i} , f (x_ {i})}$

куда Икс_я = час я + Икс₀, с час (называется размер шага) равно (Икс_п − Икс₀) / п = (б − а) / п. В ш_я называются веса.

Как видно из следующего вывода, веса выводятся из Базисные многочлены Лагранжа. Они зависят только от Икс_я а не на функции ж. Позволять L(Икс) - интерполяционный полином в форме Лагранжа для заданных точек данных (Икс₀, ж(Икс₀) ), …, (Икс_п, ж(Икс_п) ), тогда

${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} е (х) , dx приблизительно int _ {a} ^ {b} L (x) , dx = int _ {a} ^ {b} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) , l_ {i} (x) right) , dx = sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) underbrace { int _ {a} ^ {b} l_ {i} (x) , dx} _ {w_ {i}}.}$

Открытая формула степени Ньютона – Котеса п заявлено как

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx приблизительно sum _ {i = 1} ^ {n-1} w_ {i} , f (x_ {i}). }$

Веса находятся аналогично закрытой формуле.

Нестабильность высокой степени

Формула Ньютона – Котеса любой степени п могут быть построены. Однако для больших п правило Ньютона – Котеса может иногда страдать от катастрофических Феномен Рунге где ошибка экспоненциально растет при больших п. Такие методы, как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу – Кертиса с неравномерно расположенными точками (сгруппированы в конечные точки интервала интегрирования) стабильны и гораздо более точны и обычно предпочтительнее, чем Ньютона – Котеса. Если эти методы нельзя использовать, потому что подынтегральное выражение задается только на фиксированной равнораспределенной сетке, тогда явления Рунге можно избежать, используя составное правило, как объясняется ниже.

В качестве альтернативы, стабильные формулы Ньютона – Котеса могут быть построены с использованием приближения наименьших квадратов вместо интерполяции. Это позволяет строить численно устойчивые формулы даже для высоких степеней.^[1][2]

Замкнутые формулы Ньютона – Котеса

В этой таблице перечислены некоторые формулы Ньютона – Котеса закрытого типа. За ${ Displaystyle 0 Leq я Leq п,}$ с п степень, пусть ${ displaystyle x_ {i} = a + i { tfrac {b-a} {n}} = a + ih,}$ и обозначение ${ displaystyle f_ {i}}$ быть сокращением для ${ displaystyle f (x_ {i})}$.

Замкнутые формулы Ньютона – Котеса

Степень п	Размер шага час	Распространенное имя	Формула	Срок ошибки
1	${ displaystyle b-a}$	Правило трапеции	${ displaystyle { frac {h} {2}} (f_ {0} + f_ {1})}$	${ displaystyle - { frac {1} {12}} h ^ {3} f ^ {(2)} ( xi)}$
2	${ displaystyle { frac {b-a} {2}}}$	Правило Симпсона	${ displaystyle { frac {h} {3}} (f_ {0} + 4f_ {1} + f_ {2})}$	${ displaystyle - { frac {1} {90}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$
3	${ displaystyle { frac {b-a} {3}}}$	Правило Симпсона 3/8	${ displaystyle { frac {3h} {8}} (f_ {0} + 3f_ {1} + 3f_ {2} + f_ {3})}$	${ displaystyle - { frac {3} {80}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$
4	${ displaystyle { frac {b-a} {4}}}$	Правило Буля	${ displaystyle { frac {2h} {45}} (7f_ {0} + 32f_ {1} + 12f_ {2} + 32f_ {3} + 7f_ {4})}$	${ displaystyle - { frac {8} {945}} h ^ {7} f ^ {(6)} ( xi)}$

Правило Буля иногда ошибочно называют правилом Боде из-за распространения типографской ошибки в Абрамовиц и Стегун, ранний справочник.^[3]

Показатель размера сегмента б − а в члене ошибки показывает скорость, с которой уменьшается ошибка аппроксимации. Степень производной от ж в члене ошибки дает степень, до которой многочлены могут быть интегрированы точно (то есть с ошибкой, равной нулю) с этим правилом. Обратите внимание, что производная от ж в члене ошибки увеличивается на 2 для каждого другого правила. Номер ${ Displaystyle xi}$ должен быть взят из интервала (а, б).

Открытые формулы Ньютона – Котеса

В этой таблице перечислены некоторые формулы Ньютона – Котеса открытого типа. Опять таки, ${ displaystyle f_ {i}}$ это сокращение для ${ displaystyle f left (x_ {i} right)}$, с ${ displaystyle x_ {i} = a + i left ({ frac {b-a} {n}} right)}$, и п степень.

Открытые формулы Ньютона – Котеса

Степень п	Размер шага час	Распространенное имя	Формула	Срок ошибки
2	${ displaystyle { frac {b-a} {2}}}$	Правило прямоугольника, или же правило средней точки	${ displaystyle 2hf_ {1} ,}$	${ displaystyle { frac {1} {3}} h ^ {3} f ^ {(2)} ( xi)}$
3	${ displaystyle { frac {b-a} {3}}}$	Трапециевидный метод	${ displaystyle { frac {3} {2}} h (f_ {1} + f_ {2})}$	${ displaystyle { frac {1} {4}} h ^ {3} f ^ {(2)} ( xi)}$
4	${ displaystyle { frac {b-a} {4}}}$	Правило Милна	${ displaystyle { frac {4} {3}} h (2f_ {1} -f_ {2} + 2f_ {3})}$	${ displaystyle { frac {28} {90}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$
5	${ displaystyle { frac {b-a} {5}}}$		${ displaystyle { frac {5} {24}} h (11f_ {1} + f_ {2} + f_ {3} + 11f_ {4})}$	${ displaystyle { frac {95} {144}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$

Составные правила

Чтобы правила Ньютона – Котеса были точными, размер шага час должен быть небольшим, что означает, что интервал интегрирования ${ Displaystyle [а, б]}$ сам должен быть маленьким, что в большинстве случаев неверно. По этой причине численное интегрирование обычно выполняется путем разделения ${ Displaystyle [а, б]}$ на более мелкие подинтервалы, применяя правило Ньютона – Котеса на каждом подынтервале и суммируя результаты. Это называется составное правило. Видеть Численное интегрирование.

Смотрите также

• Квадратура (математика)
• Интерполяция
• Сплайн-интерполяция

Рекомендации

• М. Абрамовиц и И. А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Довер, 1972. (См. Раздел 25.4.)
• Джордж Э. Форсайт, Майкл А. Малкольм и Клив Б. Молер. Компьютерные методы математических вычислений. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1977. (См. Раздел 5.1.)
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 4.1. Классические формулы для равноотстоящих абсцисс», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8
• Йозеф Стоер и Роланд Булирш. Введение в численный анализ. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1980. (См. Раздел 3.1.)

внешняя ссылка

• «Квадратурная формула Ньютона – Котеса», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Формулы Ньютона – Котеса на www.math-linux.com
• Вайсштейн, Эрик В. «Формулы Ньютона – Котеса». MathWorld.
• Интеграция Ньютона – Котеса, numericmat Mathematics.com