Уравнение Шредингера – Ньютона. - Schrödinger–Newton equation

В Уравнение Шредингера – Ньютона., иногда называемый Ньютон – Шредингер или же Уравнение Шредингера – Пуассона, является нелинейной модификацией Уравнение Шредингера с Ньютоновский гравитационный потенциал, где гравитационный потенциал возникает в результате обработки волновая функция как плотность массы, включая член, который представляет взаимодействие частицы с ее собственным гравитационным полем. Включение члена самовзаимодействия представляет собой фундаментальное изменение квантовой механики.^[1] Его можно записать либо как одно интегро-дифференциальное уравнение, либо как связанную систему уравнения Шредингера и уравнения Пуассона. В последнем случае он также упоминается во множественном числе.

Уравнение Шредингера – Ньютона впервые было рассмотрено Руффини и Бонаццолой.^[2] в связи с самогравитацией бозонные звезды. В этом контексте классической общая теория относительности он выглядит как нерелятивистский предел либо Уравнение Клейна – Гордона или Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени вместе с Уравнения поля Эйнштейна.^[3]Уравнение также описывает нечеткая темная материя, и приближается к классическому холодная темная материя описанный Уравнение Власова – Пуассона. в пределе большой массы частицы.^[4]

Позже это было предложено в качестве модели для объяснения коллапс квантовой волновой функции по Лайошу Диоши^[5] и Роджер Пенроуз,^[6][7][8] от кого происходит название «уравнение Шредингера – Ньютона». В этом контексте материя обладает квантовыми свойствами, а гравитация остается классической даже на фундаментальном уровне. Поэтому уравнение Шредингера – Ньютона было предложено как способ проверки необходимости квантовая гравитация.^[9]

В третьем контексте уравнение Шредингера – Ньютона появляется как приближение Хартри для взаимного гравитационного взаимодействия в системе большого числа частиц. В этом контексте соответствующее уравнение для электромагнитного Кулон взаимодействие было предложено Филиппом Шокаром на симпозиуме по кулоновским системам в Лозанне в 1976 году для описания однокомпонентной плазмы. Эллиотт Х. Либ предоставил доказательство существования и единственности стационарного основного состояния и назвал уравнение Уравнение Шокара.^[10]

Обзор

В качестве связанной системы уравнения Шредингера – Ньютона представляют собой обычное уравнение Шредингера с самодействием гравитационный потенциал

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { partial Psi} { partial t}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} Psi + V Psi + m Phi Psi ,,}$

где V - обычный потенциал, а гравитационный потенциал ${ displaystyle Phi}$, представляющий взаимодействие частицы с собственным гравитационным полем, удовлетворяет уравнению Пуассона

${ Displaystyle nabla ^ {2} Phi = 4 pi Gm | Psi | ^ {2} ,.}$

Из-за обратной связи волновой функции с потенциалом это нелинейная система.

Интегродифференциальная форма уравнения имеет вид

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { partial Psi} { partial t}} = left [- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2 } + V-Gm ^ {2} int { frac {| Psi (t, mathbf {y}) | ^ {2}} {| mathbf {x} - mathbf {y} |}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {y} right] Psi ,.}$

Он получается из указанной выше системы уравнений интегрированием уравнения Пуассона в предположении, что потенциал должен обращаться в нуль на бесконечности.

Математически уравнение Шредингера – Ньютона является частным случаем Уравнение Хартри для n = 2. Уравнение сохраняет большинство свойств линейного уравнения Шредингера. В частности, он инвариантен относительно постоянных фазовых сдвигов, что приводит к сохранению вероятности, и демонстрирует полную Галилеевская инвариантность. Помимо этих симметрий, одновременное преобразование

${ displaystyle m to mu m, ; t to mu ^ {- 5} t, ; ; mathbf {x} to mu ^ {- 3} mathbf {x}, ; ; psi (t, mathbf {x}) to mu ^ {9/2} psi ( mu ^ {5} t, mu ^ {3} mathbf {x})}$

отображает решения уравнения Шредингера – Ньютона в решения.^[11][12]Стационарное уравнение, которое может быть получено обычным способом с помощью разделения переменных, обладает бесконечным семейством нормируемых решений, из которых устойчиво только стационарное основное состояние.^[13][14][15]

Отношение к полуклассической и квантовой гравитации

Уравнение Шредингера – Ньютона может быть получено в предположении, что гравитация остается классической даже на фундаментальном уровне, и что правильный способ связать квантовую материю с гравитацией - это полуклассические уравнения Эйнштейна. В этом случае к уравнению Шредингера добавляется член ньютоновского гравитационного потенциала, где источником этого гравитационного потенциала является математическое ожидание оператора плотности массы. В этом отношении, если гравитация в основе своей является классической, уравнение Шредингера – Ньютона является фундаментальным одночастичным уравнением, которое может быть обобщено на случай многих частиц (см. ниже).

Если, с другой стороны, гравитационное поле квантовано, основное уравнение Шредингера остается линейным. Уравнение Шредингера-Ньютона тогда справедливо только как приближение для гравитационного взаимодействия в системах из большого числа частиц и не влияет на центр масс.^[16]

Уравнение многих тел и движение центра масс

Если уравнение Шредингера – Ньютона рассматривать как фундаментальное уравнение, существует соответствующее уравнение из N тел, которое уже было дано Диоши,^[5] и может быть получено из полуклассической гравитации таким же образом, как и одночастичное уравнение:

${ displaystyle { begin {align} mathrm {i} hbar { frac { partial Psi (t, mathbf {x_ {1}}, dots, mathbf {x_ {N}})} { partial t}} = { Bigg (} & - sum _ {i = 1} ^ {N} { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {i}}} nabla _ {i} ^ {2} + sum _ {i not = j} V_ {ij} (| mathbf {x_ {i}} - mathbf {x_ {j}} |) & - G sum _ {i, j = 1} ^ {N} m_ {i} m_ {j} int mathrm {d} ^ {3} mathbf {y_ {1}} cdots mathrm {d} ^ {3} mathbf {y_ {N}} , { frac {| Psi (t, mathbf {y_ {1}}, dots, mathbf {y_ {N}}) | ^ {2}} {| mathbf {x_ { i}} - mathbf {y_ {j}} |}} { Bigg)} Psi (t, mathbf {x_ {1}}, dots, mathbf {x_ {N}}) ,. конец {выровнен}}}$

Потенциал ${ displaystyle V_ {ij}}$ содержит все взаимные линейные взаимодействия, например электродинамических кулоновских взаимодействий, в то время как член гравитационного потенциала основан на предположении, что все частицы воспринимают один и тот же гравитационный потенциал, генерируемый всеми маржинальные распределения для всех частиц вместе.

В Борн-Оппенгеймер -подобное приближение, это N-частичное уравнение может быть разделено на два уравнения, одно описывает относительное движение, а другое обеспечивает динамику волновой функции центра масс. Для относительного движения гравитационное взаимодействие не играет роли, поскольку оно обычно слабое по сравнению с другими взаимодействиями, представленными ${ displaystyle V_ {ij}}$. Но он оказывает значительное влияние на движение центра масс. Пока ${ displaystyle V_ {ij}}$ зависит только от относительных координат и, следовательно, не вносит никакого вклада в динамику центра масс, нелинейное взаимодействие Шредингера-Ньютона вносит свой вклад. В вышеупомянутом приближении волновая функция центра масс удовлетворяет следующему нелинейному уравнению Шредингера:

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { partial psi _ {c} (t, mathbf {R})} { partial t}} = { Bigg (} { frac { hbar ^ {2}} {2M}} nabla ^ {2} -G int mathrm {d} ^ {3} mathbf {R '} , int mathrm {d} ^ {3} mathbf { y} , int mathrm {d} ^ {3} mathbf {z} , { frac {| psi _ {c} (t, mathbf {R '}) | ^ {2} , rho _ {c} ( mathbf {y}) rho _ {c} ( mathbf {z})} {| mathbf {R} - mathbf {R '} - mathbf {y} + mathbf {z} |}} { Bigg)} psi _ {c} (t, mathbf {R}) ,}$

где M - полная масса, р относительная координата, ${ displaystyle psi _ {c}}$ волновая функция центра масс, и ${ displaystyle rho _ {c}}$ - это массовая плотность системы многих тел (например, молекулы или горной породы) относительно ее центра масс.^[17]

В предельном случае широкой волновой функции, т.е. когда ширина распределения центра масс велика по сравнению с размером рассматриваемого объекта, движение центра масс хорошо аппроксимируется уравнением Шредингера – Ньютона для одиночной частицы. Противоположный случай узкой волновой функции может быть аппроксимирован потенциалом гармонического осциллятора, где динамика Шредингера – Ньютона приводит к вращению в фазовом пространстве.^[18]

В контексте, когда уравнение Шредингера – Ньютона появляется как приближение Хартри, ситуация иная. В этом случае полная N-частичная волновая функция рассматривается как состояние продукта N одночастичных волновых функций, где каждый из этих факторов подчиняется уравнению Шредингера – Ньютона. Однако динамика центра масс на этой картинке остается строго линейной. В целом это верно: нелинейные уравнения Хартри никогда не влияют на центр масс.

Значение эффектов

Грубую оценку по порядку величины режима, в котором становятся актуальными эффекты уравнения Шредингера – Ньютона, можно получить с помощью довольно простых рассуждений.^[9] Для сферически-симметричной Гауссовский,

${ Displaystyle Psi (T = 0, r) = ( pi sigma ^ {2}) ^ {- 3/4} exp left (- { frac {r ^ {2}} {2 sigma) ^ {2}}} right) ,,}$

свободное линейное уравнение Шредингера имеет решение

${ Displaystyle Psi (t, r) = ( pi sigma ^ {2}) ^ {- 3/4} left (1 + { frac { mathrm {i} hbar t} {m sigma ^ {2}}} right) ^ {- 3/2} exp left (- { frac {r ^ {2}} {2 sigma ^ {2} left (1 + { frac { mathrm {i} hbar t} {m sigma ^ {2}}} right)}} right) ,.}$

Пик радиальной плотности вероятности ${ displaystyle 4 pi r ^ {2} | Psi | ^ {2}}$ можно найти на

${ displaystyle r_ {p} = sigma { sqrt {1 + { frac { hbar ^ {2} t ^ {2}} {m ^ {2} sigma ^ {4}}}}} , .}$

Теперь устанавливаем ускорение

${ displaystyle { ddot {r}} _ {p} = { frac { hbar ^ {2}} {m ^ {2} r_ {p} ^ {3}}}}$

вероятности этого пика, равного ускорению силы тяжести Ньютона,

${ displaystyle { ddot {r}} = - { frac {Gm} {r ^ {2}}} ,,}$

используя это ${ displaystyle r_ {p} = sigma}$ вовремя ${ displaystyle t = 0}$. Это дает соотношение

${ displaystyle m ^ {3} sigma = { frac { hbar ^ {2}} {G}} примерно 1,7 times 10 ^ {- 58} mathrm {m , kg ^ {3}} ,,}$

что позволяет нам определить критическую ширину для данного значения массы и наоборот. Мы также признаем упомянутый выше закон масштабирования. Численное моделирование^[12][1] показывают, что это уравнение дает довольно хорошую оценку режима, в котором эффекты уравнения Шредингера – Ньютона становятся существенными.

Для атома критическая ширина составляет около 10²² метров, а уже до 10⁻³¹ метров на массу в один микрограмм. Режим, при котором масса около 10¹⁰ атомные единицы массы в то время как ширина порядка микрометров, как ожидается, позволит экспериментально проверить уравнение Шредингера – Ньютона в будущем. Возможный кандидат интерферометрия эксперименты с тяжелыми молекулами, которые в настоящее время достигают массы до 10 000 атомных единиц массы.

Коллапс квантовой волновой функции

Идея о том, что гравитация вызывает (или каким-то образом влияет) коллапс волновой функции восходит к 1960-м годам и первоначально был предложен Каройхази.^[19]Уравнение Шредингера – Ньютона было предложено в этом контексте Диози.^[5] Здесь уравнение дает оценку «разграничительной линии» между микроскопическими (квантовыми) и макроскопическими (классическими) объектами. Стационарное основное состояние имеет ширину

${ displaystyle a_ {0} приблизительно { frac { hbar ^ {2}} {Gm ^ {3}}} ,.}$

Для хорошо локализованной однородной сферы, то есть сферы с волновой функцией центра масс, которая является узкой по сравнению с радиусом сферы, Диоши находит в качестве оценки ширины центра масс в основном состоянии волновая функция

${ displaystyle a_ {0} ^ {(R)} приблизительно a_ {0} ^ {1/4} R ^ {3/4} ,.}$

Если принять обычную плотность около 1000 кг / м³, можно рассчитать критический радиус, для которого ${ displaystyle a_ {0} ^ {(R)} приблизительно R}$. Этот критический радиус составляет около одной десятой микрометра.

Роджер Пенроуз предположил, что уравнение Шредингера – Ньютона математически описывает базисные состояния, участвующие в гравитационно-индуцированном коллапс волновой функции схема.^[6][7][8] Пенроуз предполагает, что суперпозиция двух или более квантовых состояний, которые имеют значительное смещение массы, должна быть нестабильной и переходить в одно из состояний за конечное время. Он выдвигает гипотезу о том, что существует «предпочтительный» набор состояний, который больше не может коллапсировать, в частности, стационарные состояния уравнения Шредингера – Ньютона. Таким образом, макроскопическая система никогда не может находиться в пространственной суперпозиции, поскольку нелинейное гравитационное самодействие немедленно приводит к коллапсу в стационарное состояние уравнения Шредингера – Ньютона. Согласно идее Пенроуза, когда измеряется квантовая частица, происходит взаимодействие этого нелинейного коллапса и окружающей среды. декогеренция. Гравитационное взаимодействие приводит к приведению окружающей среды к одному отчетливому состоянию, а декогеренция приводит к локализации частицы, например как точка на экране.

Проблемы и открытые вопросы

При такой интерпретации уравнения Шредингера – Ньютона как причины коллапса волновой функции возникают три основные проблемы. Во-первых, численные исследования^[12][15][1] согласованно обнаруживаем, что, когда волновой пакет «схлопывается» до стационарного решения, небольшая его часть, кажется, уносится в бесконечность. Это означало бы, что даже полностью разрушенную квантовую систему все еще можно найти в отдаленном месте. Поскольку решения линейного уравнения Шредингера стремятся к бесконечности еще быстрее, это указывает только на то, что одного уравнения Шредингера – Ньютона недостаточно для объяснения коллапса волновой функции. Если принять во внимание среду, этот эффект может исчезнуть и, следовательно, отсутствовать в сценарии, описанном Пенроузом.

Вторая проблема, также возникающая в предложении Пенроуза, заключается в происхождении Родившееся правило. Чтобы решить проблема измерения, простого объяснения того, почему волновая функция коллапсирует, например, в точку на экране, недостаточно. Хорошая модель процесса коллапса также должна объяснять, почему точка появляется в разных положениях экрана с вероятностями, которые определяются квадратом абсолютного значения волновой функции. Хотя вполне возможно, что модель, основанная на идее Пенроуза, может дать такое объяснение, нет очевидного способа, каким образом правило Борна могло возникнуть из нее естественным образом.

Наконец, поскольку гравитационный потенциал связан с волновой функцией в картине уравнения Шредингера – Ньютона, волновая функция должна интерпретироваться как реальный объект. Поэтому, по крайней мере в принципе, он становится измеримой величиной. Используя нелокальную природу запутанных квантовых систем, это можно было бы использовать для посылки сигналов со скоростью, превышающей скорость света, что обычно считается противоречащим причинно-следственной связи. Однако неясно, может ли эта проблема быть решена путем применения правильного рецепта коллапса, который еще предстоит найти, последовательно ко всей квантовой системе. Кроме того, поскольку гравитация представляет собой такое слабое взаимодействие, неясно, может ли такой эксперимент действительно проводиться с параметрами, заданными в нашей Вселенной (см. Обсуждение^[20] об аналогичном мысленном эксперименте, предложенном Эппли и Ханной^[21]).

Смотрите также

• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Полуклассическая гравитация
• Интерпретация Пенроуза
• Уравнение Пуассона

Рекомендации