Нелинейное уравнение Шредингера - Википедия - Nonlinear Schrödinger equation

Абсолютная величина из сложный конверт точных аналитических передышка решения нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) ​​в безразмерный форма. (A) Передышка Ахмедиева; (B) Сапсан дышащий; (C) бризер Кузнецова – Ма.^[1]

В теоретическая физика, (одномерный) нелинейное уравнение Шредингера (NLSE) это нелинейный вариация Уравнение Шредингера. Это классическое уравнение поля чьи основные приложения связаны с распространением света в нелинейных оптических волокнах и планарных волноводах.^[2] и чтобы Конденсаты Бозе – Эйнштейна ограничены сильно анизотропными сигарообразными ловушками в режиме среднего поля.^[3] Кроме того, уравнение появляется при исследованиях малоамплитудных гравитационные волны на поверхности глубокой невязкой (нулевой вязкости) воды;^[2] в Волны Ленгмюра в горячей плазме;^[2] распространение плоско дифрагированных волновых пучков в фокусирующих областях ионосферы;^[4] распространение Альфа-спиральные солитоны Давыдова, которые отвечают за перенос энергии по молекулярным цепочкам;^[5] и много других. В более общем смысле, NLSE появляется как одно из универсальных уравнений, описывающих эволюцию медленно меняющихся пакетов квазимонохроматических волн в слабонелинейных средах, которые имеют разброс.^[2] В отличие от линейного Уравнение Шредингера, NLSE никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния. 1D NLSE является примером интегрируемая модель.

В квантовая механика, 1D NLSE является частным случаем классической нелинейной Поле Шредингера, что, в свою очередь, является классическим пределом квантового поля Шредингера. И наоборот, когда классическое поле Шредингера канонически квантованный, она становится квантовой теорией поля (которая является линейной, несмотря на то, что называется ″ квантовой нелинейный Уравнение Шредингера ″), которое описывает бозонные точечные частицы с дельта-функциональными взаимодействиями - частицы либо отталкиваются, либо притягиваются, когда находятся в одной точке. Фактически, когда число частиц конечно, эта квантовая теория поля эквивалентна теории Модель Либа – Линигера. Как квантовые, так и классические одномерные нелинейные уравнения Шредингера интегрируемы. Особый интерес представляет предел бесконечной силы отталкивания, в котором модель Либа – Линигера становится Газ Тонкс – Жирардо (также называемый жестким бозе-газом или непроницаемым бозе-газом). В этом пределе бозоны могут, заменой переменных, что является континуальным обобщением Преобразование Джордана – Вигнера, преобразуются в систему одномерных невзаимодействующих бесспиновых^{[nb 1]} фермионы.^[6]

Нелинейное уравнение Шредингера представляет собой упрощенную 1 + 1-мерную форму Уравнение Гинзбурга – Ландау введены в 1950 году в их работе по сверхпроводимости и были подробно описаны Р. Я. Чао, Э. Гармиром и К. Х. Таунсом (1964, уравнение (5)) при исследовании оптических пучков.

Многомерная версия заменяет вторую пространственную производную лапласианом. Более чем в одном измерении уравнение не интегрируется, оно допускает коллапс и волновую турбулентность.^[7]

Уравнение

Нелинейное уравнение Шредингера представляет собой нелинейное уравнение в частных производных, применимый к классический и квантовая механика.

Классическое уравнение

Классическое уравнение поля (в безразмерный форма) это:^[8]

для сложный поле ψ(Икс,т).

Это уравнение возникает из Гамильтониан^[8]

${ displaystyle H = int mathrm {d} x left [{1 over 2} | partial _ {x} psi | ^ {2} + { kappa over 2} | psi | ^ { 4} right]}$

с Скобки Пуассона

${ Displaystyle { psi (x), psi (y) } = { psi ^ {*} (x), psi ^ {*} (y) } = 0 ,}$

${ Displaystyle { psi ^ {*} (х), psi (y) } = я дельта (x-y). ,}$

В отличие от своего линейного аналога, он никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния.

Случай с отрицательным κ называется фокусирующим и допускает яркий солитон решения (локализованные в пространстве и имеющие пространственное затухание в сторону бесконечности), а также передышка решения. Это можно решить именно с помощью обратное преобразование рассеяния, как показано Захаров и Шабат (1972) (видеть ниже ). Другой случай, с положительным κ, - это дефокусирующая NLS, которая имеет темный солитон решения (с постоянной амплитудой на бесконечности и локальным пространственным провалом амплитуды).^[9]

Квантовая механика

Чтобы получить квантованная версия, просто заменим скобки Пуассона коммутаторами

${ Displaystyle { begin {align} {} [ psi (x), psi (y)] & = [ psi ^ {*} (x), psi ^ {*} (y)] = 0 {} [ psi ^ {*} (x), psi (y)] & = - delta (xy) end {align}}}$

и нормальный порядок гамильтониан

${ displaystyle H = int dx left [{1 over 2} partial _ {x} psi ^ { dagger} partial _ {x} psi + { kappa over 2} psi ^ { dagger} psi ^ { dagger} psi psi right].}$

Квантовая версия была решена Бете анзац к Либ и Линигер. Термодинамика была описана Чен-Нин Ян. Квантовые корреляционные функции также были оценены Корепиным в 1993 г.^[6] Модель имеет высшие законы сохранения - Дэвис и Корепин в 1989 г. выразили их через локальные поля.^[10]

Решение уравнения

Нелинейное уравнение Шредингера интегрируемо в 1d: Захаров и Шабат (1972 ) решил это с помощью обратное преобразование рассеяния. Соответствующая линейная система уравнений известна как Система Захарова – Шабата:

${ displaystyle { begin {align} phi _ {x} & = J phi Lambda + U phi phi _ {t} & = 2J phi Lambda ^ {2} + 2U phi Лямбда + (JU ^ {2} -JU_ {x}) phi, end {выровнено}}}$

куда

${ displaystyle Lambda = { begin {pmatrix} lambda _ {1} & 0 0 & lambda _ {2} end {pmatrix}}, quad J = i sigma _ {z} = { begin {pmatrix} i & 0 0 & -i end {pmatrix}}, quad U = i { begin {pmatrix} 0 & q r & 0 end {pmatrix}}.}$

Нелинейное уравнение Шредингера возникает как условие совместности системы Захарова – Шабата:

${ displaystyle phi _ {xt} = phi _ {tx} quad Rightarrow quad U_ {t} = - JU_ {xx} + 2JU ^ {2} U quad Leftrightarrow quad { begin {случаях } iq_ {t} = q_ {xx} + 2qrq ir_ {t} = - r_ {xx} -2qrr. end {cases}} ,}$

Установив q = р* или же q = − р* получено нелинейное уравнение Шредингера с притягивающим или отталкивающим взаимодействием.

Альтернативный подход напрямую использует систему Захарова – Шабата и использует следующие Преобразование Дарбу:

${ Displaystyle { begin {align} & phi to phi [1] = phi Lambda - sigma phi & U to U [1] = U + [J, sigma] & sigma = varphi Omega varphi ^ {- 1} end {выровнено}}}$

что оставляет систему инвариантной.

Здесь, φ - другое обратимое матричное решение (отличное от ϕ) системы Захарова – Шабата со спектральным параметром Ω:

${ displaystyle { begin {align} varphi _ {x} & = J varphi Omega + U varphi varphi _ {t} & = 2J varphi Omega ^ {2} + 2U varphi Омега + (JU ^ {2} -JU_ {x}) varphi. End {выравнивается}}}$

Начиная с тривиального решения U = 0 и повторяя, получаем решения с п солитоны.

Уравнение NLS - это уравнение в частных производных, подобное уравнению Уравнение Гросса – Питаевского. Обычно он не имеет аналитического решения и тех же численных методов, которые используются для решения уравнения Гросса – Питаевского, таких как расщепленный шаг. Крэнк – Николсон^[11] и Фурье спектральный^[12] методы, используются для ее решения. Существуют разные программы на Fortran и C для его решение^[13][14].

Галилеевская инвариантность

Нелинейное уравнение Шредингера имеет вид Галилеев инвариант в следующем смысле:

Учитывая решение ψ(х, т) новое решение можно получить, заменив Икс с Икс + vt всюду в ψ (х, т) и добавлением фазового фактора ${ displaystyle e ^ {- iv (x + vt / 2)} ,}$:

${ Displaystyle psi (x, t) mapsto psi _ {[v]} (x, t) = psi (x + vt, t) ; e ^ {- iv (x + vt / 2)} .}$

Нелинейное уравнение Шредингера в волоконной оптике

В оптика, нелинейное уравнение Шредингера входит в Система Манакова, модель распространения волн в волоконной оптике. Функция ψ представляет собой волну, а нелинейное уравнение Шредингера описывает распространение волны через нелинейную среду. Производная второго порядка представляет собой дисперсию, в то время как κ член представляет собой нелинейность. Уравнение моделирует многие эффекты нелинейности в волокне, включая, помимо прочего, фазовая самомодуляция, четырехволновое смешение, генерация второй гармоники, вынужденное комбинационное рассеяние, оптические солитоны,ультракороткие импульсы, так далее.

Нелинейное уравнение Шредингера в волнах на воде

А гиперболический секанс (sech) солитон огибающей для поверхностных волн на глубокой воде.
Синяя линия: волны на воде.
Красная линия: солитон огибающей.

За волны на воде, нелинейное уравнение Шредингера описывает эволюцию конверт из модулированный волновые группы. В статье 1968 г. Захаров Владимир Евгеньевич описывает Гамильтониан структура водных волн. В той же работе Захаров показывает, что для медленно модулированных групп волн волна амплитуда приближенно удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера.^[15] Значение параметра нелинейности к зависит от относительной глубины воды. Для большой глубины воды по сравнению с длина волны волн на воде, к отрицательный и конверт солитоны может возникнуть.

Для мелководья с длиной волны, превышающей глубину более чем в 4,6 раза, параметр нелинейности к положительный и группы волн с конверт солитонов не существует. На мелководье возвышение солитоны или волны перевода существуют, но они не регулируются нелинейным уравнением Шредингера.

Считается, что нелинейное уравнение Шредингера важно для объяснения образования волны-убийцы.^[16]

В сложный поле ψ, как оно появляется в нелинейном уравнении Шредингера, связано с амплитудой и фазой волн на воде. Рассмотрим медленно модулированный несущая волна с водной поверхностью высота η формы:

${ displaystyle eta = a (x_ {0}, t_ {0}) ; cos left [k_ {0} , x_ {0} - omega _ {0} , t_ {0} - тета (x_ {0}, t_ {0}) right],}$

куда а(Икс₀, т₀) и θ(Икс₀, т₀) - медленно модулированная амплитуда и фаза. Дальше ω₀ и k₀ являются (постоянными) угловая частота и волновое число несущих волн, которые должны удовлетворять разброс связь ω₀ = Ω (k₀). потом

${ Displaystyle пси = а ; ехр влево (я тета вправо).}$

Так что это модуль |ψ| амплитуда волны а, и это аргумент аргумент (ψ) - фаза θ.

Связь между физическими координатами (Икс₀, т₀) и (х, т) координаты, используемые в приведенное выше нелинейное уравнение Шредингера, дан кем-то:

${ displaystyle x = k_ {0} left [x_ {0} - Omega '(k_ {0}) ; t_ {0} right], quad t = k_ {0} ^ {2} left [- Omega '' (k_ {0}) right] ; t_ {0}}$

Таким образом (х, т) - преобразованная система координат, движущаяся с групповая скорость Ω '(k₀) несущих волн, Дисперсионное соотношение кривизна Ω "(k₀) - представляющий дисперсия групповой скорости - всегда отрицательно для волн на воде под действием силы тяжести, для любой глубины воды.

Для волн на водной поверхности на глубокой воде коэффициенты важности для нелинейного уравнения Шредингера равны:

${ displaystyle kappa = -2k_ {0} ^ {2}, quad Omega (k_ {0}) = { sqrt {gk_ {0}}} = omega _ {0} , !}$   так   ${ displaystyle Omega '(k_ {0}) = { frac {1} {2}} { frac { omega _ {0}} {k_ {0}}}, quad Omega' '(k_ {0}) = - { frac {1} {4}} { frac { omega _ {0}} {k_ {0} ^ {2}}}, , !}$

куда грамм это ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

В оригинале (Икс₀,т₀) координирует нелинейное уравнение Шредингера для волн на воде:^[17]

${ Displaystyle я , partial _ {t_ {0}} A + I , Omega '(k_ {0}) , partial _ {x_ {0}} A + { tfrac {1} {2} } Omega '' (k_ {0}) , partial _ {x_ {0} x_ {0}} A- nu , | A | ^ {2} , A = 0,}$

с ${ displaystyle A = psi ^ {*}}$ (т.е. комплексно сопряженный из ${ displaystyle psi}$) и ${ displaystyle nu = kappa , k_ {0} ^ {2} , Omega '' (k_ {0}).}$ Так ${ displaystyle nu = { tfrac {1} {2}} omega _ {0} k_ {0} ^ {2}}$ для глубоководных волн.

Эквивалентный аналог

НУШ (1) калибровочно эквивалентно следующей изотропной Уравнение Ландау-Лифшица (LLE) или Ферромагнетик Гейзенберга уравнение

${ displaystyle { vec {S}} _ {t} = { vec {S}} wedge { vec {S}} _ {xx}. qquad}$

Обратите внимание, что это уравнение допускает несколько интегрируемых и неинтегрируемых обобщений в 2 + 1 измерениях, таких как Уравнение Ишимори и так далее.

Отношение к вихрям

Хасимото (1972) показал, что работа да Риос  (1906 ) на вихревых волокнах тесно связано с нелинейным уравнением Шредингера. Впоследствии Салман (2013) использовал это соответствие, чтобы показать, что бризерные решения могут возникать и для вихревой нити.

Смотрите также

• Система АКНС
• Уравнение Экхауза
• Четвертичное взаимодействие для связанной модели в квантовая теория поля
• Солитон (оптика)
• Логарифмическое уравнение Шредингера

Примечания

Рекомендации

Примечания

Другой

внешняя ссылка

• «Нелинейные системы Шредингера». Scholarpedia.
• Учебная лекция по нелинейному уравнению Шредингера (видео).
• Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Шредингера со степенной нелинейностью. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Шредингера общего вида. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Математические аспекты нелинейного уравнения Шредингера в Dispersive Wiki