Модель Ландау – Лифшица - Википедия - Landau–Lifshitz model

В физика твердого тела, то Уравнение Ландау – Лифшица. (LLE), названный в честь Лев Ландау и Евгений Лифшиц, это уравнение в частных производных описывая эволюцию во времени магнетизм в твердых телах, в зависимости от 1 временной переменной и 1, 2 или 3 пространственных переменных.

Уравнение Ландау – Лифшица.

LLE описывает анизотропный магнит. Уравнение описано в (Фаддеев и Тахтаджан 2007, глава 8) следующим образом: Это уравнение для векторное поле S, другими словами, функция на р^1+п принимая ценности в р³. Уравнение зависит от фиксированной симметричной 3 на 3 матрица J, обычно считается диагональ; то есть, ${ displaystyle J = operatorname {diag} (J_ {1}, J_ {2}, J_ {3})}$. Он задается уравнением движения Гамильтона для Гамильтониан

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} int left [ sum _ {i} left ({ frac { partial mathbf {S}} { partial x_ {i}}} right) ^ {2} -J ( mathbf {S}) right] , dx qquad (1)}$

(куда J(S) - квадратичная форма J применительно к вектору S)который

${ displaystyle { frac { partial mathbf {S}} { partial t}} = mathbf {S} wedge sum _ {i} { frac { partial ^ {2} mathbf {S} } { partial x_ {i} ^ {2}}} + mathbf {S} wedge J mathbf {S}. qquad (2)}$

В измерениях 1 + 1 это уравнение имеет вид

${ displaystyle { frac { partial mathbf {S}} { partial t}} = mathbf {S} wedge { frac { partial ^ {2} mathbf {S}} { partial x ^ {2}}} + mathbf {S} wedge J mathbf {S}. Qquad (3)}$

В 2 + 1 измерениях это уравнение принимает вид

${ displaystyle { frac { partial mathbf {S}} { partial t}} = mathbf {S} wedge left ({ frac { partial ^ {2} mathbf {S}} { частичный x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} mathbf {S}} { partial y ^ {2}}} right) + mathbf {S} wedge J mathbf { S} qquad (4)}$

которая является (2 + 1) -мерной LLE. Для (3 + 1) -мерного случая LLE имеет вид

${ displaystyle { frac { partial mathbf {S}} { partial t}} = mathbf {S} wedge left ({ frac { partial ^ {2} mathbf {S}} { частичный x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} mathbf {S}} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} mathbf {S }} { partial z ^ {2}}} right) + mathbf {S} wedge J mathbf {S}. qquad (5)}$

Интегрируемые сокращения

В общем случае LLE (2) не интегрируется. Но он допускает две интегрируемые редукции:

а) в размерности 1 + 1, то есть Ур. (3) интегрируемо

б) когда ${ displaystyle J = 0}$. В этом случае (1 + 1) -мерная ЛУЭ (3) превращается в непрерывное классическое уравнение ферромагнетика Гейзенберга (см., например, Модель Гейзенберга (классическая) ), которая уже интегрируема.

Смотрите также

• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Модель Гейзенберга (классическая)
• Спиновая волна
• Микромагнетизм
• Уравнение Ишимори
• Магнит
• Ферромагнетизм

Рекомендации

• Фаддеев, Людвиг Д .; Тахтаджан, Леон А. (2007), Гамильтоновы методы в теории солитонов, Classics in Mathematics, Berlin: Springer, pp. X + 592, стр. Дои:10.1007/978-3-540-69969-9, ISBN  978-3-540-69843-2, МИСТЕР  2348643
• Го, Болинг; Дин, Шицзинь (2008), Уравнения Ландау-Лифшица., Frontiers of Research with Китайская академия наук, World Scientific Publishing Company, ISBN  978-981-277-875-8
• Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагничивания. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка, 1988. - 192 с.