Ньютоновская динамика - Newtonian dynamics

эта статья не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Ньютоновская динамика»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В физике Ньютоновская динамика понимается как динамика частицы или маленького тела по Законы движения Ньютона.

Математические обобщения

Обычно Ньютоновская динамика происходит в трехмерном Евклидово пространство, которая плоская. Однако в математике Законы движения Ньютона можно обобщить на многомерные и изогнутый пробелы. Часто термин Ньютоновская динамика сужается до Второй закон Ньютона ${ Displaystyle Displaystyle м , mathbf {а} = mathbf {F}}$.

Второй закон Ньютона в многомерном пространстве

Рассматривать ${ displaystyle displaystyle N}$ частицы с массами ${ Displaystyle Displaystyle м_ {1}, , ldots, , м_ {N}}$ в обычном трехмерном Евклидово пространство. Позволять ${ Displaystyle Displaystyle mathbf {r} _ {1}, , ldots, , mathbf {r} _ {N}}$ быть их радиус-векторами в некоторых инерционный система координат. Тогда движение этих частиц подчиняется второму закону Ньютона, примененному к каждой из них.

${ displaystyle { frac {d mathbf {r} _ {i}} {dt}} = mathbf {v} _ {i}, qquad { frac {d mathbf {v} _ {i}} {dt}} = { frac { mathbf {F} _ {i} ( mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {N}, mathbf {v} _ {1 }, ldots, mathbf {v} _ {N}, t)} {m_ {i}}}, quad i = 1, ldots, N.}$

(1)

Трехмерные радиус-векторы ${ Displaystyle Displaystyle mathbf {r} _ {1}, , ldots, , mathbf {r} _ {N}}$ может быть встроен в единый ${ Displaystyle Displaystyle п = 3N}$-мерный радиус-вектор. Точно так же трехмерные векторы скорости ${ Displaystyle Displaystyle mathbf {v} _ {1}, , ldots, , mathbf {v} _ {N}}$ может быть встроен в единый ${ Displaystyle Displaystyle п = 3N}$-мерный вектор скорости:

${ displaystyle mathbf {r} = { begin {Vmatrix} mathbf {r} _ {1} vdots mathbf {r} _ {N} end {Vmatrix}}, qquad qquad mathbf {v} = { begin {Vmatrix} mathbf {v} _ {1} vdots mathbf {v} _ {N} end {Vmatrix}}.}$

(2)

В терминах многомерных векторов (2) уравнения (1) записываются как

${ displaystyle { frac {d mathbf {r}} {dt}} = mathbf {v}, qquad { frac {d mathbf {v}} {dt}} = mathbf {F} ( mathbf {r}, mathbf {v}, t),}$

(3)

т.е. они принимают форму второго закона Ньютона, примененного к отдельной частице с единичной массой ${ displaystyle displaystyle m = 1}$.

Определение. Уравнения (3) называются уравнениями Ньютоновский динамическая система в квартире многомерном Евклидово пространство, который называется конфигурационное пространство этой системы. Его точки отмечены радиус-вектором ${ displaystyle displaystyle mathbf {r}}$. Пространство, точки которого отмечены парой векторов ${ Displaystyle Displaystyle ( mathbf {r}, mathbf {v})}$ называется фазовое пространство динамической системы (3).

Евклидова структура

Конфигурационное пространство и фазовое пространство динамической системы (3) оба являются евклидовыми пространствами, т. е. они оснащены Евклидова структура. Их евклидова структура определяется так, что кинетическая энергия одиночной многомерной частицы с единичной массой ${ displaystyle displaystyle m = 1}$ равна сумме кинетических энергий трехмерных частиц с массами ${ Displaystyle Displaystyle м_ {1}, , ldots, , м_ {N}}$:

${ displaystyle T = { frac { Vert mathbf {v} Vert ^ {2}} {2}} = sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} , { frac { Vert mathbf {v} _ {i} Vert ^ {2}} {2}}}$.

(4)

Ограничения и внутренние координаты

В некоторых случаях движение частиц с массами ${ Displaystyle Displaystyle м_ {1}, , ldots, , м_ {N}}$ может быть ограничен. Типичный ограничения выглядят как скалярные уравнения вида

${ displaystyle displaystyle varphi _ {i} ( mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {N}) = 0, quad i = 1, , ldots, , K}$.

(5)

Ограничения формы (5) называются голономный и склерономический. В терминах радиус-вектора ${ displaystyle displaystyle mathbf {r}}$ ньютоновской динамической системы (3) они записываются как

${ displaystyle displaystyle varphi _ {i} ( mathbf {r}) = 0, quad i = 1, , ldots, , K}$.

(6)

Каждое такое ограничение уменьшает на единицу число степеней свободы ньютоновской динамической системы (3). Следовательно, ограниченная система имеет ${ Displaystyle Displaystyle п = 3 , Н-К}$ степени свободы.

Определение. Уравнения связей (6) определить ${ displaystyle displaystyle n}$-размерный многообразие ${ displaystyle displaystyle M}$ в конфигурационном пространстве ньютоновской динамической системы (3). Это многообразие ${ displaystyle displaystyle M}$ называется конфигурационным пространством системы со связями. Его касательный пучок ${ displaystyle displaystyle TM}$ называется фазовым пространством системы со связями.

Позволять ${ Displaystyle Displaystyle д ^ {1}, , ldots, , д ^ {п}}$ быть внутренними координатами точки ${ displaystyle displaystyle M}$. Их использование типично для Лагранжева механика. Радиус-вектор ${ displaystyle displaystyle mathbf {r}}$ выражается как некоторая определенная функция ${ Displaystyle Displaystyle д ^ {1}, , ldots, , д ^ {п}}$:

${ displaystyle displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} (q ^ {1}, , ldots, , q ^ {n})}$.

(7)

Вектор-функция (7) разрешает уравнения связей (6) в том смысле, что при замене (7) в (6) уравнения (6) выполняются тождественно в ${ Displaystyle Displaystyle д ^ {1}, , ldots, , д ^ {п}}$.

Внутреннее представление вектора скорости

Вектор скорости ньютоновской динамической системы со связями выражается через частные производные вектор-функции (7):

${ displaystyle displaystyle mathbf {v} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial mathbf {r}} { partial q ^ {i}}} , { точка {q}} ^ {i}}$.

(8)

Количество ${ displaystyle displaystyle { dot {q}} ^ {1}, , ldots, , { dot {q}} ^ {n}}$ называются внутренними компонентами вектора скорости. Иногда их обозначают с помощью отдельного символа.

${ displaystyle displaystyle { dot {q}} ^ {i} = w ^ {i}, qquad i = 1, , ldots, , n}$

(9)

а затем рассматриваются как независимые переменные. Количество

${ displaystyle displaystyle q ^ {1}, , ldots, , q ^ {n}, , w ^ {1}, , ldots, , w ^ {n}}$

(10)

используются как внутренние координаты точки фазового пространства ${ displaystyle displaystyle TM}$ связанной ньютоновской динамической системы.

Вложение и индуцированная риманова метрика

Геометрически вектор-функция (7) реализует вложение конфигурационного пространства ${ displaystyle displaystyle M}$ связанной ньютоновской динамической системы в ${ Displaystyle Displaystyle 3 , N}$-мерное плоское конфигурационное пространство безусловной ньютоновской динамической системы (3). Благодаря этому вложению евклидова структура объемлющего пространства индуцирует риманову метрику на многообразие ${ displaystyle displaystyle M}$. Компоненты метрический тензор этой индуцированной метрики задаются формулой

${ displaystyle displaystyle g_ {ij} = left ({ frac { partial mathbf {r}} { partial q ^ {i}}}, { frac { partial mathbf {r}} { частичное q ^ {j}}} right)}$,

(11)

где ${ Displaystyle Displaystyle (, )}$ - скалярное произведение, ассоциированное с евклидовой структурой (4).

Кинетическая энергия ньютоновской динамической системы со связями

Поскольку евклидова структура неограниченной системы ${ displaystyle displaystyle N}$ частицы вводятся через их кинетическую энергию, индуцированную риманову структуру в конфигурационном пространстве ${ displaystyle displaystyle N}$ системы со связями сохраняет эту связь с кинетической энергией:

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} , w ^ {i} , w ^ {j}}$.

(12)

Формула (12) получается заменой (8) в (4) и с учетом (11).

Ограничивающие силы

Для ньютоновской динамической системы со связями связи, описываемые уравнениями (6) обычно реализуются какой-либо механической структурой. Этот каркас создает некоторые вспомогательные силы, включая силу, которая поддерживает систему в ее конфигурационном коллекторе. ${ displaystyle displaystyle M}$. Такая поддерживающая сила перпендикулярна ${ displaystyle displaystyle M}$. Это называется нормальная сила. Сила ${ Displaystyle Displaystyle mathbf {F}}$ от (6) подразделяется на две составляющие

${ Displaystyle mathbf {F} = mathbf {F} _ { parallel} + mathbf {F} _ { perp}}$.

(13)

Первый компонент в (13) касается конфигурационного многообразия ${ displaystyle displaystyle M}$. Второй компонент перпендикулярен ${ displaystyle displaystyle M}$. Совпадает с нормальная сила ${ Displaystyle Displaystyle mathbf {N}}$.
Подобно вектору скорости (8) касательная сила ${ Displaystyle Displaystyle mathbf {F} _ { parallel}}$ имеет свое внутреннее представление

${ displaystyle displaystyle mathbf {F} _ { parallel} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial mathbf {r}} { partial q ^ {i}}} , F ^ {i}}$.

(14)

Количество ${ Displaystyle F ^ {1}, , ldots, , F ^ {n}}$ в (14) называются внутренними компонентами вектора силы.

Второй закон Ньютона в искривленном пространстве

Ньютонова динамическая система (3), ограниченный конфигурационным многообразием ${ displaystyle displaystyle M}$ уравнениями связи (6) описывается дифференциальными уравнениями

${ displaystyle { frac {dq ^ {s}} {dt}} = w ^ {s}, qquad { frac {dw ^ {s}} {dt}} + sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} Gamma _ {ij} ^ {s} , w ^ {i} , w ^ {j} = F ^ {s}, qquad s = 1, , ldots, , n}$,

(15)

где ${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {s}}$ находятся Символы Кристоффеля из метрическое соединение произведенный римановой метрикой (11).

Связь с уравнениями Лагранжа

Механические системы со связями обычно описываются Уравнения Лагранжа:

${ displaystyle { frac {dq ^ {s}} {dt}} = w ^ {s}, qquad { frac {d} {dt}} left ({ frac { partial T} { partial w ^ {s}}} right) - { frac { partial T} { partial q ^ {s}}} = Q_ {s}, qquad s = 1, , ldots, , n}$,

(16)

где ${ Displaystyle T = T (д ^ {1}, ldots, q ^ {n}, w ^ {1}, ldots, w ^ {n})}$ - кинетическая энергия динамической системы со связями, определяемая формулой (12). Количество ${ Displaystyle Q_ {1}, , ldots, , Q_ {п}}$ в (16) являются внутренними ковариантные компоненты вектора касательной силы ${ displaystyle mathbf {F} _ { parallel}}$ (увидеть (13) и (14)). Они производятся из внутреннего контравариантные компоненты ${ Displaystyle F ^ {1}, , ldots, , F ^ {n}}$ вектора ${ displaystyle mathbf {F} _ { parallel}}$ с помощью стандарта процедура понижения индекса используя метрику (11):

${ displaystyle Q_ {s} = sum _ {r = 1} ^ {n} g_ {sr} , F ^ {r}, qquad s = 1, , ldots, , n}$,

(17)

Уравнения (16) эквивалентны уравнениям (15). Однако метрика (11) и другие геометрические особенности конфигурационного многообразия ${ displaystyle displaystyle M}$ не являются явными в (16). Метрика (11) может быть восстановлен из кинетической энергии ${ displaystyle displaystyle T}$ с помощью формулы

${ displaystyle g_ {ij} = { frac { partial ^ {2} T} { partial w ^ {i} , partial w ^ {j}}}}$.

(18)

Смотрите также

• Модифицированная ньютоновская динамика