Ньютоновский потенциал - Newtonian potential

В математика, то Ньютоновский потенциал или же Потенциал Ньютона является оператор в векторное исчисление что действует как обратное отрицательному Лапласиан на гладких функциях, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Таким образом, это фундаментальный объект изучения в теория потенциала. По своему общему характеру это сингулярный интегральный оператор, определяется свертка с функцией, имеющей математическая особенность в начале координат ньютоново ядро ​​Γ, являющееся фундаментальное решение из Уравнение лапласа. Он назван в честь Исаак Ньютон, который первым открыл это и доказал, что это гармоническая функция в частный случай трех переменных, где он служил основным гравитационный потенциал в Закон всемирного тяготения Ньютона. В современной теории потенциала ньютоновский потенциал вместо этого рассматривается как электростатический потенциал.

Ньютоновский потенциал компактно поддерживается интегрируемая функция ƒ определяется как свертка

${ displaystyle u (x) = Gamma * f (x) = int _ { mathbb {R} ^ {d}} Gamma (x-y) f (y) , dy}$

где ядро ​​Ньютона Γ размерности d определяется

${ displaystyle Gamma (x) = { begin {cases} { frac {1} {2 pi}} log {| x |} & d = 2 { frac {1} {d (2- г) omega _ {d}}} | x | ^ {2-d} & d neq 2. end {cases}}}$

Здесь ω_d это объем единицы d-мяч (иногда условные обозначения могут отличаться; сравните (Эванс 1998 ) и (Гилбарг и Трудингер, 1983 г. )). Например, для ${ displaystyle d = 3}$ у нас есть ${ Displaystyle Gamma (x) = - 1 / (4 pi | x |).}$

Ньютоновский потенциал ш из ƒ это решение Уравнение Пуассона

${ Displaystyle Delta W = F, ,}$

это означает, что операция взятия ньютоновского потенциала функции является частично обратной по отношению к оператору Лапласа. Решение не единственное, поскольку добавление любой гармонической функции к ш не повлияет на уравнение. Этот факт может быть использован для доказательства существования и единственности решений Задача Дирихле для уравнения Пуассона в подходящих регулярных областях и для функций с подходящим хорошим поведением ƒ: сначала применяют ньютоновский потенциал для получения решения, а затем корректируют, добавляя гармоническую функцию, чтобы получить правильные граничные данные.

Ньютоновский потенциал определяется в более широком смысле как свертка

${ Displaystyle Gamma * mu (x) = int _ { mathbb {R} ^ {d}} Gamma (x-y) , d mu (y)}$

когда μ компактно поддерживаемый Радоновая мера. Он удовлетворяет уравнению Пуассона

${ displaystyle Delta w = mu ,}$

в смысле распределения. Более того, когда мера положительный, ньютоновский потенциал равен субгармоника на р^d.

Если ƒ это компактно поддерживается непрерывная функция (или, в более общем смысле, конечная мера), которая вращательно инвариантный, то свертка из ƒ с Γ удовлетворяет при Икс вне поддержки ƒ

${ displaystyle f * Gamma (x) = lambda Gamma (x), quad lambda = int _ { mathbb {R} ^ {d}} f (y) , dy.}$

В измерении d = 3, это сводится к теореме Ньютона о том, что потенциальная энергия малой массы вне гораздо большего сферически-симметричного распределения масс такая же, как если бы вся масса большего объекта была сосредоточена в его центре.

Когда мера μ связана с распределением массы на достаточно гладкой гиперповерхности S (а Ляпуновская поверхность из Гёльдер класс C^{1, α}), который делит р^d на два региона D₊ и D₋, то ньютоновский потенциал μ называется потенциал простого слоя. Потенциалы простых слоев непрерывны и решают Уравнение лапласа кроме S. Они естественным образом появляются при изучении электростатика в контексте электростатический потенциал связано с распределением заряда на замкнутой поверхности. Если dμ = ƒ dЧАС является произведением непрерывной функции на S с (d - 1) -мерный Мера Хаусдорфа, затем в точке у из S, то нормальная производная претерпевает скачкообразный разрыв ƒ(у) при пересечении слоя. Кроме того, нормальная производная равна ш корректно определенная непрерывная функция на S. Это делает простые слои особенно подходящими для изучения Проблема Неймана для уравнения Лапласа.

Смотрите также

• Двойной потенциал слоя
• Функция Грина
• Потенциал Рисса
• Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

Рекомендации

• Эванс, Л. (1998), Уравнения с частными производными, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D .; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка., Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7.
• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Ньютоновский потенциал», Энциклопедия математики, EMS Press
• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Потенциал простого слоя», Энциклопедия математики, EMS Press
• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Поверхностный потенциал», Энциклопедия математики, EMS Press