Проблема Ньютона – Пеписа - Newton–Pepys problem

Хотя Ньютон правильно рассчитал шансы каждой ставки, он дал Пепис отдельное интуитивное объяснение. Он представил, что B и C бросают свои кости группами по шесть штук, и сказал, что A был наиболее благоприятным, потому что он требовал 6 только за один бросок, в то время как B и C требовали по 6 при каждом броске. Это объяснение предполагает, что группа не производит более одной шестерки, поэтому на самом деле это не соответствует исходной проблеме.^[2]

Обобщения

Естественным обобщением проблемы является рассмотрение п необязательно честные кости, с п вероятность того, что каждый кубик выберет 6 граней при броске (обратите внимание, что на самом деле количество граней кубика и какая грань должна быть выбрана не имеют значения). Если р - общее количество кубиков, выбирающих 6 граней, тогда ${displaystyle P (rgeq k; n, p)}$ вероятность иметь по крайней мере k правильный выбор при точном броске п игральная кость. Тогда исходную проблему Ньютона – Пеписа можно обобщить следующим образом:

Позволять ${displaystyle u _ {1}, u _ {2}}$ быть натуральными положительными числами s.t. ${displaystyle u _ {1} leq u _ {2}}$. Затем ${displaystyle P (rgeq u _ {1} k; u _ {1} n, p)}$ не меньше чем ${displaystyle P (rgeq u _ {2} k; u _ {2} n, p)}$ для всех п, п, к?

Обратите внимание, что с этой записью исходная задача Ньютона – Пеписа читается так: is ${displaystyle P (rgeq 1; 6,1 / 6) geq P (rgeq 2; 12,1 / 6) geq P (rgeq 3; 18,1 / 6)}$?

Как было замечено Рубином и Эвансом (1961), не существует единых ответов на обобщенную проблему Ньютона – Пеписа, поскольку ответы зависят от k, n и п. Тем не менее, есть некоторые варианты предыдущих вопросов, на которые можно дать единообразные ответы:

(из Chaundy and Bullard (1960)):^[3]

Если ${displaystyle k_ {1}, k_ {2}, n}$ положительные натуральные числа, и ${displaystyle k_ {1}$, тогда ${displaystyle P (rgeq k_ {1}; k_ {1} n, {frac {1} {n}})> P (rgeq k_ {2}; k_ {2} n, {frac {1} {n}} )}$.

Если ${displaystyle k, n_ {1}, n_ {2}}$ положительные натуральные числа, и ${displaystyle n_ {1}$, тогда ${displaystyle P (rgeq k; kn_ {1}, {frac {1} {n_ {1}}})> P (rgeq k; kn_ {2}, {frac {1} {n_ {2}}})}$.

(из Varagnolo, Pillonetto and Schenato (2013)):^[4]

Если ${displaystyle u _ {1}, u _ {2}, n, k}$ положительные натуральные числа, и ${displaystyle u _ {1} leq u _ {2}, kleq n, pin [0,1]}$ тогда ${displaystyle P (r = u _ {1} k; u _ {1} n, p) geq P (r = u _ {2} k; u _ {2} n, p)}$.

Рекомендации