Полином Ньютона - Newton polynomial

в математический поле числовой анализ, а Полином Ньютона, названный в честь своего изобретателя Исаак Ньютон,^[1] является интерполяция многочлен для заданного набора точек данных. Многочлен Ньютона иногда называют Интерполяционный многочлен разделенных разностей Ньютона потому что коэффициенты полинома вычисляются с использованием Ньютона разделенные различия метод.

Определение

Учитывая набор k + 1 точка данных

{ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), ldots, (x_ {j}, y_ {j}), ldots, (x_ {k}, y_ {k})}

где нет двух Икс_j одинаковы, интерполяционный полином Ньютона является линейная комбинация из Базисные полиномы Ньютона

{ Displaystyle N (x): = sum _ {j = 0} ^ {k} a_ {j} n_ {j} (x)}

с базисными полиномами Ньютона, определенными как

{ displaystyle n_ {j} (x): = prod _ {i = 0} ^ {j-1} (x-x_ {i})}

за j > 0 и ${ Displaystyle п_ {0} (х) эквив 1}$ .

Коэффициенты определяются как

{ displaystyle a_ {j}: = [y_ {0}, ldots, y_ {j}]}

куда

{ displaystyle [y_ {0}, ldots, y_ {j}]}

это обозначение для разделенные различия.

Таким образом, многочлен Ньютона можно записать как

{ displaystyle N (x) = [y_ {0}] + [y_ {0}, y_ {1}] (x-x_ {0}) + cdots + [y_ {0}, ldots, y_ {k }] (x-x_ {0}) (x-x_ {1}) cdots (x-x_ {k-1}).}

Формула деленной разности Ньютона

Многочлен Ньютона можно выразить в упрощенной форме, когда ${ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, dots, x_ {k}}$ расположены последовательно с равным интервалом. Вводя обозначения ${ displaystyle h = x_ {i + 1} -x_ {i}}$ для каждого ${ Displaystyle я = 0,1, точки, k-1}$ и ${ displaystyle x = x_ {0} + sh}$ , разница ${ Displaystyle х-х_ {я}}$ можно записать как ${ displaystyle (s-i) h}$ . Таким образом, полином Ньютона становится

{ displaystyle { begin {align} N (x) & = [y_ {0}] + [y_ {0}, y_ {1}] sh + cdots + [y_ {0}, ldots, y_ {k} ] s (s-1) cdots (s-k + 1) {h} ^ {k} & = sum _ {i = 0} ^ {k} s (s-1) cdots (s- i + 1) {h} ^ {i} [y_ {0}, ldots, y_ {i}] & = sum _ {i = 0} ^ {k} {s choose i} i! { h} ^ {i} [y_ {0}, ldots, y_ {i}]. end {выравнивается}}}

Это называется Формула деленной разности Ньютона^{[нужна цитата ]}.

Формула обратной разделенной разности Ньютона

Если узлы переупорядочены как ${ displaystyle {x} _ {k}, {x} _ {k-1}, dots, {x} _ {0}}$ , полином Ньютона принимает вид

{ displaystyle N (x) = [y_ {k}] + [{y} _ {k}, {y} _ {k-1}] (x- {x} _ {k}) + cdots + [ {y} _ {k}, ldots, {y} _ {0}] (x- {x} _ {k}) (x- {x} _ {k-1}) cdots (x- {x } _ {1}).}

Если ${ displaystyle {x} _ {k}, ; {x} _ {k-1}, ; dots, ; {x} _ {0}}$ на равных расстояниях с ${ displaystyle x = {x} _ {k} + sh}$ и ${ displaystyle {x} _ {i} = {x} _ {k} - (k-i) h}$ за я = 0, 1, ..., k, тогда,

{ displaystyle { begin {align} N (x) & = [{y} _ {k}] + [{y} _ {k}, {y} _ {k-1}] sh + cdots + [{ y} _ {k}, ldots, {y} _ {0}] s (s + 1) cdots (s + k-1) {h} ^ {k} & = sum _ {i = 0} ^ {k} {(- 1)} ^ {i} {- s choose i} i! {H} ^ {i} [{y} _ {k}, ldots, {y} _ {ki }]. end {выровнен}}}

называется Формула обратной разделенной разности Ньютона^{[нужна цитата ]}.

Значимость

Формула Ньютона представляет интерес, потому что это прямая и естественная версия полинома Тейлора с разностями. Многочлен Тейлора сообщает, куда пойдет функция, на основе ее у стоимости и ее производных (скорость ее изменения, скорость изменения скорости изменения и т. д.) в одном конкретном Икс ценить. Формула Ньютона - это полином Тейлора, основанный на конечные разности вместо мгновенных темпов изменения.

Добавление новых очков

Как и в случае с другими формулами разности, степень интерполяционного полинома Ньютона может быть увеличена путем добавления дополнительных членов и точек, не отбрасывая существующие. Форма Ньютона проста в том, что новые точки всегда добавляются на одном конце: прямая формула Ньютона может добавлять новые точки справа, а обратная формула Ньютона может добавлять новые точки слева.

Точность полиномиальной интерполяции зависит от того, насколько близко интерполированная точка находится к середине Икс значения набора используемых точек. Очевидно, что по мере того, как на одном конце добавляются новые точки, эта середина становится все дальше и дальше от первой точки данных. Следовательно, если неизвестно, сколько точек потребуется для желаемой точности, середина значений x может быть далеко от того места, где выполняется интерполяция.

Гаусс, Стирлинг и Бессель разработали формулы для решения этой проблемы.^[2]

Формула Гаусса поочередно добавляет новые точки на левом и правом концах, тем самым сохраняя центр набора точек в одном и том же месте (рядом с оцененной точкой). При этом используются термины из формулы Ньютона с точками данных и Икс значения переименованы в соответствии с выбором того, какая точка данных обозначена как Икс₀ точка данных.

Формула Стирлинга по-прежнему сосредоточена вокруг конкретной точки данных для использования, когда оцененная точка находится ближе к точке данных, чем к середине из двух точек данных.

Формула Бесселя по-прежнему сосредоточена вокруг определенной середины между двумя точками данных для использования, когда оцененная точка находится ближе к середине, чем к точке данных.

Бессель и Стирлинг достигают этого, иногда используя среднее значение двух разностей, а иногда используя среднее значение двух произведений биномов в Икс, где Ньютон или Гаусс использовали бы только одно отличие или продукт. Стирлинг использует среднюю разницу в нечетных выражениях (для разницы используется четное число точек данных); Бессель использует среднюю разницу в четных градусах (для разницы используется нечетное количество точек данных).

Сильные и слабые стороны различных формул

Для любого заданного конечного набора точек данных существует только один полином наименьшей возможной степени, который проходит через все из них. Таким образом, уместно говорить о «форме Ньютона», или Форма Лагранжа и т. д. интерполяционного полинома. Однако имеет значение способ получения полинома. Есть несколько подобных методов, например, Гаусса, Бесселя и Стирлинга. Их можно получить от Ньютона, переименовав Икс-значения точек данных, но на практике они важны.

Бессель против Стирлинга

Выбор между Бесселем и Стирлингом зависит от того, находится ли интерполированная точка ближе к точке данных или ближе к середине между двумя точками данных.

Ошибка полиномиальной интерполяции приближается к нулю, когда точка интерполяции приближается к точке данных. Таким образом, формула Стирлинга обеспечивает повышение точности там, где это меньше всего необходимо, а Бессель приносит улучшение точности там, где это необходимо больше всего.

Таким образом, формулу Бесселя можно назвать наиболее точной разностной формулой и, в целом, наиболее точной из известных формул полиномиальной интерполяции.

Методы разделенных разностей и методы Лагранжа

Иногда говорят, что Лагранж требует меньше работы, а иногда его рекомендуют для задач, в которых заранее известно из предыдущего опыта, сколько терминов необходимо для достаточной точности.

Преимущество методов разделенных разностей состоит в том, что можно добавить больше точек данных для повышения точности. Термины, основанные на предыдущих точках данных, можно продолжать использовать. С обычной формулой Лагранжа, чтобы решить проблему с большим количеством точек данных, потребовалось бы заново выполнить всю задачу.

Существует «барицентрическая» версия Лагранжа, позволяющая избежать повторного выполнения всех вычислений при добавлении новой точки данных. Но это требует, чтобы значения каждого термина были записаны.

Но способность Гаусса, Бесселя и Стирлинга удерживать точки данных в центре близко к интерполированной точке дает им преимущество перед Лагранжем, когда заранее неизвестно, сколько точек данных потребуется.

Кроме того, предположим, что кто-то хочет выяснить, достаточно ли точна линейная интерполяция для некоторого конкретного типа задачи. Это можно определить, оценив квадратичный член формулы разделенной разности. Если квадратичный член пренебрежимо мал - это означает, что линейный член достаточно точен без добавления квадратичного члена, - тогда линейная интерполяция достаточно точна. Если проблема достаточно важна или если квадратичный член почти достаточно велик, чтобы иметь значение, то можно было бы определить, достаточно ли велика _ сумма_ квадратичных и кубических членов, чтобы иметь значение в проблеме.

Конечно, для такого определения можно использовать только метод разделенных разностей.

Для этого формула разделенных разностей и / или ее Икс₀ Точка должна быть выбрана так, чтобы формула использовала в качестве своего линейного члена две точки данных, между которыми будет выполняться интересующая линейная интерполяция.

Формулы разделенных разностей более универсальны и полезны для решения большего числа задач.

Формула Лагранжа лучше всего работает, когда вся интерполяция выполняется за один раз. Икс значение, только с точками данных ' у значения варьируются от одной проблемы к другой, и если из прошлого опыта известно, сколько терминов необходимо для достаточной точности.

С формой Ньютона интерполяционного многочлена существует компактный и эффективный алгоритм для объединения членов, чтобы найти коэффициенты многочлена.^[3]

Точность

Когда в терминах Стирлинга или Бесселя последний использованный термин включает в себя среднее значение двух разностей, тогда используется на одну точку больше, чем при интерполяции Ньютона или других полиномов для той же степени полинома. Таким образом, в этом случае Стирлинг или Бессель не ставят N−1 степени многочлена через N точек, но вместо этого является торговой эквивалентностью Ньютона для лучшего центрирования и точности, что дает этим методам иногда потенциально большую точность для заданной степени полинома, чем другие полиномиальные интерполяции.

Общий случай

Для особого случая Икс_я = я, существует тесно связанный набор многочленов, также называемых многочленами Ньютона, которые являются просто биномиальные коэффициенты для общего аргумента. То есть есть и полиномы Ньютона ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ данный

{ displaystyle p_ {n} (z) = {z choose n} = { frac {z (z-1) cdots (z-n + 1)} {n!}}}

В этой форме полиномы Ньютона порождают Серия Ньютон. Это, в свою очередь, частный случай общего разностные полиномы которые позволяют представить аналитические функции через обобщенные разностные уравнения.

Смысл

Решение интерполяционной задачи приводит к проблеме линейной алгебры, в которой мы должны решить систему линейных уравнений. Используя стандартный мономиальный базис для нашего интерполяционного полинома мы получаем очень сложный Матрица Вандермонда. Выбирая другой базис, базис Ньютона, мы получаем систему линейных уравнений с гораздо более простой нижняя треугольная матрица которые можно решить быстрее.

За k + 1 точки данных мы строим базис Ньютона как

{ displaystyle n_ {j} (x): = prod _ {i = 0} ^ {j-1} (x-x_ {i}) qquad j = 1, ldots, k.}

Используя эти многочлены как основу для ${ displaystyle Pi _ {k}}$ мы должны решить

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 && ldots && 0 1 & x_ {1} -x_ {0} &&& 1 & x_ {2} -x_ {0} & (x_ {2} -x_ {0}) (x_ {2} -x_ {1}) && vdots vdots & vdots && ddots & 1 & x_ {k} -x_ {0} & ldots & ldots & prod _ {j = 0} ^ {k-1} (x_ {k} -x_ {j}) end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_ {0} \ vdots a_ {k} end {bmatrix }} = { begin {bmatrix} y_ {0} \ vdots y_ {k} end {bmatrix}}}

для решения задачи полиномиальной интерполяции.

Эта система уравнений может быть решена итеративно путем решения

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {j} a_ {i} n_ {i} (x_ {j}) = y_ {j} qquad j = 0, dots, k.}

Вывод

Хотя формулу интерполяции можно найти, решив линейную систему уравнений, есть потеря интуиции в том, что показывает формула, и почему формула интерполяции Ньютона работает не сразу. Для начала нам понадобится следующий результат:

${ displaystyle [y_ {1}, ldots, y_ {n}] = [y_ {n}, ldots, y_ {1}]}$ . Это равенство означает, что реверсирование членов разделенной разницы не влияет на конечный результат. Докажем этот результат по индукции.

Основа: ${ textstyle [y_ {1}, y_ {2}] = { frac {[y_ {2}] - [y_ {1}]} {x_ {2} -x_ {1}}} = { frac { [y_ {1}] - [y_ {2}]} {x_ {1} -x_ {2}}} = [y_ {2}, y_ {1}]}$

Индукция: Предположим, что результат верен для разделенной разницы, включающей менее ${ displaystyle n + 1}$ термины. Используя предположение индукции, видим, что ${ displaystyle [y_ {1}, ldots, y_ {n + 1}] = { frac {[y_ {2}, ldots, y_ {n + 1}] - [y_ {1}, ldots, y_ {n}]} {x_ {n + 1} -x_ {1}}} = { frac {[y_ {n}, ldots, y_ {1}] - [y_ {n + 1}, ldots , y_ {2}]} {x_ {1} -x_ {n + 1}}} = [y_ {n + 1}, ldots, y_ {1}]}$ где гипотеза индукции использовалась при 2-м равенстве.

Чтобы вывести формулу интерполяции, мы теперь будем использовать следующий результат, который также будет доказан с помощью индукции:

${ displaystyle [y_ {1}, ldots, y_ {n}] (x_ {n} -x_ {1}) cdot ldots cdot (x_ {n} -x_ {n-1}) = y_ { n} -P (x_ {n})}$ куда ${ Displaystyle P (x)}$ - единственный полином степени (не выше) ${ displaystyle n-2}$ проходя через точки ${ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ldots, (x_ {n-1}, y_ {n-1})}$ . С этим результатом теперь мы можем точно определить ошибку между интерполяционным полиномом ${ Displaystyle P (x)}$ в ${ displaystyle (x_ {n}, y_ {n})}$ и истинная ценность ${ displaystyle y_ {n}}$ .

Основа: ${ displaystyle [y_ {1}, y_ {2}] (x_ {2} -x_ {1}) = { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1} }} (x_ {2} -x_ {1}) = y_ {2} -y_ {1} = y_ {2} -P (x_ {2})}$ куда ${ Displaystyle P (x) = x_ {1}}$ - единственный полином степени 0, проходящий через ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ .

Индукция: Предположим, что результат верен, когда меньше, чем ${ displaystyle n + 1}$ точки. Позволять ${ Displaystyle P (x)}$ - многочлен степени (не выше) ${ displaystyle n-1}$ проходя через ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ldots, (x_ {n}, y_ {n}).}$

${ displaystyle { begin {align} & [y_ {1}, ldots, y_ {n + 1}] (x_ {n + 1} -x_ {1}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) & = { frac {[y_ {2}, ldots, y_ {n + 1}] - [y_ {1}, ldots, y_ {n}]} {x_ {n + 1} -x_ {1}}} (x_ {n + 1} -x_ {1}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) & = left ([y_ {2}, ldots, y_ {n + 1}] - [y_ {1}, ldots, y_ {n}] right) (x_ {n + 1} -x_ {2}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) & = [y_ {2}, ldots, y_ {n + 1}] (x_ {n + 1} -x_ {2}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) - [y_ {1}, ldots, y_ {n}] (x_ {n + 1} -x_ {2}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) & = (y_ {n + 1} -Q (x_ {n + 1})) - [y_ {1}, ldots, y_ { n}] (x_ {n + 1} -x_ {2}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) & = y_ {n + 1} - (Q (x_ {n + 1}) + [y_ {1}, ldots, y_ {n}] (x_ {n + 1} -x_ {2}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ { п})) конец {выровнено}}}$

куда ${ Displaystyle Q (х)}$ - единственный полином степени (не выше) ${ displaystyle n-2}$ проходя через точки ${ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2}), ldots, (x_ {n}, y_ {n})}$ . Предпоследнее равенство вытекает из предположения индукции как ${ Displaystyle [y_ {2}, ldots, y_ {n + 1}]}$ вовлекает ${ displaystyle n}$ очков и таким образом ${ displaystyle [y_ {2}, ldots, y_ {n + 1}] (x_ {n + 1} -x_ {2}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) ) = y_ {n + 1} -Q (x_ {n + 1})}$ . Приближаясь к желаемому результату, мы теперь утверждаем, что ${ Displaystyle Q (x) + [y_ {1}, ldots, y_ {n}] (x-x_ {2}) cdot ldots cdot (x-x_ {n}) = P (x)}$ поскольку оба многочлена проходят через ${ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ldots, (x_ {n}, y_ {n})}$ и имеют степень (не выше) ${ displaystyle n-1}$ . Оба эти критерия однозначно определяют многочлен. Тот факт, что левая сторона проходит через ${ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2}), ldots, (x_ {n}, y_ {n})}$ легко понять, как ${ Displaystyle Q (х)}$ определяется как быть. Чтобы продемонстрировать прохождение левой стороны через ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ , воспользуемся первым доказанным выше результатом и предположением индукции:

${ displaystyle { begin {align} & Q (x_ {1}) + [y_ {1}, ldots, y_ {n}] (x_ {1} -x_ {2}) cdot ldots cdot (x_ {1} -x_ {n}) & = Q (x_ {1}) + [y_ {n}, ldots, y_ {1}] (x_ {1} -x_ {n}) cdot ldots cdot (x_ {1} -x_ {2}) & = Q (x_ {1}) + y_ {1} -Q (x_ {1}) & = y_ {1} & = P (x_ {1}) конец {выровнено}}}$

где 2-е равенство следует из того, что ${ Displaystyle Q (х)}$ - многочлен степени (не выше) ${ displaystyle n-2}$ проходя через ${ displaystyle (x_ {n}, y_ {n}), ldots, (x_ {2}, y_ {2})}$ удовлетворяющие предположению индукции. Продолжая шаг индукции выше, мы теперь видим, что ${ Displaystyle [y_ {1}, ldots, y_ {n + 1}] (x_ {n + 1} -x_ {1}) cdot ldots cdot (x_ {n + 1} -x_ {n}) ) = y_ {n + 1} -P (x_ {n + 1})}$ куда ${ Displaystyle P (x)}$ - многочлен степени ${ displaystyle n-1}$ проходя через ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ldots, (x_ {n}, y_ {n}).}$ Таким образом, доказательство завершено.

Вся эта работа теперь ведет к тому, откуда взялась формула интерполяции Ньютона. Преобразуя результат выше, отметим, что ${ Displaystyle P (x) + [y_ {1}, ldots, y_ {n + 1}] (x-x_ {1}) cdot ldots cdot (x-x_ {n})}$ - многочлен степени (не выше) ${ displaystyle n}$ проходя через ${ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ldots, (x_ {n + 1}, y_ {n + 1})}$ , и, таким образом, мы видим, что "продолжая" многочлен ${ Displaystyle P (x)}$ к следующей точке ${ Displaystyle (х_ {п + 1}, у_ {п + 1})}$ требует добавления термина ${ Displaystyle [y_ {1}, ldots, y_ {n + 1}] (x-x_ {1}) cdot ldots cdot (x-x_ {n})}$ давая нам формулу интерполяции Ньютона.

Полином Тейлора

Предел полинома Ньютона, если все узлы совпадают, есть Полином Тейлора, потому что разделенные разности становятся производными.

{ displaystyle lim _ {(x_ {0}, dots, x_ {n}) to (z, dots, z)} f ​​[x_ {0}] + f [x_ {0}, x_ {1 }] cdot ( xi -x_ {0}) + dots + f [x_ {0}, dots, x_ {n}] cdot ( xi -x_ {0}) cdot dots cdot ( xi -x_ {n-1}) =}

{ displaystyle = f (z) + f '(z) cdot ( xi -z) + dots + { frac {f ^ {(n)} (z)} {n!}} cdot ( xi -z) ^ {n}}

Заявление

Как видно из определения разделенных разностей, новые точки данных могут быть добавлены к набору данных для создания нового полинома интерполяции без пересчета старых коэффициентов. И когда точка данных изменяется, нам обычно не нужно пересчитывать все коэффициенты. Кроме того, если Икс_я распределены эквидистантно, расчет разделенных разностей становится значительно проще. Поэтому формулы разделенных разностей обычно предпочтительнее Форма Лагранжа для практических целей.

Примеры

Разделенные различия можно записать в виде таблицы. Например, для функции ж должен быть интерполирован по точкам ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n}}$ . Написать

{ displaystyle { begin {matrix} x_ {0} & f (x_ {0}) && && {f (x_ {1}) - f (x_ {0}) over x_ {1} -x_ {0}) }} & x_ {1} & f (x_ {1}) && {{f (x_ {2}) - f (x_ {1}) over x_ {2} -x_ {1}} - {f ( x_ {1}) - f (x_ {0}) over x_ {1} -x_ {0}} over x_ {2} -x_ {0}} && {f (x_ {2}) - f (x_ {1}) over x_ {2} -x_ {1}} & x_ {2} & f (x_ {2}) && vdots && vdots & vdots &&& vdots && vdots & x_ {n} & f (x_ {n}) && end {matrix}}}

Затем интерполирующий полином формируется, как указано выше, с использованием самых верхних записей в каждом столбце в качестве коэффициентов.

Например, предположим, что мы должны построить интерполирующий полином к ж(Икс) = загар (Икс) с использованием разделенных разностей в точках

${ displaystyle x_ {0} = - { tfrac {3} {2}}}$	${ displaystyle x_ {1} = - { tfrac {3} {4}}}$	${ displaystyle x_ {2} = 0}$	${ displaystyle x_ {3} = { tfrac {3} {4}}}$	${ displaystyle x_ {4} = { tfrac {3} {2}}}$
${ displaystyle f (x_ {0}) = - 14,1014}$	${ displaystyle f (x_ {1}) = - 0,931596}$	${ displaystyle f (x_ {2}) = 0}$	${ displaystyle f (x_ {3}) = 0,931596}$	${ displaystyle f (x_ {4}) = 14,1014}$

Используя шестизначную точность, строим таблицу

{ displaystyle { begin {matrix} - { tfrac {3} {2}} & - 14.1014 &&&& && 17.5597 &&& - { tfrac {3} {4}} & - 0.931596 && - 10.8784 && && 1.24213 && 4.83484 & 0 & 0 && 0 && 0 && 1.24213 && 4.83484 & { tfrac {3} {4}} & 0.931596 && 10.8784 && && 17.5597 &&& { tfrac {3} {2}} & 14.1014 &&&& end {matrix}}}

Таким образом, интерполирующий полином равен

{ displaystyle -14.1014 + 17.5597 (x + { tfrac {3} {2}}) - 10.8784 (x + { tfrac {3} {2}}) (x + { tfrac {3} {4}}) + 4.83484 (x + { tfrac {3} {2}}) (x + { tfrac {3} {4}}) (x) +0 (x + { tfrac {3} {2}}) (x + { tfrac { 3} {4}}) (x) (x - { tfrac {3} {4}}) =}

{ displaystyle = -0,00005-1,4775x-0,00001x ^ {2} + 4,83484x ^ {3}}

При большем количестве знаков точности в таблице первый и третий коэффициенты окажутся равными нулю.

Другой пример:

Последовательность ${ displaystyle f_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle f_ {0} (1) = 6, f_ {0} (2) = 9, f_ {0} (3) = 2}$ и ${ displaystyle f_ {0} (4) = 5}$ , т.е. они ${ displaystyle 6,9,2,5}$ из ${ displaystyle x_ {0} = 1}$ к ${ displaystyle x_ {3} = 4}$ .

Получаете наклон порядка ${ displaystyle 1}$ следующим образом:

${ displaystyle f_ {1} (x_ {0}, x_ {1}) = { frac {f_ {0} (x_ {1}) - f_ {0} (x_ {0})} {x_ {1} -x_ {0}}} = { frac {9-6} {2-1}} = 3}$
${ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {f_ {0} (x_ {2}) - f_ {0} (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1}}} = { frac {2-9} {3-2}} = - 7}$
${ displaystyle f_ {1} (x_ {2}, x_ {3}) = { frac {f_ {0} (x_ {3}) - f_ {0} (x_ {2})} {x_ {3} -x_ {2}}} = { frac {5-2} {4-3}} = 3}$

Как у нас на спусках порядок ${ displaystyle 1}$ , возможен следующий заказ:

${ displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = { frac {f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}) - f_ {1} (x_ {0}, x_ {1})} {x_ {2} -x_ {0}}} = { frac {-7-3} {3-1}} = - 5}$
${ displaystyle f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = { frac {f_ {1} (x_ {2}, x_ {3}) - f_ {1} (x_ {1}, x_ {2})} {x_ {3} -x_ {1}}} = { frac {3 - (- 7)} {4-2}} = 5}$

Наконец, определим наклон порядка ${ displaystyle 3}$ :

${ displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = { frac {f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 3}) - f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})} {x_ {3} -x_ {0}}} = { frac {5 - (- 5)} { 4-1}} = { frac {10} {3}}}$

Как только у нас есть наклон, мы можем определить следующие многочлены:

${ displaystyle p_ {0} (x) = 6}$ .
${ Displaystyle p_ {1} (х) = 6 + 3 (х-1)}$
${ displaystyle p_ {2} (x) = 6 + 3 (x-1) -5 (x-1) (x-2)}$ .
${ displaystyle p_ {3} (x) = 6 + 3 (x-1) -5 (x-1) (x-2) + { frac {10} {3}} (x-1) (x- 2) (х-3)}$

Смотрите также

De numeris triangularibus et inde de progressionibus arithmeticis: Magisteria magna, работа Томас Харриот описывающий аналогичные методы интерполяции, написанный на 50 лет раньше, чем работа Ньютона, но не опубликованный до 2009 года.
Серия Ньютон
Схема Невилла
Полиномиальная интерполяция
Форма Лагранжа интерполяционного полинома
Форма Бернштейна интерполяционного полинома
Эрмита интерполяция
Теорема Карлсона
Таблица ньютоновских рядов

внешняя ссылка

Модуль для полинома Ньютона Джона Х. Мэтьюза

[Dunham-1] Данэм, Уильям (1990). «7». Путешествие сквозь гения: великие теоремы математики. Kanak Agrawal, Inc., стр.155–183. ISBN 9780140147391. Получено 24 октября 2019.

[2] Численные методы для ученых и инженеров, Р. В. Хэмминг.

[3] Stetekluh, Джефф. «Алгоритм ньютоновской формы интерполяционного полинома».

[1]

[2]

[3]

Сэр Исаак Ньютон
Публикации	Флюсии (1671) Де Моту (1684) Principia (1687; письмо ) Opticks (1704) Запросы (1704) Арифметика (1707) De Analysi (1711)
Другие сочинения	Quaestiones (1661–1665) "стоя на плечах гигантов " (1675) Заметки о еврейском храме (ок. 1680 г.) "Общий Схолиум " (1713; "гипотезы не финго " ) Древние королевства с поправками (1728) Искажения Священного Писания (1754)
Взносы	Исчисление текучесть Глубина удара Инерция Диск Ньютона Многоугольник Ньютона Тело Ньютона – Окунькова Отражатель Ньютона Ньютоновский телескоп Шкала Ньютона Металл Ньютона Колыбель Ньютона Спектр Структурная окраска
Ньютонианство	Аргумент ведра Неравенства Ньютона Закон охлаждения Ньютона Закон всемирного тяготения Ньютона постньютоновское расширение параметризованный гравитационная постоянная Теория Ньютона – Картана Уравнение Шредингера – Ньютона. Законы движения Ньютона Законы Кеплера Ньютоновская динамика Метод Ньютона в оптимизации Проблема Аполлония усеченный метод Ньютона Алгоритм Гаусса – Ньютона Кольца Ньютона Теорема Ньютона об овалах Проблема Ньютона – Пеписа Ньютоновский потенциал Ньютоновская жидкость Классическая механика Корпускулярная теория света Споры об исчислении Лейбница-Ньютона Обозначение Ньютона Вращающиеся сферы Пушечное ядро Ньютона Формулы Ньютона – Котеса Метод Ньютона обобщенный метод Гаусса – Ньютона Фрактал Ньютона Личности Ньютона Полином Ньютона Теорема Ньютона о вращающихся орбитах Уравнения Ньютона – Эйлера Число Ньютона проблема с числом поцелуев Фактор Ньютона Параллелограмм силы Теорема Ньютона – Пюизо Абсолютное пространство и время Светоносный эфир Ньютоновский ряд стол
Личная жизнь	Усадьба Вулсторпов (место рождения) Cranbury Park (Главная) Ранние годы Более поздняя жизнь Религиозные взгляды Оккультные исследования Научная революция Коперниканская революция
связи	Кэтрин Бартон (племянница) Джон Кондуитт (племянник в законе) Исаак Барроу (профессор) Уильям Кларк (наставник) Бенджамин Пуллейн (репетитор) Джон Кейл (ученик) Уильям Стьукли (друг) Уильям Джонс (друг) Авраам де Муавр (друг)
Изображения	Ньютон Блейк (монотипия) Ньютон Паолоцци (скульптура)
Тезка	Институт Исаака Ньютона Медаль Исаака Ньютона Телескоп Исаака Ньютона Исаак Ньютон Группа телескопов Ньютон (единица)
Категории	► Исаак Ньютон