Уравнения Ньютона – Эйлера - Newton–Euler equations
| Часть серии по |
| Классическая механика |
|---|
Основные темы |
Категории ► Классическая механика |
В классическая механика, то Ньютон – Эйлер уравнения описывают комбинированные поступательные и вращательная динамика из жесткое тело.[1][2][3][4][5]
Традиционно уравнения Ньютона – Эйлера представляют собой совокупность Два закона движения Эйлера для твердого тела в одно уравнение с 6 компонентами, используя вектор-столбец и матрицы. Эти законы связывают движение центр гравитации твердого тела с суммой силы и крутящие моменты (или синонимично моменты ) действующий на твердое тело.
Центр масс кадра
Что касается система координат чье происхождение совпадает с началом тела центр массы, они могут быть выражены в матричной форме как:
куда
- F = всего сила действующий на центр масс
- м = масса тела
- я3 = 3 × 3 единичная матрица
- асм = ускорение центр массы
- vсм = скорость центр массы
- τ = общий крутящий момент, действующий относительно центра масс
- ясм = момент инерции о центре масс
- ω = угловая скорость тела
- α = угловое ускорение тела
Любая система отсчета
Что касается система координат расположен в точке п что закреплено в теле и нет совпадая с центром масс, уравнения принимают более сложную форму:
![{ displaystyle left ({ begin {matrix} { mathbf {F}} { boldsymbol { tau}} _ { rm {p}} end {matrix}} right) = left ( { begin {matrix} m { mathbf {I} _ {3}} & - m [{ mathbf {c}}] ^ { times} m [{ mathbf {c}}] ^ { times} & { mathbf {I}} _ { rm {cm}} - m [{ mathbf {c}}] ^ { times} [{ mathbf {c}}] ^ { times} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} mathbf {a} _ { rm {p}} { boldsymbol { alpha}} end {matrix}} right) + left ({ begin {matrix} m [{ boldsymbol { omega}}] ^ { times} [{ boldsymbol { omega}}] ^ { times} { mathbf {c}} {[ { boldsymbol { omega}}]} ^ { times} ({ mathbf {I}} _ { rm {cm}} - m [{ mathbf {c}}] ^ { times} [{ mathbf {c}}] ^ { times}) , { boldsymbol { omega}} end {matrix}} right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567cf49319502eaae7ae434408d3674c3bffbdd6)
куда c - расположение центра масс, выраженное в неподвижная рама,и
![[ mathbf {c}] ^ { times} Equiv left ({ begin {matrix} 0 & -c_ {z} & c_ {y} c_ {z} & 0 & -c_ {x} - c_ { y} & c_ {x} & 0 end {matrix}} right) qquad qquad [ mathbf { boldsymbol { omega}}] ^ { times} Equiv left ({ begin {matrix} 0 & - omega _ {z} & omega _ {y} omega _ {z} & 0 & - omega _ {x} - omega _ {y} & omega _ {x} & 0 end {матрица }}верно)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982b7fcda4970bd5ad646d59044c3cb2c6ba3038)
обозначать кососимметричный матрицы кросс-продуктов.
Левая часть уравнения, которая включает сумму внешних сил и сумму внешних моментов относительно п- описывает пространственное гаечный ключ, видеть теория винта.
Инерционные члены содержатся в пространственная инерция матрица
![{ displaystyle left ({ begin {matrix} m { mathbf {I} _ {3}} & m [{ mathbf {c}}] ^ { times} m [{ mathbf {c}}] ] ^ { times} & { mathbf {I}} _ { rm {cm}} - m [{ mathbf {c}}] ^ { times} [{ mathbf {c}}] ^ { times} end {matrix}} right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4219f6f856b939e386c20ed2460c238f3c984e1)
в то время как фиктивные силы содержатся в термине:[6]
![{ displaystyle left ({ begin {matrix} m {[{ boldsymbol { omega}}]} ^ { times} {[{ boldsymbol { omega}}]} ^ { times} { mathbf {c}} {[{ boldsymbol { omega}}]} ^ { times} ({ mathbf {I}} _ { rm {cm}} - m [{ mathbf {c}}] ^ { times} [{ mathbf {c}}] ^ { times}) , { boldsymbol { omega}} end {matrix}} right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64b63994d85159297cd5093df4a39ad5c43abbf)
Когда центр масс не совпадает с системой координат (то есть, когда c отлична от нуля) поступательное и угловое ускорения (а и α) связаны, так что каждый связан с компонентами силы и момента.
Приложения
Уравнения Ньютона – Эйлера используются в качестве основы для более сложных «многочастичных» формулировок (теория винта ), описывающие динамику систем твердых тел, соединенных шарнирами и другими ограничениями. Задачи с несколькими телами можно решить с помощью множества численных алгоритмов.[2][6][7]
Смотрите также
- Законы движения Эйлера для твердого тела.
- Углы Эйлера
- Обратная динамика
- Центробежная сила
- Основные оси
- Пространственное ускорение
- Теория винта движения твердого тела.
Рекомендации
- ^ Хуберт Хан (2002). Жесткое тело Динамика механизмов. Springer. п. 143. ISBN 3-540-42373-7.
- ^ а б Ахмед А. Шабана (2001). Вычислительная динамика. Wiley-Interscience. п. 379. ISBN 978-0-471-37144-1.
- ^ Харухико Асада, Жан-Жак Э. Слотин (1986). Анализ и управление роботами. Wiley / IEEE. стр. §5.1.1, с. 94. ISBN 0-471-83029-1.
- ^ Роберт Х. Бишоп (2007). Мехатронные системы, датчики и исполнительные механизмы: основы и моделирование. CRC Press. с. §7.4.1, §7.4.2. ISBN 0-8493-9258-6.
- ^ Мигель А. Отадуй, Мин К. Лин (2006). Тактильный рендеринг с высокой точностью. Издатели Морган и Клейпул. п. 24. ISBN 1-59829-114-9.
- ^ а б Рой Фезерстоун (2008). Алгоритмы динамики твердого тела. Springer. ISBN 978-0-387-74314-1.
- ^ Константинос А. Балафутис, Раджникант В. Патель (1991). Динамический анализ роботов-манипуляторов: декартово-тензорный подход. Springer. Глава 5. ISBN 0-7923-9145-4.