Многоугольник Ньютона - Newton polygon

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Полигон Ньютона»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Март 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Построение многоугольника Ньютона многочлена ${ Displaystyle P (X) = 1 + 5X + 1 / 5X ^ {2} + 35X ^ {3} + 25X ^ {5} + 625X ^ {6}}$ относительно 5-адической оценки.

В математика, то Многоугольник Ньютона инструмент для понимания поведения многочлены над местные поля.

В исходном случае локальное поле интереса было полем формальная серия Laurent в неопределенном Икс, т.е. поле дробей из формальный степенной ряд звенеть

K[[ИКС]],

над K, куда K был настоящий номер или же комплексное число поле. Это все еще очень полезно по отношению к Расширения Puiseux. Многоугольник Ньютона - эффективное средство для понимания ведущих терминов

aX^р

решений разложения в степенной ряд уравнений

п(F(Икс)) = 0

куда п - многочлен с коэффициентами в K[Икс], кольцо многочленов; то есть, неявно определенный алгебраические функции. Показатели р здесь есть определенные рациональное число, в зависимости от ответвляться выбранный; а сами решения являются степенными рядами в

K[[Y]]

с Y = Икс^1/d для знаменателя d соответствующая ветке. Многоугольник Ньютона дает эффективный алгоритмический подход к вычислению d.

После введения p-адические числа, было показано, что многоугольник Ньютона не менее полезен в вопросах разветвление для локальных полей и, следовательно, в алгебраическая теория чисел. Многоугольники Ньютона также были полезны при изучении эллиптические кривые.

Определение

Априори, учитывая многочлен над полем, поведение корней (при условии, что у него есть корни) будет неизвестно. Многоугольники Ньютона предоставляют один из методов изучения поведения корней.

Позволять ${ displaystyle K}$ быть местное поле с дискретная оценка ${ displaystyle v_ {K}}$ и разреши

${ displaystyle f (x) = a_ {n} x ^ {n} + cdots + a_ {1} x + a_ {0} in K [x]}$

с ${ displaystyle a_ {0} a_ {n} neq 0}$. Тогда многоугольник Ньютона ${ displaystyle f}$ определяется как нижний выпуклый корпус набора точек

${ displaystyle P_ {i} = left (i, v_ {K} (a_ {i}) right),}$

игнорируя точки с ${ displaystyle a_ {i} = 0}$Постройте все эти точки в геометрическом положении. п_я на ху-самолет. Предположим, что индексы точек увеличиваются слева направо (п₀ крайняя левая точка, п_п крайняя правая точка). Затем, начиная с п₀, Нарисовать луч прямо вниз параллельно с у-axis и поверните этот луч против часовой стрелки, пока он не достигнет точки п_k1 (не обязательно п₁). Сломай луч здесь. Теперь нарисуйте второй луч из п_k1 прямо вниз параллельно с у-axis и поверните этот луч против часовой стрелки, пока он не достигнет точки п_k2. Продолжайте, пока процесс не достигнет точки п_п; получившийся многоугольник (содержащий точки п₀, п_k1, п_k2, ..., п_kм, п_п) - многоугольник Ньютона.

Другой, возможно, более интуитивный способ увидеть этот процесс: рассмотрите резиновую ленту, окружающую все точки. п₀, ..., п_п. Протяните ленту вверх так, чтобы она застряла на своей нижней стороне некоторыми остриями (острия действуют как гвозди, частично забитые в плоскости xy). Вершины многоугольника Ньютона и есть те точки.

Подробную схему этого см. В главе 6 §3 «Локальных полей» Дж. С. Касселя, LMS Student Texts 3, CUP 1986. Это на стр. 99 издания в мягкой обложке 1986 года.

История

Полигоны Ньютона названы в честь Исаак Ньютон, которые впервые описали их и некоторые из их использования в переписке с 1676 года, адресованной Генри Ольденбург.^[1]

Приложения

Многоугольник Ньютона иногда является частным случаем Многогранник Ньютона, и может использоваться для построения асимптотических решений полиномиальных уравнений с двумя переменными, таких как ${ displaystyle 3x ^ {2} y ^ {3} -xy ^ {2} + 2x ^ {2} y ^ {2} -x ^ {3} y = 0}$

На этой диаграмме показан многоугольник Ньютона для п(Икс,у) = 3Икс² у³ − ху² + 2Икс²у² − Икс³у, с положительными одночленами красным цветом и отрицательными одночленами голубым. Лица помечены ограничивающими условиями, которым они соответствуют.

Еще одно применение многоугольника Ньютона дает следующий результат:

Позволять

${ displaystyle mu _ {1}, mu _ {2}, ldots, mu _ {r}}$

- наклоны отрезков многоугольника Ньютона ${ displaystyle f (x)}$ (как определено выше) в порядке возрастания, и пусть

${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {r}}$

- соответствующие длины отрезки линии проецируется на ось x (т.е. если у нас есть отрезок прямой между точками ${ displaystyle P_ {i}}$ и ${ displaystyle P_ {j}}$ тогда длина ${ displaystyle j-i}$). Тогда для каждого целое число ${ Displaystyle 1 Leq каппа Leq г}$, ${ displaystyle f (x)}$ точно ${ displaystyle lambda _ { kappa}}$ корни с оценкой ${ displaystyle - mu _ { kappa}}$.

Объяснение симметричной функции

В контексте оценки нам предоставляется определенная информация в виде оценок элементарные симметричные функции корней полинома и требуют информации об оценке фактических корней в алгебраическое замыкание. Это имеет оба аспекта теория разветвления и теория сингулярности. Возможные обоснованные выводы касаются оценок суммы мощности, посредством Личности Ньютона.

Смотрите также

• F-кристалл
• Критерий Эйзенштейна
• Тело Ньютона – Окунькова

Рекомендации

• Госс, Дэвид (1996), Основные структуры арифметики функциональных полей, Ergebnisse der Mathematik и егорер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 35, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-61480-4, ISBN  978-3-540-61087-8, МИСТЕР  1423131
• Гувеа, Фернандо: p-адические числа: Введение. Springer Verlag 1993. стр. 199.

внешняя ссылка

• Апплет, рисующий многоугольник Ньютона