F-кристалл - F-crystal

Для F-кристаллов, где F - расслоенная категория, см. кристалл (математика).

В алгебраическая геометрия, F-кристаллы объекты, представленные Мазур (1972) которые отражают некоторую структуру кристаллические когомологии группы. Письмо F означает Фробениус, указывая, что F-кристаллы действуют на них Фробениусом. F-изокристаллы кристаллы «до изогении».

F-кристаллы и F-изокристаллы в идеальных полях

Предположим, что k это идеальное поле, с кольцом Векторы Витта W и разреши K быть частным полем W, с автоморфизмом Фробениуса σ.

Над полем k, F-crystal - бесплатный модуль M конечного ранга над кольцом W векторов Витта kвместе с σ-линейным инъективным эндоморфизмом M. An F-изокристалл определяется таким же образом, за исключением того, что M модуль для поля частных K из W скорее, чем W.

Классификационная теорема Дьедонне – Манина

Классификационная теорема Дьедонне – Манина доказана Дьедонне (1955) и Манин (1963). Он описывает структуру F-изокристаллы над алгебраически замкнутым полем k. Категория таких F-изокристаллы абелевы и полупросты, поэтому каждый F-изокристалл представляет собой прямую сумму простых F-изокристаллы. Простой F-изокристаллы - это модули Es/р где р и s взаимно простые целые числа с р> 0. В F-изокристалл Es/р имеет основу K формы v, Fv, F2v,...,Fр−1v для какого-то элемента v, и Fрv = пsv. Рациональное число s/р называется наклоном F-изокристалл.

Над неалгебраически замкнутым полем k простой F-изокристаллы сложнее описать явно, но F-изокристалл может быть записан как прямая сумма изоклинных субкристаллов, где F-кристалл называется изоклиническим, если над алгебраическим замыканием k это сумма F-изокристаллы одного наклона.

Многоугольник Ньютона F-изокристалл

Многоугольник Ньютона F-isocrystal кодирует размеры кусков заданного уклона. Если F-изокристалл - это сумма изоклинических кусков с наклонами s1 < s2 <... и размеры (как модули кольца Витта) d1, d2, ... то многоугольник Ньютона имеет вершины (0,0), (Икс1, у1), (Икс2, у2),... где п-й отрезок, соединяющий вершины, имеет наклон sп = (уп−уп−1)/(Иксп−Иксп−1) и проекции на Икс-ось длины dп = Иксп − Иксп−1.

Многоугольник Ходжа F-кристалл

Многоугольник Ходжа F-кристалл M кодирует структуру M/FM рассматривается как модуль над кольцом Витта. Более точно, поскольку кольцо Витта является областью главных идеалов, модуль M/FM можно записать в виде прямой суммы неразложимых модулей длин п1 ≤ п2 ≤ ... и тогда многоугольник Ходжа имеет вершины (0,0), (1,п1), (2,п1+ п2), ...

В то время как многоугольник Ньютона F-кристалл зависит только от соответствующего изокристалла, возможны два F-кристаллы, соответствующие одному и тому же F-isocrystal, чтобы иметь разные полигоны Ходжа. Многоугольник Ходжа имеет ребра с целочисленными наклонами, а многоугольник Ньютона имеет ребра с рациональными наклонами.

Изокристаллы по более общим схемам

Предположим, что А это полный кольцо дискретной оценки из характеристика 0 с поле частного k характерных п> 0 и идеально. Аффинное расширение схемы Икс0 над k состоит из без кручения А-алгебра B и идеальный я из B такой, что B завершено в я топология и образ я нильпотентен в B/pBвместе с морфизмом из Spec (B/я) к Икс0Сходящийся изокристалл над k-схема Икс0 состоит из модуль над B⊗Q для каждого аффинного увеличения B который совместим с картами между аффинными увеличениями (Faltings 1990 г. ).

An F-изокристалл (сокращение от «изокристалл Фробениуса») - это изокристалл вместе с изоморфизмом к его откату при морфизме Фробениуса.

использованная литература

  • Бертело, Пьер; Огус, Артур (1983), "F-изокристаллы и когомологии де Рама. I", Inventiones Mathematicae, 72 (2): 159–199, Дои:10.1007 / BF01389319, ISSN  0020-9910, Г-Н  0700767
  • Экипаж, Ричард (1987), «F-изокристаллы и p-адические представления», Алгебраическая геометрия, Bowdoin, 1985 (Брансуик, Мэн, 1985), Proc. Симпози. Чистая математика., 46, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 111–138, Дои:10.1090 / pspum / 046.2 / 927977, ISBN  9780821814802, Г-Н  0927977
  • де Шалит, Эхуд (2012), F-изокристаллы (PDF)
  • Дьедонне, Жан (1955), "Группы Ли и гипералгебры Ли над полем характеристики p> 0. IV", Американский журнал математики, 77 (3): 429–452, Дои:10.2307/2372633, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372633, Г-Н  0071718
  • Фальтингс, Герд (1990), "F-изокристаллы на открытых многообразиях: результаты и предположения", Grothendieck Festschrift, Vol. II, Прогр. Математика, 87, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 219–248, Г-Н  1106900
  • Гротендик, А. (1966), Письмо Дж. Тейту (PDF).
  • Манин, Ю. I. (1963), "Теория коммутативных формальных групп над полями конечной характеристики", Академия Наук СССР и Московское математическое общество. Успехи математических наук., 18 (6): 3–90, Дои:10.1070 / RM1963v018n06ABEH001142, ISSN  0042-1316, Г-Н  0157972
  • Мазур, Б. (1972), "Фробениус и фильтрация Ходжа", Бык. Амер. Математика. Soc., 78 (5): 653–667, Дои:10.1090 / S0002-9904-1972-12976-8, Г-Н  0330169
  • Огус, Артур (1984), "F-изокристаллы и когомологии де Рама. II. Конвергентные изокристаллы", Математический журнал герцога, 51 (4): 765–850, Дои:10.1215 / S0012-7094-84-05136-6, ISSN  0012-7094, Г-Н  0771383