Кристалл (математика) - Crystal (mathematics)

Для кристаллических графов в теории представлений квантовых групп см. кристаллическое основание.

В математике кристаллы находятся Декартовы сечения определенных слоистые категории. Их представил Александр Гротендик  (1966a ), который назвал их кристаллами, потому что в каком-то смысле они «жесткие» и «растут». В частности, квазикогерентные кристаллы над кристаллический участок аналогичны квазикогерентным модули через схема.

An изокристалл кристалл до изогении. Они есть п-адический аналоги Qл-adic étale снопы, представлен Гротендик (1966a) и Бертело и Огус (1983 ) (хотя определение изокристалла появляется только во второй части этой статьи Огус (1984)). Сходящиеся изокристаллы - это разновидность изокристаллов, которые лучше работают над несовершенными полями, а сверхконвергентные изокристаллы - еще одна вариация, связанная с теориями сверхконвергентных когомологий.

А Кристалл Дьедонне кристалл с Verschiebung и отображения Фробениуса. An F-кристалл является структурой полулинейной алгебры, отчасти связанной с кристаллами.

Кристаллы над бесконечно малыми и кристаллическими узлами

Бесконечно малый узел Inf (Икс/S) имеет в качестве объектов бесконечно малые расширения открытых множеств Икс.Если Икс это схема над S затем связка ОИкс/S определяется ОИкс/S(Т) = координатное кольцо Т, где мы пишем Т как сокращение для объекта U → Т Инф (Икс/S). Шкивы на этом сайте расти в том смысле, что они могут быть расширены от открытых множеств до бесконечно малых расширений открытых множеств.

А кристалл на сайте Инф (Икс/S) является пучком F из ОИкс/S модули, которые жесткий в следующем смысле:

для любой карты ж между объектами Т, Т′ Из Inf (Икс/S), естественное отображение из ж*F(Т) к F(Т′) Является изоморфизмом.

Это похоже на определение квазикогерентный пучок модулей в топологии Зарисского.

Примером кристалла является сноп ОИкс/S.

Аналогичным образом определяются кристаллы в кристаллическом узле.

Кристаллы в расслоенных категориях

В общем, если E является расслоенной категорией над F, то кристалл - это декартово сечение расслоенной категории. В частном случае, когда F категория бесконечно малых расширений схемы Икс и E категория квазикогерентных модулей над объектами F, то кристаллы этой расслоенной категории такие же, как кристаллы бесконечно малого узла.

Рекомендации

  • Бертело, Пьер (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p> 0, Конспект лекций по математике, Vol. 407, г. 407, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0068636, ISBN  978-3-540-06852-5, МИСТЕР  0384804
  • Бертело, Пьер; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллических когомологиях, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08218-9, МИСТЕР  0491705
  • Шамбер-Луар, Антуан (1998), "Cohomologie cristalline: un Survol", Expositiones Mathematicae, 16 (4): 333–382, ISSN  0723-0869, МИСТЕР  1654786, заархивировано из оригинал на 2011-07-21
  • Гротендик, Александр (1966), "О когомологиях де Рама алгебраических многообразий", Institut des Hautes Études Scientifiques. Публикации Mathématiques, 29 (29): 95–103, Дои:10.1007 / BF02684807, ISSN  0073-8301, МИСТЕР  0199194 (письмо Атии, 14 октября 1963 г.)
  • Гротендик, А. (1966a), Письмо Дж. Тейту (PDF).
  • Гротендик, Александр (1968), "Кристаллы и когомологии схем де Рама", у Жиро, Жан; Гротендик, Александр; Клейман, Стивен Л.; и другие. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas (PDF), Углубленное изучение чистой математики, 3, Амстердам: Северная Голландия, стр. 306–358, МИСТЕР  0269663
  • Иллюзи, Люк (1975), "Отчет о кристаллических когомологиях", Алгебраическая геометрия, Proc. Симпози. Чистая математика., 29, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 459–478, МИСТЕР  0393034
  • Иллюзи, Люк (1976), "Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. № 456, Конспект лекций по математике, 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 53–60, МИСТЕР  0444668, заархивировано из оригинал на 2012-02-10, получено 2016-08-24
  • Иллюзи, Люк (1994), "Кристаллические когомологии", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991), Proc. Симпози. Чистая математика., 55, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 43–70, МИСТЕР  1265522
  • Кедлая, Киран С. (2009), «p-адические когомологии», в Абрамович, Дан; Бертрам, А .; Кацарков, Л .; Пандхарипанде, Рахул; Thaddeus., M. (ред.), Алгебраическая геометрия --- Сиэтл 2005. Часть 2, Proc. Симпози. Чистая математика., 80, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 667–684, arXiv:математика / 0601507, Bibcode:2006математика ... 1507K, ISBN  978-0-8218-4703-9, МИСТЕР  2483951