Дискретное оценочное кольцо - Discrete valuation ring

В абстрактная алгебра, а кольцо дискретной оценки (DVR) это главная идеальная область (PID) ровно с одним ненулевым максимальный идеал.

Это означает, что DVR - это область целостности р который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. р это местный главная идеальная область, а не поле.
2. р это оценочное кольцо с группой значений, изоморфной добавляемым целым числам.
3. р это местный Дедекиндский домен а не поле.
4. р это Нётерян местный домен чья максимальная идеальный это главное, а не поле.^[1]
5. р является целиком закрытый Нётерян местное кольцо с Измерение Крулля один.
6. р является областью главных идеалов с единственным ненулевым главный идеал.
7. р область главных идеалов с уникальным неприводимый элемент (вплоть до умножение на единицы ).
8. р это уникальная область факторизации с единственным неприводимым элементом (с точностью до умножения на единицы).
9. р Нётер, а не поле, и все ненулевые дробный идеал из р является несводимый в том смысле, что его нельзя записать как конечное пересечение дробных идеалов, должным образом содержащее его.
10. Существует некоторое дискретная оценка ν на поле дробей K из р такой, что р = {0} ${ Displaystyle чашка}$ {Икс ${ displaystyle in}$ K : ν (Икс) ≥ 0}.

Примеры

Алгебраический

Локализация колец Дедекинда

Любой локализация из Дедекиндский домен при ненулевом главный идеал - кольцо дискретной оценки; на практике часто возникают дискретные кольца оценки. В частности, мы можем определить кольца

${ displaystyle mathbb {Z} _ {(p)}: = left. left {{ frac {z} {n}} , right | z, n in mathbb {Z}, p nmid n right }}$

для любого основной п в полной аналогии.

p-адические целые числа

В звенеть ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ из п-адические целые числа это видеорегистратор, для любого основной ${ displaystyle p}$. Здесь ${ displaystyle p}$ является неприводимый элемент; то оценка присваивает каждому ${ displaystyle p}$-адическое целое число ${ displaystyle x}$ самый большой целое число ${ displaystyle k}$ такой, что ${ displaystyle p ^ {k}}$ разделяет ${ displaystyle x}$.

Локализация ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ в ${ Displaystyle 2 mathbb {Z}}$

Позволять ${ displaystyle mathbb {Z} _ {(2)}: = {z / n mid z, n in mathbb {Z}, , , n { text {нечетное}} }}$. Тогда поле дробей ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {(2)}}$ является ${ displaystyle mathbb {Q}}$. Для любого ненулевого элемента ${ displaystyle r}$ из ${ displaystyle mathbb {Q}}$, мы можем применить уникальная факторизация к числителю и знаменателю р написать р в качестве 2^k z/п куда z, п, и k целые числа с z и п странный. В этом случае определим ν (р)=k.Потом ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {(2)}}$ - кольцо дискретного нормирования, соответствующее ν. Максимальный идеал ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {(2)}}$ - главный идеал, порожденный 2, т. е. ${ Displaystyle 2 mathbb {Z} _ {(2)}}$, а «уникальный» неприводимый элемент (с точностью до единиц) равен 2 (это также известно как униформизирующий параметр).

Обратите внимание, что ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {(2)}}$ это локализация из Дедекиндский домен ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ на главный идеал генерируется 2.

Формальный степенной ряд

Еще один важный пример DVR - это кольцо формального степенного ряда ${ Displaystyle R = к [[T]]}$ в одной переменной ${ displaystyle T}$ над каким-то полем ${ displaystyle k}$. «Единственный» неприводимый элемент - это ${ displaystyle T}$, максимальный идеал ${ displaystyle R}$ главный идеал, порожденный ${ displaystyle T}$, а оценка ${ displaystyle nu}$ присваивает каждому степенному ряду индекс (то есть степень) первого ненулевого коэффициента.

Если ограничиться настоящий или же сложный коэффициентов, мы можем рассматривать кольцо степенных рядов от одной переменной, сходиться в окрестности 0 (с окрестностью, зависящей от степенного ряда). Это кольцо дискретной оценки. Это полезно для развития интуиции с Оценочный критерий правильности.

Звонок в функциональном поле

Для примера более геометрического характера возьмем кольцо. р = {ж/грамм : ж, грамм многочлены в р[Икс] и грамм(0) ≠ 0}, рассматриваемый как подкольцо области рациональные функции р(Икс) в переменной Икс. р можно отождествить с кольцом всех действительных рациональных функций, определенных (т. е. конечных) в район 0 на вещественной оси (с окрестностью, зависящей от функции). Это кольцо дискретной оценки; "единственный" неприводимый элемент Икс и оценка присваивает каждой функции ж порядок (возможно, 0) нуля ж at 0. Этот пример предоставляет шаблон для изучения общих алгебраических кривых около неособых точек, алгебраическая кривая в данном случае является вещественной прямой.

Схемотехнический

Гензельская черта

Для видеорегистратора ${ displaystyle R}$ обычно поле дроби записывается как ${ displaystyle K = { text {Frac}} (R)}$ и ${ displaystyle kappa = R / { mathfrak {m}}}$ поле вычетов. Они соответствуют общим и замкнутым точкам ${ displaystyle { text {Spec}} (R)}$. Например, закрытая точка ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {Z} _ {p})}$ является ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ и общая точка ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$. Иногда это обозначается как

${ displaystyle eta to S leftarrow s}$

куда ${ displaystyle eta}$ общая точка и ${ displaystyle s}$ это закрытая точка.

Локализация точки на кривой

Учитывая алгебраическая кривая ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$, то местное кольцо ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, { mathfrak {p}}}}$ в гладкой точке ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ является дискретным оценочным кольцом, потому что это главное оценочное кольцо. Обратите внимание, потому что точка ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ гладко, завершение из местное кольцо является изоморфный к завершение из локализация из ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$ в какой-то момент ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$.

Параметр унификации

Учитывая DVR р, любой неприводимый элемент р является генератором единственного максимального идеала р наоборот. Такой элемент еще называют униформизирующий параметр из р (или униформизирующий элемент, а униформизатор, или главный элемент).

Если зафиксировать униформизирующий параметр т, тогда M=(т) - единственный максимальный идеал р, а любой другой ненулевой идеал является степенью M, т.е. имеет вид (т ^k) для некоторых k≥0. Все силы т различны, как и силы M. Каждый ненулевой элемент Икс из р можно записать в виде αт ^k с α единицей в р и k≥0, оба однозначно определяются Икс. Оценка дана ν(Икс) = кв(т). Итак, чтобы полностью понять кольцо, нужно знать группу единиц р и как единицы аддитивно взаимодействуют со степенями т.

Функция v также превращает любое кольцо дискретной оценки в Евклидова область.^{[нужна цитата ]}

Топология

Каждое дискретное оценочное кольцо, будучи местное кольцо, имеет естественную топологию и является топологическое кольцо. Мы также можем дать ему метрическое пространство конструкция, где расстояние между двумя элементами Икс и у можно измерить следующим образом:

${ Displaystyle | х-у | = 2 ^ {- ню (х-у)}}$

(или с любым другим фиксированным действительным числом> 1 вместо 2). Интуитивно: элемент z "маленький" и "близкий к 0" если только это оценка ν (z) большой. Функция | x-y |, дополненная функцией | 0 | = 0, является ограничением абсолютная величина определены на [[поле дробей]] s кольца дискретного нормирования.

DVR - это компактный если и только если это полный и это поле вычетов р/M это конечное поле.

Примеры полный DVR включают

• кольцо п-адические целые числа и
• кольцо формальных степенных рядов над любым полем

Для данного DVR часто переходят на его завершение, а полный Видеорегистратор, содержащий данное кольцо, часто легче поддается изучению. Этот завершение Процедура может рассматриваться геометрическим образом как переход от рациональные функции к степенной ряд, или из рациональное число к реалы.

Возвращаясь к нашим примерам: кольцо всех формальных степенных рядов от одной переменной с действительными коэффициентами - это пополнение кольца рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности 0 на действительной прямой; это также завершение кольца всех действительных степенных рядов, сходящихся около 0. Завершение ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {(p)} = mathbb {Q} cap mathbb {Z} _ {p}}$ (который можно рассматривать как набор всех рациональных чисел, п-адические целые числа) - кольцо всех п-адические целые числа Z_п.

Смотрите также

• Категория: Локализация (математика)
• Местное кольцо
• Разветвление локальных полей
• Кольцо коэна
• Оценочное кольцо

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-43334-7, МИСТЕР  2286236
• Дискретное оценочное кольцо, The Энциклопедия математики.