Абсолютное значение (алгебра) - Absolute value (algebra)

В алгебра, абсолютная величина (также называемый оценка, величина, или же норма,^[1] несмотря на то что "норма "обычно относится к определенному типу абсолютного значения на поле ) это функция который измеряет "размер" элементов в поле или область целостности. Точнее, если D является областью целостности, то абсолютная величина есть любое отображение | x | из D к действительные числа р удовлетворение:

	•	${displaystyle left | xight | geq 0}$		(неотрицательность)
	•	${displaystyle left | xight | = 0}$ если и только если ${displaystyle x = 0}$		(положительная определенность )
	•	${displaystyle left | xyight | = left | xight | left | yight |}$		(мультипликативность)
	•	${displaystyle left | x + yight | leq left | xight | + left | yight |}$		(неравенство треугольника )

Из этих аксиом следует, что | 1 | = 1 и | -1 | = 1. Кроме того, для любого положительного целое число п,

|п| = |1 + 1 + ... + 1 (п раз) | = | −1 - 1 - ... - 1 (п раз) | ≤п.

Классический "абсолютная величина "- это функция, в которой, например, | 2 | = 2, но многие другие функции удовлетворяют указанным выше требованиям, например квадратный корень классической абсолютной величины (но не ее квадрата).

Абсолютное значение вызывает метрика (и, следовательно, топология ) к ${displaystyle d (f, g) = | f-g |.}$

Примеры

• Стандартное абсолютное значение целых чисел.
• Стандартное абсолютное значение на сложные числа.
• В п-адическое абсолютное значение на рациональное число.
• Если р это область рациональные функции над полем F и ${displaystyle p (x)}$ фиксированный неприводимый элемент из р, то следующее определяет абсолютное значение на р: за ${displaystyle f (x)}$ в р определять ${displaystyle | f |}$ быть ${displaystyle 2 ^ {- n}}$, куда ${Displaystyle f (x) = p (x) ^ {n} {гидроразрыв {g (x)} {h (x)}}}$ и ${displaystyle gcd (g (x), p (x)) = 1 = gcd (h (x), p (x)).}$

Типы абсолютного значения

В банальный абсолютное значение - это абсолютное значение с |Икс| = 0, когда Икс= 0 и |Икс| = 1 в противном случае.^[2] Каждая область целостности может иметь хотя бы тривиальное абсолютное значение. Тривиальное значение - единственно возможное абсолютное значение на конечное поле потому что любой ненулевой элемент можно возвести в некоторую степень, чтобы получить 1.

Если абсолютное значение удовлетворяет более сильному свойству |Икс + у| ≤ макс (|Икс|, |у|) для всех Икс и у, тогда |Икс| называется ультраметрический или же неархимедово абсолютное значение, а в противном случае Абсолютная величина архимеда.

Места

Если |Икс|₁ и |Икс|₂ два абсолютных значения в одной и той же области целостности D, то два абсолютных значения равны эквивалент если |Икс|₁ <1 тогда и только тогда, когда |Икс|₂ <1 для всех Икс. Если два нетривиальных абсолютных значения эквивалентны, то для некоторой экспоненты е у нас есть |Икс|₁^е = |Икс|₂ для всех Икс. Увеличение абсолютного значения до степени меньше 1 приводит к другому абсолютному значению, но повышение до степени больше 1 не обязательно приводит к абсолютному значению. (Например, возведение в квадрат обычного абсолютного значения действительных чисел дает функцию, которая не является абсолютным значением, потому что она нарушает правило |Икс+у| ≤ |Икс|+|у|.) Абсолютные значения с точностью до эквивалентности, или, другими словами, класс эквивалентности абсолютных значений, называется место.

Теорема Островского утверждает, что нетривиальные места рациональное число Q обычные абсолютная величина и п-адическое абсолютное значение для каждого прайма п.^[3] Для данного простого числа п, любое рациональное число q можно записать как п^п(а/б), куда а и б целые числа не делятся на п и п целое число. В п-адическое абсолютное значение q является

${displaystyle left | p ^ {n} {frac {a} {b}} ight | _ {p} = p ^ {- n}.}$

Поскольку обычное абсолютное значение и п-adic абсолютные значения - это абсолютные значения в соответствии с определением выше, они определяют места.

Оценки

Если для некоторого ультраметрического абсолютного значения и любого основания б > 1, определим ν(Икс) = −log_б|Икс| за Икс ≠ 0 и ν(0) = ∞, где ∞ должно быть больше всех действительных чисел, тогда мы получаем функцию из D к р ∪ {∞} со следующими свойствами:

• ν(Икс) = ∞ ⇒ Икс = 0,
• ν(ху) = ν(Икс)+ν(у),
• ν(Икс + у) ≥ min (ν (Икс), ν(у)).

Такая функция известна как оценка в терминологии Бурбаки, но другие авторы используют термин оценка за абсолютная величина а затем скажи экспоненциальная оценка вместо оценка.

Завершено

Учитывая область целостности D с абсолютным значением, мы можем определить Последовательности Коши элементов D по модулю, требуя, чтобы для любого ε> 0 существовало положительное целое число N так что для всех целых чисел м, п > N есть |Икс_м − Икс_п| <ε. Последовательности Коши образуют звенеть при поточечном сложении и умножении. Можно также определить нулевые последовательности как последовательности (а_п) элементов D такой, что |а_п| сходится к нулю. Нулевые последовательности - это главный идеал в кольце последовательностей Коши, а кольцо частного поэтому является областью целостности. Домен D является встроенный в этом кольце частных, называемом завершение из D по модулю |Икс|.

Поскольку поля являются областями целостности, это также конструкция для завершения поля по абсолютному значению. Чтобы показать, что результатом является поле, а не просто область целостности, мы можем либо показать, что нулевые последовательности образуют максимальный идеал, или же построить обратное напрямую. Последнее можно легко сделать, взяв для всех ненулевых элементов факторкольца последовательность, начинающуюся с точки за последним нулевым элементом последовательности. Любой ненулевой элемент факторкольца будет отличаться от такой последовательности на нулевую последовательность, и, выполняя поточечную инверсию, мы можем найти представительный обратный элемент.

Другая теорема Александр Островский имеет это, что любое поле, полное относительно Архимедов абсолютное значение изоморфный к действительным или комплексным числам, и оценка эквивалентна обычному.^[4] В Теорема Гельфанда-Торнхейма утверждает, что любое поле с архимедовой оценкой изоморфно подполе из C, оценка эквивалентна обычному абсолютному значению на C.^[5]

Поля и области целостности

Если D является областью целостности с модулем |Икс|, то мы можем расширить определение абсолютного значения на поле дробей из D установив

${displaystyle | x / y | = | x | / | y |.,}$

С другой стороны, если F поле с ультраметрическим модулем |Икс|, то множество элементов F такой, что |Икс| ≤ 1 определяет оценочное кольцо, что является подкольцо D из F такое, что для каждого ненулевого элемента Икс из F, по крайней мере, один из Икс или же Икс⁻¹ принадлежит D. С F это поле, D не имеет делители нуля и является областью целостности. Он имеет уникальный максимальный идеал состоящий из всех Икс такой, что |Икс| <1, и поэтому местное кольцо.

Примечания

Рекомендации