Теорема Островского - Википедия - Ostrowskis theorem

В теория чисел, Теорема Островского, из-за Александр Островский (1916), утверждает, что каждый нетривиальный абсолютная величина на рациональное число ${ displaystyle mathbb {Q}}$ эквивалентен либо обычному действительному абсолютному значению, либо $п$ -адический абсолютная величина.^[1]

Определения

Поднимая абсолютная величина в степень меньше 1 всегда приводит к другому абсолютному значению. Два абсолютных значения ${ displaystyle | cdot |}$ и ${ displaystyle | cdot | _ {*}}$ на поле K определены как эквивалент если существует настоящий номер $c > 0$ такой, что

{ displaystyle forall x in K: quad | x | _ {*} = | x | ^ {c}.}

В тривиальная абсолютная величина на любом поле K определяется как

{ displaystyle | x | _ {0}: = { begin {cases} 0 & x = 0, 1 & x neq 0. end {ases}}}

В реальная абсолютная величина на рациональные ${ displaystyle mathbb {Q}}$ это стандарт абсолютная величина на реальные, определенные как

{ displaystyle | x | _ { infty}: = { begin {cases} x & x geq 0, - x & x <0. end {cases}}}

Иногда это пишется с нижним индексом 1 вместо бесконечности.

Для простое число $п$ , то $п$ -адическое абсолютное значение на ${ displaystyle mathbb {Q}}$ определяется следующим образом: любое ненулевое рациональное $Икс$ можно записать однозначно как ${ displaystyle x = p ^ {n} { tfrac {a} {b}}}$ , куда $а$ и $б$ взаимно простые целые числа, не делящиеся на $п$ , и $п$ целое число; поэтому мы определяем

{ displaystyle | x | _ {p}: = { begin {cases} 0 & x = 0, p ^ {- n} & x neq 0. end {ases}}}

Доказательство

Рассмотрим нетривиальную абсолютную величину рациональных чисел ${ Displaystyle ( mathbb {Q}, | cdot | _ {*})}$ . Мы рассматриваем два случая:

{ Displaystyle { begin {align} (1) quad exists n in mathbb {N} qquad | n | _ {*} &> 1, (2) quad forall n in mathbb {N} qquad | n | _ {*} & leq 1. конец {выровнено}}}

Нам достаточно рассмотреть оценку целых чисел больше единицы. Ибо, если мы найдем ${ displaystyle c in mathbb {R} _ {+}}$ для которого ${ displaystyle | n | _ {*} = | n | _ {**} ^ {c}}$ для всех натуральных чисел, больших единицы, то это соотношение тривиально выполняется для 0 и 1, а для положительных рациональных чисел

{ displaystyle left | { frac {m} {n}} right | _ {*} = { frac {| m | _ {*}} {| n | _ {*}}} = { frac {| m | _ {**} ^ {c}} {| n | _ {**} ^ {c}}} = left ({ frac {| m | _ {**}} {| n | _ {**}}} right) ^ {c} = left | { frac {m} {n}} right | _ {**} ^ {c},}

и для отрицательных рациональных

{ displaystyle | -x | _ {*} = | x | _ {*} = | x | _ {**} ^ {c} = | -x | _ {**} ^ {c}.}

Случай 1)

Позволять ${ displaystyle a, b, n in mathbb {N}}$ с $а, б > 1$ . выражать $б п$ в основание $а$ :

{ displaystyle b ^ {n} = sum _ {i

Затем мы видим по свойствам абсолютного значения:

{ displaystyle { begin {align} | b | _ {*} ^ {n} & = | b ^ {n} | _ {*} & leq am max left {| a | _ { *} ^ {m-1}, 1 right } & leq a (n log _ {a} b + 1) max left {| a | _ {*} ^ {n log _ {a} b}, 1 right } end {align}}}

Следовательно,

{ displaystyle | b | _ {*} leq left (a (n log _ {a} b + 1) right) ^ { frac {1} {n}} max left {| a | _ {*} ^ { log _ {a} b}, 1 right }.}

Однако, как ${ Displaystyle п к infty}$ , у нас есть

{ Displaystyle (а (п журнал _ {а} b + 1)) ^ { гидроразрыва {1} {п}} к 1,}

что подразумевает

{ displaystyle | b | _ {*} leq max left {| a | _ {*} ^ { log _ {a} b}, 1 right }.}

Теперь выберите ${ Displaystyle 1 <б в mathbb {N}}$ такой, что ${ displaystyle | b | _ {*}> 1.}$ Использование этого в приведенном выше гарантирует, что ${ displaystyle | a | _ {*}> 1}$ независимо от выбора $а$ (иначе ${ displaystyle | a | _ {*} ^ { log _ {a} b} leq 1}$ , подразумевая ${ displaystyle | b | _ {*} leq 1}$ ). Таким образом, при любом выборе $а, б > 1$ выше мы получаем

{ displaystyle | b | _ {*} leq | a | _ {*} ^ { frac { log b} { log a}},}

т.е.

{ displaystyle { frac { log | b | _ {*}} { log b}} leq { frac { log | a | _ {*}} { log a}}.}

По симметрии это неравенство является равенством.

С $а, б$ были произвольными, существует постоянная ${ displaystyle lambda in mathbb {R} _ {+}}$ для которого ${ Displaystyle журнал | п | _ {*} = лямбда журнал п}$ , т.е. ${ displaystyle | n | _ {*} = n ^ { lambda} = | n | _ { infty} ^ { lambda}}$ для всех натуралов $п > 1$ . Как видно из сделанных выше замечаний, ${ Displaystyle | х | _ {*} = | х | _ { infty} ^ { lambda}}$ для всех рациональных значений, тем самым демонстрируя эквивалентность реальной абсолютной величине.

Корпус (2)

Поскольку эта оценка нетривиальна, должно быть натуральное число, для которого ${ displaystyle | n | _ {*} <1.}$ Факторизация на простые числа:

{ Displaystyle п = прод _ {я <г} р_ {я} ^ {е_ {я}}}

дает, что существует ${ displaystyle j}$ такой, что ${ displaystyle | p_ {j} | <1.}$ Мы утверждаем, что на самом деле это так для Только один.

Предполагать за против который $п, q$ - различные простые числа с абсолютным значением меньше 1. Во-первых, пусть ${ Displaystyle е в mathbb {N}}$ быть таким, чтобы ${ displaystyle | p | _ {*} ^ {e}, | q | _ {*} ^ {e} <{ tfrac {1} {2}}}$ . Посредством Евклидов алгоритм, Существуют ${ displaystyle k, l in mathbb {Z}}$ такой, что ${ displaystyle kp ^ {e} + lq ^ {e} = 1.}$ Это дает

{ displaystyle 1 = | 1 | _ {*} leq | k | _ {*} | p | _ {*} ^ {e} + | l | _ {*} | q | _ {*} ^ {e } <{ frac {| k | _ {*} + | l | _ {*}} {2}} leq 1,}

противоречие.

Итак, мы должны иметь ${ displaystyle | p_ {j} | _ {*} = alpha <1}$ для некоторых $j$ , и ${ displaystyle | p_ {i} | _ {*} = 1}$ за $я \neq j$ . Сдача

{ displaystyle c = - { frac { log alpha} { log p}},}

мы видим, что для общих положительных натуральных чисел

{ displaystyle | n | _ {*} = left | prod _ {i

Согласно приведенным выше замечаниям, мы видим, что ${ Displaystyle | х | _ {*} = | х | _ {p} ^ {c}}$ для всех рациональных чисел, подразумевая, что абсолютное значение эквивалентно $п$ -адический. ${ displaystyle blacksquare}$

Можно также показать более сильный вывод, а именно, что ${ Displaystyle | cdot | _ {*}: mathbb {Q} to mathbb {R}}$ является нетривиальным абсолютным значением тогда и только тогда, когда либо ${ displaystyle | cdot | _ {*} = | cdot | _ { infty} ^ {c}}$ для некоторых ${ displaystyle c in (0,1]}$ или же ${ displaystyle | cdot | _ {*} = | cdot | _ {p} ^ {c}}$ для некоторых ${ Displaystyle с in (0, infty), p in mathbf {P}}$ .

Еще одна теорема Островского

Другая теорема утверждает, что любое поле, полное относительно Абсолютная величина архимеда, (алгебраически и топологически) изоморфна либо действительные числа или сложные числа. Иногда это также называют теоремой Островского.^[2]

Смотрите также

Оценка (алгебра)