Теория сингулярности - Википедия - Singularity theory

Эта статья требует внимания эксперта по предмету. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. При размещении этого тега учитывайте связывая этот запрос с ВикиПроект. (Июль 2020)

В математика, теория сингулярности изучает пространства, которые почти коллекторы, но не совсем. Примером одномерного многообразия может служить струна, если пренебречь ее толщиной. Сингулярность можно создать, сложив ее, падение на пол и расплющивая его. Местами квартира нить перекрестится примерно в форме «X». Точки на этаж где это происходит, это одна из разновидностей сингулярности, двойная точка: одна кусочек этажа соответствует больше одного бит строки. Возможно, струна тоже коснется себя без пересечения, как подчеркнутое "U". Это еще один вид сингулярности. В отличие от двойной точки, это не стабильныйв том смысле, что небольшой толчок поднимет нижнюю часть буквы «U» от «подчеркивания».

Владимир Арнольд определяет основную цель теории сингулярностей как описание того, как объекты зависят от параметров, особенно в тех случаях, когда свойства претерпевают внезапные изменения при небольшом изменении параметров. Такие ситуации называют перестройкой (русский: перестройка), бифуркации или катастрофы. Классификация типов изменений и характеристика наборов параметров, которые вызывают эти изменения, являются одними из основных математических целей. Сингулярности могут возникать в широком диапазоне математических объектов, от матриц, зависящих от параметров, до волновых фронтов.^[1]

Как могут возникнуть особенности

В теории особенностей изучается общее явление точек и множеств особенностей в рамках концепции, согласно которой многообразия (пространства без особенностей) могут приобретать особые особые точки рядом путей. Проекция это один способ, очень очевидный с визуальной точки зрения, когда трехмерные объекты проецируются в двух измерениях (например, в одном из наших глаза ); при взгляде на классическую скульптуру складки драпировки являются одними из наиболее очевидных особенностей. К подобным особенностям относятся: каустика, очень знакомые, как световые узоры на дне бассейна.

Другими способами возникновения сингулярностей являются: вырождение многообразия структуры. Наличие симметрия может быть хорошим поводом рассмотреть орбифолды, которые представляют собой коллекторы, которые в процессе складывания приобрели «уголки», напоминающие складку салфетки на столе.

Особенности алгебраической геометрии

Особенности алгебраических кривых

Кривая с двойной точкой

Кривая с острием

Исторически впервые особенности были замечены при изучении алгебраические кривые. В двойная точка на (0, 0) кривой

${ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {2} + х ^ {3}}$

и куспид там из

${ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3} }$

качественно разные, что видно уже на наброске. Исаак Ньютон провели детальное изучение всех кубические кривые, общее семейство, к которому принадлежат эти примеры. Это было замечено в формулировке Теорема Безу что такое особые точки следует считать с множественность (2 - двойная точка, 3 - острие) при учете пересечений кривых.

Это был небольшой шаг к определению общего понятия особая точка алгебраического многообразия; то есть, чтобы позволить более высокие измерения.

Общее положение особенностей в алгебраической геометрии

Такие особенности в алгебраическая геометрия в принципе наиболее просты в изучении, так как они определяются полиномиальные уравнения и поэтому с точки зрения система координат. Можно сказать, что внешний значение особой точки не подлежит сомнению; это просто в внутренний термины, координаты в окружающем пространстве не прямо переводят геометрию алгебраическое многообразие в точку. Интенсивные исследования таких особенностей привели в конце концов к Хейсуке Хиронака фундаментальная теорема о разрешение особенностей (в бирациональная геометрия в характеристика 0). Это означает, что простой процесс «снятия» с себя веревки с помощью «очевидного» использования пересечения в двойной точке, по сути, не вводит в заблуждение: все особенности алгебраической геометрии могут быть восстановлены как своего рода очень общего крах (через несколько процессов). Этот результат часто неявно используется для расширения аффинная геометрия к проективная геометрия: вполне типично для аффинное разнообразие приобретать особые точки на гиперплоскость в бесконечности, когда его закрытие в проективное пространство взят. Резолюция говорит, что с такими особенностями можно обращаться скорее как с (сложной) разновидностью компактификация, заканчиваясь компактный многообразие (для сильной топологии, а не Топология Зарисского, то есть).

Гладкая теория и катастрофы

Примерно в то же время, что и работа Хиронаки, теория катастроф из Рене Том получил большое внимание. Это еще одна ветвь теории сингулярностей, основанная на более ранних работах Хасслер Уитни на критические точки. Грубо говоря, критическая точка из гладкая функция это где набор уровней образует особую точку в геометрическом смысле. Эта теория имеет дело с дифференцируемыми функциями в целом, а не только с полиномами. Чтобы компенсировать, только стабильный рассматриваются явления. Можно утверждать, что в природе ничего, что разрушается крошечными изменениями, невозможно наблюдать; видимый является конюшня. Уитни показал, что при небольшом числе переменных устойчивая структура критических точек очень ограничена в локальных терминах. Том построил на этой и своей более ранней работе, чтобы создать теория катастроф предполагается, что они объясняют прерывистые изменения в природе.

Взгляд Арнольда

Хотя Том был выдающимся математиком, последующая модная природа элементарных теория катастроф как распространено Кристофер Зееман вызвало реакцию, в частности со стороны Владимир Арнольд.^[2] Возможно, он был в значительной степени ответственным за применение термина теория сингулярности в области, включая входные данные из алгебраической геометрии, а также исходящие из работ Уитни, Тома и других авторов. Он писал так, чтобы прояснить свое отвращение к слишком разрекламированному акценту на небольшой части территории. Основополагающая работа по гладким особенностям формулируется как построение отношения эквивалентности на особых точках и микробы. Технически это предполагает групповые действия из Группы Ли на пространствах струи; в менее абстрактных терминах Серия Тейлор исследуются до замены переменной, выявляя особенности с достаточным производные. Приложения, по словам Арнольда, можно увидеть в симплектическая геометрия, как геометрическая форма классическая механика.

Двойственность

Важная причина того, почему сингулярности вызывают проблемы в математике, заключается в том, что при нарушении структуры многообразия вызов Двойственность Пуанкаре также запрещено. Большим достижением стало введение когомологии пересечения, которая возникла первоначально из попыток восстановить двойственность с помощью слоев. Многочисленные связи и приложения возникли из исходной идеи, например, концепция извращенная связка в гомологическая алгебра.

Другие возможные значения

Упомянутая выше теория не имеет прямого отношения к концепции математическая особенность как значение, при котором функция не определена. Для этого см., Например, изолированная особенность, существенная особенность, устранимая особенность. В монодромия теория дифференциальные уравнения, в комплексной области вокруг особенностей, однако, вступает в связь с геометрической теорией. Грубо говоря, монодромия изучает способ карта покрытия может выродиться, а теория сингулярности изучает способ многообразие может переродиться; и эти поля связаны.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации