Круглая функция - Round function

«Функция округления» может также относиться к округление.

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В топология И в исчисление, а круглая функция это скалярная функция ${displaystyle M o {mathbb {R}}}$, через многообразие ${displaystyle M}$, чей критические точки образуют один или несколько связанные компоненты, каждый гомеоморфный к круг ${displaystyle S ^ {1}}$, также называемые критическими циклами. Это частные случаи Функции Морса-Ботта.

Черный кружок в одной из критических петель.

Например

Например, пусть ${displaystyle M}$ быть тор. Позволять

${displaystyle K = (0,2pi) imes (0,2pi).,}$

Тогда мы знаем, что карта

${displaystyle Xcolon K o {mathbb {R}} ^ {3},}$

данный

${displaystyle X (heta, phi) = ((2 + cos heta) cos phi, (2 + cos heta) sin phi, sin heta),}$

является параметризацией почти всех ${displaystyle M}$. Теперь через проекцию ${displaystyle pi _ {3} двоеточие {mathbb {R}} ^ {3} o {mathbb {R}}}$мы получаем ограничение

${displaystyle G = pi _ {3} | _ {M} двоеточие M o {mathbb {R}}, (heta, phi) mapsto sin heta,}$

${displaystyle G = G (heta, phi) = sin heta}$ - функция, критические множества которой определяются

${displaystyle {m {grad}} G (heta, phi) = left ({{partial} G over {partial} heta}, {{partial} G over {partial} phi} ight)! left (heta, phi ight) » = (0,0) ,,}$

это тогда и только тогда, когда ${displaystyle heta = {pi более 2}, {3pi over 2}}$.

Эти два значения для ${displaystyle heta}$ дать критические наборы

${displaystyle X ({pi / 2}, phi) = (2cos phi, 2sin phi, 1),}$

${displaystyle X ({3pi / 2}, phi) = (2cos phi, 2sin phi, -1),}$

которые представляют собой две экстремальные окружности над тором ${displaystyle M}$.

Обратите внимание, что Гессен для этой функции

${displaystyle {m {hess}} (G) = {egin {bmatrix} -sin heta & 0 0 & 0end {bmatrix}}}$

что ясно проявляет себя как ранг ${displaystyle {m {hess}} (G)}$ равняется единице на помеченных кружках, что делает критическую точку вырожденной, т. е. показывая, что критические точки не изолированы.

Сложность раунда

Подражая L – S теории категорий можно определить круглая сложность спрашивая, существуют ли круглые функции на многообразиях и / или для минимального количества критических циклов.

Рекомендации

• Сирсма и Химшиасвили, О минимальных круглых функциях, Препринт 1118, Математический факультет Утрехтского университета, 1999 г., стр.18.[1]. Обновление на [2]